1、目标导航1知道线性规划的意义2能正确利用图解法求解线性规划问题(重点)3能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(难点)1 新知识预习探究知识点一 线性规划中的基本概念 名称意义约束条件由变量 x，y 组成的_线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量 x，y 的函数解析式线性目标函数关于 x，y 的一次解析式可行解满足_的解(x，y)可行域所有_组成的集合最优解使目标函数取得_的可行解线性规划问题在_条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【练习 1】给定下列命题：在线性规划中，最优解指的是使目标函数取得最大值的变量
2、 x 或 y 的值；最优解指的是使目标函数的最大值或最小值；最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域；最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解其中正确命题的序号是_解析：因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解，即满足线性约束条件的解(x，y)，它是一个有序实数对，所以均错，正确故填.答案：知识点二 简单线性规划问题的图解法简单性线规划问题的图解法就是利用数形结合的思想根据线性目标函数的几何意义，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，一般步骤如下：作图：画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域；找初始直线：列目标函数，找初始直线 l0；平移：将直线 l0 平行移动，以
3、确定最优解所对应的点的位置；求值：解有关的方程组，求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值【练习 2】若点(x，y)位于曲线 y|x|与 y2 所围成的封闭区域，则 2xy 的最小值是()A6 B2 C0 D2解析：作出函数 y|x|xx0 xx0，于是目标函数等价于 zx2y4，即转化为一般的线性规划问题显然当直线经过点 B 时，目标函数取得最大值，zmax21.2 新视点名师博客1.线性规划求最值的步骤由约束条件作可行域由目标函数找初始直线平移初始直线，找最优点，列方程组，求最优解代入目标函数，求最值2应用线性规划处理实际问题时应注意的问题(1)求解实际问题时，除严格遵循线性规
4、划求目标函数最值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细推敲并挖掘相关条件，同时，还应具备批判性检验思维，以保证解决问题的准确和完美(2)处理实际问题时，x0，y0 常被忽略，在解题中应多加注意(3)在求最优解时，一般采用图解法求解微课：求线性目标函数的最值问题3 新课堂互动探究考点一 求线性目标函数的最值 例 1 若变量 x，y 满足约束条件xy8，2yx4，x0，y0，且 z5yx 的最大值为 a，最小值为 b，则 ab 的值是()A48 B30C24 D16分析：先将不等式 2yx4 转化为 x2y4，画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数 yx5z5的最优解，进而求得
5、 a，b 的值解析：xy8，2yx4，x0，y0.xy8，x2y4，x0，y0，由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由 z5yx，得 yx5z5.由图知目标函数 yx5z5，过点 A(8,0)时，zmin5yx5088，即 b8.目标函数 yx5z5过点 B(4,4)时，zmax5yx54416，即a16.ab16(8)24，故选 C.答案：C点评：解线性规划问题的步骤变式探究 1 设 z2xy，式中变量 x，y 满足下列条件 x4y3，3x5y25，x1.求 z 的最大值和最小值解：作出可行域如下图z2xy，y2xz 表示斜率为2，在 y 轴上的截距为 z 的平行直线系由图知当直线过
6、点 A 时，在 y 轴上的截距 z 最大当直线过点 B 时，在 y 轴上的截距 z 最小由x4y30，3x5y250，得x5，y2，A(5,2)由x1，x4y30，得x1，y1，B(1,1)当 x5，y2 时，zmax12；当 x1，y1 时，zmin3.考点二 求非线性目标函数的最值例 2 实数 x，y 满足不等式组y0，xy0，2xy20，求 zy1x1的取值范围分析：将y1x1理解成点(x，y)与点(1,1)所在直线的斜率，再结合点所在的可行域进行求解解析：作出不等式组表示的可行域，如下图中的阴影部分zy1x1y1x1，所以 z 的几何意义是动点(x，y)与定点 A(1,1)连线的斜率结
7、合图可知，z 的最小值为直线 l1 的斜率，z 的最大值无限接近于直线 l2 的斜率l1 的斜率 k1kAB，l2 与直线 xy0 平行由y0，2xy20，得 B 点坐标(1,0)，k112.z12，1.变式探究 2 变量 x，y 满足x4y30，3x5y250，x1，(1)设 zyx，求 z 的最小值；(2)设 zx2y2，求 z 的取值范围解：由约束条件x4y30，3x5y250，x1.作出(x，y)的可行域如图所示由x1，3x5y250，解得 A1，225.由x1，x4y30，解得 C(1,1)，由x4y30，3x5y250，解得 B(5,2)(1)zyxy0 x0，z 的值即是可行域中
8、的点与原点 O 连线的斜率观察图形可知 zminkOB25.(2)zx2y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|2，dmax|OB|29.2z29.考点三 线性规划中的参数问题例 3 若直线 y2x 上存在点(x，y)满足约束条件xy30，x2y30，xm，则实数 m 的最大值为()A1 B1 C.32 D2解析：可行域如图中阴影部分所示，由y2x，xy30得交点A(1,2)，当直线 xm 经过点 A(1,2)时，m 取得最大值为 1，应选 B.答案：B点评：由运动变化的观念让目标函数所表示的直线过可行域上的某点，求线性约
9、束条件中的一不等式的参数值，此是逆向思维，需要数形结合解决问题变式探究 3 设 zkxy，其中实数 x，y 满足xy20，x2y40，2xy40.若 z 的最大值为 12，则实数 k_.解析：作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当 0k12时，直线 ykxz 经过点 M(4,4)时 z 最大，所以 4k412，解得 k2(舍去)；当k12时，直线 ykxz 经过点(0,2)时 z 最大，此时 z 的最大值为 2，不合题意；当k13，x0，y0，x，yN*即 5x6y40，y0，y0，x，yN*画出上述不等式组表示的可行域，如下图目标函数为 zxy，作一组平行直线 xyt，经过可行域中的点且和原
10、点距离最远的直线为过 A 点的直线由方程组y3x，5x6y40，解得x4023，y12023，故点 A4023，12023.又x，yN*，调整为 x2，y5，即 xy7，经检验满足条件故按每根钢管来截，截 500 mm 的毛坯 2 根和 600 mm 的毛坯 5根合理【错因分析】对目标函数的几何意义、可行域和最优解理解不准确造成最优解对应的点选错【正解】设截得 500 mm 的毛坯钢管 x 根，600 mm 的毛坯钢管y 根，所截得的毛坯钢管总数为 z 根，则有 500 x600y4 000，xy13，x0，y0，x，yN*.即 5x6y40，y0，y0，x，yN*.作出可行域如图所示(不包括落在 x 轴上的边界)目标函数为 zxy，作一组平行直线 xyt，经过可行域中的点且和原点距离最远的直线为过 B(8,0)点的直线，这时 xy8.由 x，yN*知(8,0)不是最优解，因此，在可行域内找整点，得到点(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)均为最优解，此时 xy7.答：按照每根钢管来截，截 500 mm 的 2 根、600 mm 的 5 根或截500 mm 的 3 根、600 mm 的 4 根或截 500 mm 的 4 根、600 mm 的 3 根或截 500 mm 的 5 根、600 mm 的 2 根或截 500 mm 的 6 根、600 mm的 1 根.