1、01第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质基础巩固1设a1b-1,则下列不等式恒成立的是()A.1a1bC.ab2D.a22b解析：A项中,若b0,则1ab0,则1a1,0b21,得b22b不成立.答案：C2“a+cb+d”是“ab且cd”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：a+cb+d/ ab且cd,但ab且cda+cb+d,“a+cb+d”是“ab且cd”的必要不充分条件.答案：A3已知a,b,c均为实数,下面四个命题中正确命题的个数是()ab0a2b2;abcabc2ab;ab0ba1.A.0B.1C.2D.3解析：不正确.
2、ab-b0.(-a)2(-b)2,即a2b2.不正确.abc,若bbc.正确.ac2bc2,c0.ab.正确.abba0.答案：C4已知m,nR,则1m1n成立的一个充要条件是()A.m0nB.nm0C.mn0D.mn(m-n)1n1m-1n0n-mmn0mn(n-m)0mn(m-n)b,下列不等式:bab-1a-1;(a+b)2(b+1)2;(a-1)2(b-1)2.其中不成立的是.答案：6若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是.解析：f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+110,所以f(x)g(
3、x).答案：f(x)g(x)7设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若xy,则实数a,b满足的条件是.解析：x-y=(ab-1)2+(a+2)2.因为xy,所以(ab-1)2+(a+2)20.所以ab-10或a+20,即ab1或a-2.答案：ab1或a-28比较n6+13-n6-13与2的大小(n0).分析：本题中n6为一个整体,因而可以用换元法将式子化简变形,再与2比较大小.解:设a=n6,则n6+13-n6-13=(a+1)3-(a-1)3=(a3+3a2+3a+1)-(a3-3a2+3a-1)=6a2+2=n2+2,故n6+13-n6-13-2=n2.n0,n20.n6+13-n6
4、-13-20(n0),即n6+13-n6-132(n0).9设24a25,5b12,求a+b,a-b,ab,ab的取值范围.解:由24a25,5b12,得29a+b37,120ab300.由24a25,-12-b-5,得12a-b20.由24a25,1121b15,得2ab5.能力提升1已知实数a,b,c满足a1bB.a2b2C.acbcD.ac2bc2解析：实数a,b,c满足a0,知ac2bc2.故D成立.答案：D2已知0a0,b0且ab0.M-N0,即MN.(方法二)MN=2+a+ba+b+2ab.0a1b,0ab1.02ab2,0a+b+2ab1.又M0,N0,MN.答案：MN3若ab0
5、,m0,n0,则ab,ba,b+ma+m,a+nb+n按由小到大的顺序排列为.解析：由ab0,m0,n0,知bab+ma+m1,且bab+na+na+nb+n1,即1a+nb+nab.答案：bab+ma+ma+nb+nab4若-1a2,-2b1,则a-|b|的取值范围是.解析：-2b1,0|b|2.-2-|b|0.-1a2,-3a-|b|0.(x+1)x2+x2+1x+12(x2+x+1).6若已知二次函数y=f(x)的图象过原点,且1f(-1)2,3f(1)4.求f(-2)的取值范围.解:二次函数y=f(x)的图象过原点,可设f(x)=ax2+bx(a0).f(1)=a+b,f(-1)=a-
6、b.a=12f(1)+f(-1),b=12f(1)-f(-1).f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).1f(-1)2,3f(1)4,6f(-2)10,即f(-2)的取值范围是6,10.7已知x,yR.(1)比较13x+23y2与13x2+23y2的大小;(2)当p,q都为正数,且p+q=1时,试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小.解:(1)13x+23y2-13x2+23y2=-29x2-29y2+49xy=-29(x2+y2-2xy)=-29(x-y)20,所以13x+23y213x2+23y2.(2)(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)20.所以(px+qy)2px2+qy2,当且仅当x=y时,不等式中的等号成立.6