1、高三总复习人教A版 数学（理）第五节直线、平面垂直的判定及其性质高三总复习人教A版 数学（理）1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.高三总复习人教A版 数学（理）1直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条直 线都垂直，则该直线和此平面垂直相交高三总复习人教A版 数学（理）(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内直线垂直于同一直线的两平面2斜线和平面所成的角斜线和所成的锐角任意平行它在平面内的射影高三总复习人教A版
2、 数学（理）3平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法利用判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面一条垂线交线高三总复习人教A版 数学（理）4二面角的平面角从二面角的棱上一点，在两个半平面内分别作与棱的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角垂直高三总复习人教A版 数学（理）1设l、m、n均为直线，其中m、n在平面内，则“l”是“lm且ln”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件高三总复习人教A版 数学（理）解析：当l时，lm且ln.但当lm，ln时，若m、n不是相
3、交直线，则得不到l.答案：A高三总复习人教A版 数学（理）2已知两条直线m，n，两个平面，给出下面四个命题：mn，mn，m，nmnmn，mn，mn，mn其中正确命题的序号是()高三总复习人教A版 数学（理）A BCD解析：由线面垂直的性质知正确；由面面平行的定义知，m、n可能平行，也可能异面，所以错误；对于中n也可能n，正确答案：D高三总复习人教A版 数学（理）3设平面，且l，直线a，直线b，且a不与l垂直，b不与l垂直，则a与b()A可能垂直，不可能平行B可能平行，不可能垂直C可能垂直，也可能平行D不可能垂直，也不可能平行高三总复习人教A版 数学（理）解析：当al，bl时，ab.假设ab，如
4、右图：过a上一点作cl，则c.bc.b.bl，与已知矛盾答案：B高三总复习人教A版 数学（理）4三棱锥PABC的顶点P在底面的射影为O，若PAPBPC，则点O为ABC的_心，若PA、PB、PC两两垂直，则O为ABC的_心解析：当PAPBPC时，OAOBOC，O为外心当PA、PB、PC两两垂直时，AOBC，BOAC，COAB.O为垂心答案：外 垂高三总复习人教A版 数学（理）5m、n是空间两条不同的直线，、是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是_m，n，mn.mn，mn.mn，mn.m，mn，n.高三总复习人教A版 数学（理）解析：m mn mn，为真mnm n 或 n.又，n 时，n
5、 可能在 内，为假mnm/n，从而也就推不出 n，为假高三总复习人教A版 数学（理）mmn n n，为真答案：高三总复习人教A版 数学（理）热点之一直线与平面垂直的判定与性质证明直线和平面垂直的常用方法有1利用判定定理2利用平行线垂直于平面的传递性(ab，ab)3利用面面平行的性质(a，a)高三总复习人教A版 数学（理）4利用面面垂直的性质当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直高三总复习人教A版 数学（理）例 1 如右图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABC90，PA平面 ABCD，PA3，AD2，AB2 3，BC6.求证：BD平面 PAC.
6、高三总复习人教A版 数学（理）思路探究 要证BD平面PAC，只需在平面PAC内寻求两相交直线与BD垂直，而PA显然与BD垂直，故只需证BDAC.课堂记录 设AC与BD交于点E.PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.又 tanABDADAB 33，tanBACBCAB 3，高三总复习人教A版 数学（理）ABD30，BAC60，AEB90，即BDAC.又PAACA，BD平面PAC.高三总复习人教A版 数学（理）即时训练 如右图所示，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F.求证：(1)BC平面PAB；(2)AE平面PBC；(3)PCEF.证明：(1)
7、PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.高三总复习人教A版 数学（理）ABBC，ABPAA，BC平面PAB.(2)BC平面PAB，AE平面PAB，BCAE.PBAE，BCPBB，AE平面PBC.(3)AE平面PBC，PC平面PBC，AEPC，AFPC，AEAFA，PC平面AEF.而EF平面AEF，PCEF.高三总复习人教A版 数学（理）热点之二 平面与平面垂直的判定与性质1判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90)(2)面面垂直的判定定理(a，a)2关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆高三总复习人教A版 数学（理）注意：在求平面垂直时，一般要用性质定理
8、，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用，这种转化方法是本章内容的显著特征掌握转化思想方法是解决这类问题的关键高三总复习人教A版 数学（理）例2(2010苏北四市调研)如右图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，BCBC1，ABBC1，E、F、G分别为线段AC1、A1C1、BB1的中点，求证：(1)平面ABC平面ABC1；(2)FG平面AB1C1.高三总复习人教A版 数学（理）思路探究(1)由面面垂直判定定理易证；(2)先证FGAC1，再证明BCB1C1，B1C1BE，B1C1平面AB
9、C1可得FGB1C1，则结论得证课堂记录(1)ABBC，BCBC1，ABBC1B，BC平面ABC1，又BC平面ABC，平面ABC平面ABC1.(2)在AA1C1中，E、F分别为AC1、A1C1的中点，高三总复习人教A版 数学（理）EFBG，且EFBG，连接BE，四边形BEFG为平行四边形，FGEB.ABBC1，E为AC1的中点，BEAC1，则FGAC1.EFAA1，EF12AA1.在三棱柱 ABCA1B1C1 中，G 为 BB1 的中点，BGAA1，BG12AA1，高三总复习人教A版 数学（理）BCAB，BCBC1，B1C1BC，B1C1AB，B1C1BC1，又ABBC1B，B1C1平面ABC
10、1.BE平面ABC1，B1C1BE，则B1C1FG，AC1B1C1C1，FG平面AB1C1.高三总复习人教A版 数学（理）即时训练(2010湛江模拟)如右图，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形(1)求证：DM平面APC；(2)求证：平面ABC平面APC.高三总复习人教A版 数学（理）证明：(1)M为AB中点，D为PB中点，MDAP，又MD平面APC，DM平面APC.高三总复习人教A版 数学（理）(2)PMB为正三角形，且D为PB中点MDPB.又由(1)知MDAP，APPB.又已知APPC，PBPCP，AP平面PBC，APBC，又ACBC，A
11、PACA，BC平面APC，BC面ABC，平面ABC平面PAC.高三总复习人教A版 数学（理）热点之三 线面角与二面角的求法高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一，有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)认(指)求在客观题中，也可用射影法：高三总复习人教A版 数学（理）设斜线段 AB 在平面 内的射影为 AB，AB 与 所成角为，则 cos|AB|AB|.设ABC 在平面 内的射影三角形为ABC，平面ABC 与 所成角为，则 cosSABCSABC.高三总复习人教A版 数
12、学（理）例3 在三棱锥PABC中，PC、AC、BC两两垂直，BCPC1，AC2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点(1)证明：平面GFE平面PCB；(2)求二面角BAPC的正切值思路探究(1)利用三角形中位线性质线线线面面面；高三总复习人教A版 数学（理）(2)利用定义作出二面角BAPC的平面角课堂记录(1)证明：G、E、F分别为AP、AB、AC的中点，GFPC，EFBC，又GF平面PBC，EF平面PBC，高三总复习人教A版 数学（理）PC平面PBC，BC平面PBC，GF平面PBC，EF平面PBC，又GFEFF，平面GFE平面PCB.(2)解：过C作CHAP交AP于点H，连接BH，PC、A
13、C、BC两两垂直，高三总复习人教A版 数学（理）BC平面APC，BCAP，又CHBCC，AP平面BHC，APBH，CHB就是二面角BAPC的平面角高三总复习人教A版 数学（理）在 RtPAC 中，CHPCACAP 2 55，在 RtBHC 中，tanCHBBCCH 52，故二面角 BAPC 的正切值为 52.高三总复习人教A版 数学（理）即时训练 已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.13 B.23 C.33 D.23解析：如右图所示，过点 B1 作平面 ABC 的垂线，垂足为 D，连接 AD，
14、则B1AD 就是所求的线面角由题意，知三棱锥 A1ABC 为正四面体，设棱长为 a，则 AB1 3a，棱柱的高高三总复习人教A版 数学（理）A1O a2AO2a223 32 a2 63 a，由于 A1B1平面 ABC，故 B1DA1O 63a.在 RtAB1D 中，sinB1ADB1DAB1 23，故 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为 23.故选 B.答案：B高三总复习人教A版 数学（理）高考本节内容主要考查线面、面面垂直的判定和性质，其中线面的垂直是考查的重点，难度以中等为主，高考多以解答题出现，且有多问从能力上看，主要考查学生将空间问题转化为平面几何问题的能力高三总复习人教A版 数
15、学（理）例 4(2010山东高考)如右图，在五棱锥 PABCDE 中，PA平面 ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45，AB2 2，BC2AE4，三角形 PAB 是等腰三角形(1)求证：平面 PCD平面 PAC；(2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小；(3)求四棱锥 PACDE 的体积高三总复习人教A版 数学（理）所以BAC90.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC，又PA，AC平面PAC，且PAACA，所以CD平面PAC.又CD平面PCD，(1)证明 在ABC 中，因为ABC45，BC4，AB2 2，所以 AC2AB2BC22ABBCcos458，因
16、此 AC2 2，故 BC2AC2AB2，高三总复习人教A版 数学（理）所以平面PCD平面PAC.(2)解 因为PAB 是等腰三角形，所以 PAAB2 2，因此 PB PA2AB24.又 ABCD，所以点 B 到平面 PCD 的距离等于点 A 到平面 PCD 的距离由于 CD平面 PAC，在 RtPAC 中，PA2 2，AC2 2，高三总复习人教A版 数学（理）所以 PC4，故 PC 边上的高为 2，此即为点 A 到平面 PCD 的距离所以 B 到平面 PCD 的距离为 h2.设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为，则 sin hPB2412.又因为 0，2，所以 6.高三总复习人教A版 数学
17、（理）(3)解 因为 ACED，CDAC，所以四边形 ACDE 是直角梯形因为 AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故 CDAEsin452 22 2，EDACAEcos452 22 22 2，所以 S 四边形 ACDE 22 22 23.高三总复习人教A版 数学（理）又 PA平面 ABCDE，所以 VPACDE1332 22 2.高三总复习人教A版 数学（理）1(2010山东高考)在空间，下列命题正确的是()A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行高三总复习人教A版 数学（理）解析：A项，平
18、行直线的平行投影也可以是两条平行线；B项，平行于同一直线的两个平面可平行、可相交；C项，垂直于同一平面的两个平面可平行、可相交；D项，正确答案：D高三总复习人教A版 数学（理）2(2010陕西高考)如右图，在四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，APAB2，BC2 2，E，F分别是 AD，PC 的中点(1)证明：PC平面 BEF；(2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小高三总复习人教A版 数学（理）解：(1)证明：连结EC，在RtPAE和RtCDE中PAABCD，AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形，又 F 是 PC 的中点，EFPC，又 BP AP2AB22 2BC，F 是 PC 的中点，BFPC.又 BFEFF，PC平面 BEF.高三总复习人教A版 数学（理）(2)PA平面ABCD，PABC，又ABCD是矩形，ABBC，又APABA.BC平面BAP，BCPB，又由(1)知PC平面BEF，直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，在PBC中，PBBC，PBC90，PCB45.所以平面BEF与平面BAP的夹角为45.高三总复习人教A版 数学（理）