1、章末综合检测(二) (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若1，则f(x0)等于()A. B.C1 D1解析：选D.原式f(x0)，也就是f(x0)1.2如果质点A按规律s2t3运动，则在t3时的瞬时速度为()A6 B18C54 D81解析：选C.因为s6t2，所以当t3时，s54，即t3时的瞬时速度为54.3已知函数f(x)在x1处的导数为3，则f(x)的解析式可能是()Af(x)(x1)33(x1) Bf(x)2(x1)Cf(x)2(x1)2 Df(x)x1解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数
2、f(x)，再求f(1)4已知f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f(x)g(x)，则f(x)与g(x)满足()Af(x)g(x) Bf(x)g(x)为常数函数Cf(x)g(x)0 Df(x)g(x)为常数函数解析：选B.设yf(x)g(x)，则yf(x)g(x)0，所以f(x)g(x)c(常数)5已知y2x3cos x，则y等于()A6x2xsin x B6x2xsin xC6x2xsin x D6x2xsin x解析：选D.y(2x3)(x)(cos x)6x2xsin x.6抛物线yx2bxc上点(1，2)处的切线与其平行线bxyc0间的距离为()A. B
3、.C. D.解析：选C.由抛物线过点(1，2)，得bc1，又f(1)2b，即2bb，所以b1，所以c2，故所求切线方程为xy10.所以两平行直线xy20和xy10之间的距离为d.7给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称函数f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x).若f(x)0在D上恒成立，则称函数f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在上不是凸函数的是()Af(x)sin xcos x Bf(x)ln x2xCf(x)x32x1 Df(x)xex解析：选D.对A，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos x0，故f(x)在上
4、是凸函数；对B，f(x)2，f(x)0，故f(x)在上是凸函数；对C，f(x)3x22，f(x)6x0，故f(x)在上是凸函数；对D，f(x)exxex，f(x)exexxexex(2x)0，故f(x)在上不是凸函数，选D.8设a0，f(x)ax2bxc，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为()A. B.C. D.解析：选B.因为过点P(x0，f(x0)的切线的倾斜角的取值范围是，且a0，P在对称轴的右侧或其顶点，所以P到曲线yf(x)的对称轴x的距离dx0x0.又因为f(x0)2ax0b0，1，所以x0.所以dx0.9下
5、列图像中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导函数f(x)的图像，则f(1)等于()A B.C. D或解析：选A.f(x)x22axa21(xa)21，由a0，知f(x)的图像为第(3)个因此f(0)0，故a1，所以f(1).10若函数f(x)ln|x|f(1)x23x2，则f(1)()A2 B2C8 D10解析：选C.当x0时，f(x)ln xf(1)x23x2，f(x)2f(1)x3，f(1)42f(1)；当x1得10，即0，解得10P0)，则f(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率最大时的切线方程是_解析：f(x)x2x1，故f(x)在点(1，f(1)处的切线斜
6、率k2，显然当a1时，a最小，k最大为0，又f(1)，所以切线方程为y.答案：y三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)4.9t214.7t18，求烟花在t2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况解：烟花在t2 s时的瞬时速度就是h(2)而(4.94.9t)(m/s)所以h(2)(4.94.9t)4.9(m/s)即在t2 s时，烟花正以4.9 m/s的速度下降如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t1.5 s附
7、近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在01.5 s之间，曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s后，曲线在任何点处的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地18(本小题满分12分)有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为ys(t)5.求函数在t时的导数，并解释它的实际意义解：函数y5可以看作函数f(x)5和x(t)259t2的复合函数，其中x是中间变量由导数公式表可得f(x)x
8、，(t)18t.再由复合函数求导法则得yts(t)f(x)(t)(18t)，将t代入s(t)，得s0.875(m/s)它表示当t时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.19(本小题满分12分)(1)已知函数f(x)ax3bx2cx过点(1，5)，其导函数yf(x)的图像如图所示，求f(x)的解析式(2)设函数f(x)aexb(a0)曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为yx，求a，b的值解：(1)因为f(x)3ax22bxc，且f(1)0, f(2)0, f(1)5，所以解得所以函数yf(x)的解析式为f(x)2x39x212x.(2)f(x)aex，所以f(2)ae2，解得ae2
9、2或ae2(舍去)，所以a，代入原函数可得2b3，即b，故a，b.20(本小题满分12分)已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限，(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解：(1)由yx3x2，得y3x21，由已知得3x214，解得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(1，4)(2)因为直线ll1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为，因为l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，所以直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.21(本小题满分12分)已知f(x)x2axb，g(x
10、)x2cxd，又f(2x1)4g(x)，f(x)g(x)，f(5)30.求g(4)解：题设中有四个参数a，b，c，d，为确定它们的值需要四个方程由f(2x1)4g(x)，得：(2x1)2a(2x1)b4x24cx4d，于是有由f(x)g(x)，得：2xa2xc，所以ac.由f(5)30，得：255ab30，由可得ac2.由得b5.再由得d.所以g(x)x22x.故g(4)168.22(本小题满分12分)设函数f(x)x3x2bxc，其中a0.曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)确定b，c的值；(2)设曲线yf(x)在点(x1，f(x1)及(x2，f(x2)处的切线都过点
11、(0，2)，证明：当x1x2时，f(x1)f(x2)解：(1)由f(x)x3x2bxc，得f(0)c，f(x)x2axb，f(0)b.又由曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线方程为y1，得f(0)1，f(0)0.故b0，c1.(2)证明：f(x)x3x21，f(x)x2ax，由于点(t，f(t)处的切线方程为yf(t)f(t)(xt)，而点(0，2)在切线上，所以2f(t)f(t)(t)，化简得t3t210，即t满足的方程为t3t210.下面用反证法证明：假设f(x1)f(x2)，由于曲线yf(x)在点(x1，f(x1)及(x2，f(x2)处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立：由，得x1x2a.由，得xx1x2xa2.又xx1x2x(x1x2)2x1x2a2x1(ax1)xax1a2a2a2，故由得x1，此时x2与x1x2矛盾，所以f(x1)f(x2)