1、湖南省部分中学2007年4月高三调研联考数学理科本试题分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。共150分。考试时间120分钟。第卷(选择题，共50分)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，）1复数Z=为纯虚数,则实数m= ( )A-1.or.3BC3D12已知等差数列中,则（ ）A20 B22 C26 D283设函数,对于任意实数,且方程=0有2007个解，则这2007个解之和为（ ）A0 B-1 C2007 D4014。4对于直线m.n和平面,下面命题中的真命题是（ ）5若是函数y=f（x）=的反函数，若 ，则A 1 B 2 C 3 D 6、在的展开式中，第五项的系数与第七
2、项的系数相等，则n=（）A8 B9 C10 D117有7个高矮不一的同学排成一排，最高的站在中间，两边各有3名同学，使得最高的同学的两边越往边上越矮，则不同的排队方式共有（ ）A B C D8、在平面四边形ABCD中，P为平面上一点，若，则点P为（）A四边形ABCD对角线的交点BAC的中点CBD的中点D在CD边上。 9已知椭圆的左、右焦点为，P为椭圆上的一点，且的最大值的取值范围是。则椭圆的离心率的范围为 （ ）A B C D10已知函数，在时取最小值，则函数是（ ）A偶函数且图像关于点对称， B偶函数且图像关于点对称， C奇函数且图像关于点对称， D奇函数且图像关于点对称，第卷(非选择题 共
3、100分)二、填空题：（本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分，把答案填在横线上。）11已知实数x、y满足，则的最大值为_12. 如图，在正三棱柱ABC-中，AB=1，点D在棱上，BD=1，若AD与平面BC所成的角为a，则sina=_.13直线L是过y=图像上的定点P（1，-1）的切线，点P关于直线y=x的对称点为C，则以C为圆心，且与直线L相切的圆的标准方程是_.14在实数集R上定义运算对任意实数x均成立，则实数的取值范围_.15下列命题中正确的序号是_若命题P和命题Q中只有一个是真命题，则P或Q是假命题成立的必要不充分条件；若函数y=f（x）满足是周期函数；若，则r的取值范围是。三、解
4、答题：（本大题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16（12分）在三角形ABC中, 求A的大小；.。17（本题满分12分）如图，四棱锥P-CD中，PD平面，PA与平面所成的角为600，在四边形中，ADC=DAB=900，AB=4，CD=1，AD=2 求异面直线PA与BC所成的角； 设。18（12分）甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。设是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数，求随机变量的概率分布与期望。在前四次摸球中，甲
5、恰好摸中两次红球的概率。19（12分）有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流入流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨与蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示第t天每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称g(t)为第t天的湖水污染质量分数，已知目前每天流入湖泊的水中有p克的污染物质污染湖水，湖水污染物质分数满足关系式：。当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； 求证：当时，湖泊的污染程度越来越严重。（3）如果政府加大治污力度，使得流入湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时的污染水平的5%?20（本题满分13分）OFxy
6、PM第20题图H如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。（）写出双曲线C的离心率与的关系式；（）当时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。21（14分）设函数的定义域与值域均为R，的反函数为，定义数列中，。若对于任意实数x，均有+=2.5x，求证：，。设，求的通项公式。若对于任意实数x，均有+2.5x，是否存在常数A、B同时满足：当n=0.or.n=1时，有成立；当n=2、3、4、，时，成立。如果存在，求出A、B的值；如果不存在，说明理由。参考答案一、选择题123456789
7、10CDCCBBDBAD二、填空题： 三、解答题：（本大题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16（12分）在三角形ABC中, 求A的大小；.。解。 17（本题满分12分）如图，四棱锥P-CD中，PD平面，PA与平面所成的角为600，在四边形中，ADC=DAB=900，AB=4，CD=1，AD=2 求异面直线PA与BC所成的角； 设。解: 建立坐标系，易求异面直线PA与BC所成的角为；18（12分）甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现
8、甲进行第一次摸球。设是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数，求随机变量的概率分布与期望。在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率。解: 18、（1）的分布是 0123PE= (2) 19（12分）有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流入流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨与蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示第t天每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称g(t)为第t天的湖水污染质量分数，已知目前每天流入湖泊的水中有p克的污染物质污染湖水，湖水污染物质分数满足关系式：。当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； 求证：当时，湖泊的污染程度越来越严重。
9、（3）如果政府加大治污力度，使得流入湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时的污染水平的5%?解： (1) （2）由知，所以g(t)为增函数，湖泊的污染程度越来越严重。（3）由p=0及所以需要经过天才能使湖水的污染水平下降到开始时的污染水平的5%。OFxyPM第20题图H20（本题满分13分）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。（）写出双曲线C的离心率与的关系式；（）当时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。解：四边形是，作双曲线的右准线交P
10、M于H，则，又，。（）当时，设双曲线为又四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，又，由得：，则，所以为所求。21（14分）设函数的定义域与值域均为R，的反函数为，定义数列中，。若对于任意实数x，均有+=2.5x，求证：，。设，求的通项公式。若对于任意实数x，均有+2.5x，是否存在常数A、B同时满足：当n=0.or.n=1时，有成立；当n=2、3、4、，时，成立。如果存在，求出A、B的值；如果不存在，说明理由。解：（1）由，又在等式+=2.5x中令，从而有（1）成立。又及（1）式有：，所以，。（2）由n=0.or.n=1时，有成立，可求得A=B=4,由对于任意实数x，均有+2.5x,可得（2）下面利用（2）和A=B=4，用数学归纳法证明：当n=2、3、4、，时，成立即可，证明过程容易，略去。所以存在实数A=B=4，使结论成立。
