1、02第二讲证明不等式的基本方法一比较法基础巩固1设t=a+2b,s=a+b2+1,则下列t与s的大小关系正确的是()A.tsB.tsC.tQB.P0,Q0.P2-Q2=a+b22-(a+b)2=-(a-b)220.P2-Q20.PQ.答案：D3已知a0,且a1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),则P,Q的大小关系是()A.PQB.PQC.P=QD.大小不确定解析：P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=logaa3+1a2+1.当0a1时,0a3+1a2+1,则0a3+1a2+10,即P-Q0.PQ.当a1时,a3+1a2+10,a3+1a2+11,logaa3+
2、1a2+10,即P-Q0.PQ.综上可知,PQ.答案：A4下列命题:当b0时,abab1;当b0时,abab0,b0时,ab1ab;当ab0时,ab1ab.其中是真命题的为()A.B.C.D.答案：A5当x1时,x3与x2-x+1的大小关系是.解析：x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),且x1,(x-1)(x2+1)0.x3-(x2-x+1)0,即x3x2-x+1.答案：x3x2-x+16若-1ab1a1b,a2b20,故值最小的是1b.答案：1b7设a,b,m均为正数,且ba0.又a,b,m均为正数,所以a(a+m)0,m0.所以a-
3、b0,即ab.答案：ab8若xy0,M=(x2+y2)(x-y),N=(x2-y2)(x+y),则M,N的大小关系为.解析：M-N=(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)(x2+y2)-(x+y)2=-2xy(x-y).因为xy0,x-y0.所以M-N0,即MN.答案：MN9已知x-1,求证:1+x1+x2.证明：因为x-1,所以1+x0,1+x0.又1+x-1+x2=-12(x+1)-2x+1+1=-(x+1-1)220,所以1+x1+x2.10设a0,b0,且ab,求证:aabb(ab)a+b2.证明：aabb(ab)a+b2=aa-b2bb-a2=aba-b2.当
4、ab0时a-b0ab1aba-b21,当ba0时a-b0ab1.故总有aba-b21,即aabb(ab)a+b21.又(ab)a+b20,aabb(ab)a+b2.能力提升1设0ba1,则下列不等式成立的是()A.abb21B.log12blog12a0C.2b2a2D.a2ab1解析：0babb=b2,A项不正确.0b1,0a0,log12a0,B项不正确.由0baab,D项不正确.故选C.答案：C2如果loga3logb3,且a+b=1,那么()A.0ab1B.0ba1C.1abD.1b0,b0,又a+b=1,0a1,0b1.lg a0,lg blogb3lg3lga-lg3lgb01lg
5、a-1lgb0lgb-lgalgalgb0lg blg aba.0abb0,cd0,m=ac-bd,n=(a-b)(c-d),则m与n的大小关系是()A.mnC.mnD.mn解析：ab0,cd0,acbd0,acbd.m0,n0.m2=ac+bd-2abcd,n2=ac+bd-(ad+bc),又ad+bc2abcd,当且仅当ad=bc时,等号成立,-2abcd-ad-bc.m2n2.mn.答案：C4设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若xy,则实数a,b应满足的条件是.解析：若xy,则x-y=a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)20.只要a+20,ab-10两个
6、中满足一个,即可使得xy.答案：a-2或ab15设abc0,x=a2+(b+c)2,y=b2+(c+a)2,z=c2+(a+b)2,则x,y,z的大小关系为.解析：abc0,x0,y0,z0.而x2-y2=a2+b2+2bc+c2-(b2+c2+2ac+a2)=2bc-2ac=2c(b-a)0,x2y2,即xy.又y2-z2=b2+(c+a)2-c2+(a+b)2=2ac-2ab=2a(c-b)0,yz.xyz.答案：xy1,2b2,则3a-b=42b71a-b0ab.答案：7设a,b为非负实数,求证:a3+b3ab(a2+b2).证明：由a,b是非负实数,作差得a3+b3-ab(a2+b2)
7、=a2a(a-b)+b2b(b-a)=(a-b)(a)5-(b)5.当ab时,ab,从而(a)5(b)5,得(a-b)(a)5-(b)50;当ab时,ab,从而(a)50.所以a3+b3ab(a2+b2).8已知an是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.(1)求q的值;(2)设bn是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.解: (1)由题设知2a3=a1+a2,即2a1q2=a1+a1q.a10,2q2-q-1=0.q=1或q=-12.(2)若q=1,则Sn=2n+n(n-1)2=n2+3n2=n(n+3)2.当n2时,Sn-bn=Sn-1=(n-1)(n+2)20,即Snbn.若q=-12,则Sn=2n+n(n-1)2-12=-n2+9n4=-n(n-9)4.当n2时,Sn-bn=Sn-1=-(n-1)(n-10)4,故对于nN+,当2n9时,Snbn;当n=10时,Sn=bn;当n11时,Snbn.9设不等式|2x-1|1的解集为M.(1)求集合M;(2)若a,bM,试比较ab+1与a+b的大小.解: (1)由|2x-1|1,得-12x-11,解得0x1,所以M=x|0x1.(2)由(1)和a,bM,可知0a1,0b0.故ab+1a+b.