1、4.7解三角形应用举例2014高考会这样考考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中和三角形有关的角度、方向、距离等测量问题复习备考要这样做1.会从实际问题抽象中解三角形问题，培养建模能力；2.掌握解三角形实际应用的基本方法，体会数学在实际问题中的应用1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等(3)方位角指从正北
2、方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值3 解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等难点正本疑点清源解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出
3、这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解1 在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角是70，则BAC_.答案130解析由已知得BAD60，CAD70，BAC6070130.2 (2011上海)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离是_千米答案解析如图所示，由题意知C45，由正弦定理得，AC.3 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则
4、两条船相距_ m.答案10解析如图，OA为炮台，M、N为两条船的位置，AMO45，ANO60，OMAOtan 4530，ONAOtan 303010，由余弦定理得，MN10(m)4 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60，则山的高度BC为_ m.答案500(1)解析过点D作DEAC交BC于E，因为DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150.又BAD453015，故ABD15，由正弦定理得AB500()(m)所以在RtABC中，BCABsin 45500(1)(m)5 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离
5、相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10答案B解析灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得ACB80，CABCBA50，则605010，即北偏西10.题型一测量距离问题例1要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之间的距离思维启迪：将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形解如图所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC.在ABC
6、中，由余弦定理，得AB2()222cos 75325，AB (km)，A、B之间的距离为 km.探究提高这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米答案50解析连接OC，在OCD中，OD100，CD150，
7、CDO60，由余弦定理可得OC210021502210015017 500，解得OC50(米)题型二测量高度问题例2某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高思维启迪：依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD40米，此时DBF45，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tanAEB，AB为定值，BE最小时，仰角最大要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)解如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD40，此时DBF45，过点B作BECD于E，则AEB30，
8、在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，BD20(米)BDE1801353015.在RtBED中，BEDBsin 152010(1)(米)在RtABE中，AEB30，ABBEtan 30(3)(米)故所求的塔高为(3)米探究提高在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识 如图所示，B，C，D三点在地面的同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为和()，则A点距地面的高AB为_答案解析ABACsin ，解得AB.题型三测量角度问题例3某渔轮在航行中不幸遇险
9、，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间思维启迪：本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形解如图所示，根据题意可知AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以212t21028
10、1t22109t，即360t290t1000，解得t或t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时AB14，BC6.在ABC中，根据正弦定理得，所以sinCAB，即CAB21.8或CAB158.2(舍去)即舰艇航行的方位角为4521.866.8.所以舰艇以66.8的方位角航行，需 h才能靠近渔轮探究提高对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往
11、B处救援，则cos 等于()A. B. C. D.答案B解析如图所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，故cosACB.故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.正、余弦定理在实际问题中的应用典例：(12分)如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时
12、的速度，以B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间审题视角(1)分清已知条件和未知条件(待求)(2)将问题集中到一个三角形中，如ABC和BCD.(3)利用正弦定理或余弦定理求解规范解答解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t(海里)，BD10t(海里)，1分在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206.BC(海里)3分又，sinABC，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120，5分在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，缉私船沿
13、北偏东60的方向行驶8分又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小时15(分钟)11分缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟12分解斜三角形应用题的一般步骤为第一步：分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解温馨提醒(1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路如果涉及三角形问题，我们可以把
14、它抽象为解三角形问题进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题(2)本题的易错点：不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解方法与技巧1合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型2把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值3合理运用换元法、代入法解决实际问题失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义1方向角从指定方向线到目标方向线的水平角2方位角从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角3坡度坡面与水平面所成的二面角的正切值4仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视
15、线在水平视线下方时称为俯角A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设为坡角，那么cos 等于()A. B. C. D.答案B解析因为tan ，所以cos .2 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1 B2sin 10C2cos 10 Dcos 20答案C解析如图，ABC20，AB1，ADC10，ABD160.在ABD中，由正弦定理得，ADAB2cos 10.3 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰
16、角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 m C120 m D150 m答案A解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.4. 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为 ()A50 m B50 mC25 m D.
17、 m答案A解析ACB45，CAB105，ABC1801054530.在ABC中，由正弦定理得，AB50 (m)二、填空题(每小题5分，共15分)5 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_答案20米、米解析如图，依题意有甲楼的高度为AB20tan 6020(米)，又CMDB20(米)，CAM60，所以AMCM(米)，故乙楼的高度为CD20(米)6 一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_ km.答案30解析如图所示，
18、依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30 (km)7. 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，则BC的长为_答案8解析在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos 60，整理得x210x960，解之得x116，x26(舍去)在BCD中，由正弦定理：，BCsin 308.三、解答题(共22分)8 (10分)如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30 m，并在点C处测得塔顶A的
19、仰角为60，求塔高AB.解在BCD中，CBD1801530135，由正弦定理，得，所以BC15 (m)在RtABC中，ABBCtanACB15tan 6015 (m)所以塔高AB为15 m.9 (12分)如图，在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60.在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，AB5.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 在ABC中，已知A45，AB，BC2，则C等于()A30 B60
20、 C120 D30或150答案A解析利用正弦定理可得，sin C，C30或150.又A45，且ABC180，C30，故选A.2 某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为()A. B2C.或2 D3答案C解析如图所示，设此人从A出发，则ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理，得x23x60，解得x或2.3 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65
21、，那么B，C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里答案A解析如图，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)二、填空题(每小题5分，共15分)4 一船由B处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C、D恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A处，看见灯塔C在它的南偏西60方向，灯塔D在它的南偏西75方向，则这艘船的速度是_海里/小时答案10解析如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/小时)5 某路边一树干被
22、大风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是_米答案解析如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则ABO45，AOB75，OAB60.由正弦定理知，AO(米)6 在ABC中，D为边BC上一点，BDDC，ADB120，AD2.若ADC的面积为3，则BAC_.答案60解析SADC2DC3，解得DC2(1)，BD1，BC3(1)在ABD中，AB24(1)222(1)cos 1206，AB.在ACD中，AC242(1)2222(1)cos 602412，AC(1)，则cosBAC，BAC60.三、解答题7 (13分)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75、30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.在ABC中，所以AB，即BD0.33(km)故B、D的距离约为0.33 km.