1、模块综合检测(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 不等式|x+3|+|x-2|5 的解集是()A.x|-3x2 B.RC.D.x|x2解析：令 f(x)=|x+3|+|x-2|-则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)S2B.S1S2C.S1S2D.S1S2解析：由排序不等式,得顺序和反序和,即 S1S2.答案：D4 已知 a,b 为非零实数,且 ab,则下列命题成立的是()A.a2b2B.ab2a2bC 解析：A 项中,若 ab0,ab 符号不确定,不能确定 ab20,b
2、0,则 p=(a ba的大小关系是()A.pqB.pqC.pqD.p0,则 1 -0,1;若 0ab,则 1 -0,1.答案：A6 设 a,b,m,nR,且 a2+b2=5,ma+nb=5,则 的最小值为 A.5B 解析：由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)(am+bn)2,即 5(m2+n2)25,m2+n25,当且仅当 an=bm 时,等号成立.的最小值为 答案：B7 当 0 x 时 函数 的最小值为 A.2B.解析：f(x)x 00.f(x)=4tan x 4,当且仅当 tan x 时,等号成立.答案：C8 对任意实数 x,若不等式|x+1|-|x-2|k 恒成立,则 k 的取值
3、范围是()A.k3B.k-3C.k3D.k-3解析：令 f(x)=|x+1|-|x-2|-则 f(x)min=-3.故 k0,t0,A 则 与 的关系为 A.ABB.A0,则 x-a0,y-b0,即 xa,且 yb.故充分性成立.若 则 因此 -故必要性也成立.故选 C.答案：C11 若 k 棱柱有 f(k)个对角面,则(k+1)棱柱对角面的个数为()A.2f(k)B.k-1+f(k)C.f(k)+kD.f(k)+2解析：由 n=k 到 n=k+1 时增加的对角面的个数与底面上由 n=k 到 n=k+1 时增加的对角线一样,设 n=k 时,底面为 A1A2Ak,n=k+1 时底面为 A1A2A
4、3AkAk+1,增加的对角线为A2Ak+1,A3Ak+1,A4Ak+1,Ak-1Ak+1,A1Ak,共有(k-1)条,因此对角面也增加了(k-1)个.答案：B12 记满足下列条件的函数 f(x)的集合为 M,当|x1|1,|x2|1 时,|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|,又令 g(x)=x2+2x-1,则 g(x)与 M 的关系是()A.g(x)MB.g(x)MC.g(x)MD.不能确定解析：因为 g(x1)-g(x2)(x1+x2+2),|g(x1)-g(x2)|=|x1-x2|x1+x2+2|x1-x2|(|x1|+|x2|+2)4|x1-x2|,所以 g(x)M.答案：B二、填
5、空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)13 已知一长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,满足 则该长方体的对角线长的最小值为 解析：(x2+y2+z2()(1+1+1)2=9,x2+y2+z21,当且仅当 x=y=z 时,等号成立.长方体的对角线长 l 的最小值为1.答案：114 若不等式|3x-b|4 的整数解有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围是 .解析：由|3x-b|4,得-43x-b4,即-不等式|3x-b|4 的整数解有且仅有 1,2,3,即 答案：(5,7)15 函数 y=-的最大值是 解析：函数的定义域为x|2x4,则由柯西不等式,得
6、(4+9)(x-2+4-x)(-故 当且仅当 x 时,等号成立.答案：16 下列四个命题:a+b sin2x 4;设 x,y 都是正数,若 则 的最小值是 若|x-2|,|y-2|,则|x-y|2.其中真命题的序号有 .解析：不正确,因为 a,b 符号不确定;不正确,因为 sin2x(0,1,利用函数y=x 的单调性可求得sin2x 5;不正确,因为(x+y()10+6=16(当且仅当 x=4,y=12 时,等号成立);正确,因为|x-y|=|x-2+2-y|x-2|+|2-y|+=2.答案：三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分
7、)已知 nN,n2,证明：分析：用放缩法证明.证明：成立.18(12 分)已知正数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=6.(1)求 x+2y+z 的最大值;(2)若不等式|a+1|-2ax+2y+z 对满足条件的 x,y,z 恒成立,求实数 a 的取值范围.解：(1)由柯西不等式(x2+y2+z2)(12+22+12)(x+2y+z)2,即有(x+2y+z)236.又 x,y,z 是正数,则 x+2y+z6,即 x+2y+z 的最大值为 6,当且仅当 即当x=z=1,y=2 时取得最大值.(2)由题意及(1)得,|a+1|-2a(x+2y+z)max=6.当 a-1 时,a+1-2a6,解得
8、 a-5.当 a-1 时,不等式无解.当 a-1 时,-a-1-2a6,解得 a 综上,实数 a 的取值范围为|-19(12 分)设 a,b,c,d 是正数,求证:下列三个不等式:a+bc+d;(a+b)(c+d)ab+cd;(a+b)cdab(c+d).其中至少有一个不正确.分析：用反证法证明.证明：假设不等式都正确.a,b,c,d 都是正数,两不等式相乘得(a+b)2ab+cd.由式,得(a+b)cd0,4cdab+cd.3cdab,即 cd 又由式,得(a+b)2 即a2+b2 与平方和为正数矛盾.假设不成立,即式中至少有一个不正确.20(12 分)设函数 f(x)=|x-4|+|x-1
9、|.(1)求 f(x)的最小值.(2)若 f(x)5,求 x 的取值范围.解:(1)由题意知 f(x)=|x-4|+|x-1|-作出函数 y=f(x)的图象,如图所示.所以 f(x)的最小值为 3.(2)若 f(x)5,由上图可知,x 的取值范围为0,5.21(12 分)某人在一山坡 P 处观看对面山顶上的一座铁塔,如图所示,塔高 BC 为 80 m,塔所在的山高 OB 为 220 m,OA=200 m,图中所示的山坡可视为直线 l,且点 P 在直线 l上,l 与水平地面的夹角为,tan 试问 此人距水平地面多高时 观看塔的视角BPC最大(不计此人的身高)?解:如图建立平面直角坐标系,则 A(
10、200,0),B(0,220),C(0,300).直线 l 的方程为 y=(x-200)tan,即 y -设点 P 的坐标为(x,y),则(-)由经过两点的直线的斜率公式,得 kPC -kPB -由直线 PC 到直线 PB 的夹角的公式得(由图可知 kPC,kPB均小于 0,即 x640)tanBPC|-|-要使 tanBPC 达到最大,只需 x 达到最小,由基本不等式 x -288,当且仅当 x=时上式取得等号,可知当 x=320 时,tanBPC最大,这时点 P 的纵坐标 y为 -=60.由实际问题知 0BPC ,所以 tanBPC 最大时,BPC 最大.故当此人距水平地面 60 m高时,
11、观看铁塔的视角BPC 最大.22(12 分)已知数列an满足 a1=1,an+1=2an+1(nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足 -=(an+1 (nN+),证明bn是等差数列;(3)证明：-+(nN+).解:(1)an+1=2an+1(nN+),an+1+1=2(an+1).an+1是以 a1+1=2 为首项,2 为公比的等比数列.an+1=2n,即 an=2n-1(nN+).(2)证明：-=(an+1 ,-=.2(b1+b2+bn)-n=nbn,2(b1+b2+bn+bn+1)-(n+1)=(n+1)bn+1.-,得 2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn,即(n-1)bn+1-nbn+2=0.nbn+2-(n+1)bn+1+2=0.-,整理得 nbn+2-2nbn+1+nbn=0,即 bn+2-2bn+1+bn=0,bn+2-bn+1=bn+1-bn(nN+).bn是等差数列.(3)证明：=-=-(-),k=1,2,n,+-.-+(nN+).