1、4用向量讨论垂直与平行用向量描述空间平行关系和垂直关系设空间两条直线l，m的方向向量分别为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，两个平面，的法向量分别为u(u1，u2，u3)，v(v1，v2，v3)，现有如下结论位置关系向量关系向量运算关系坐标关系lmabakb，k0a1kb1，a2kb2，a3kb3lauau0a1u1a2u2a3u30uvukv，k0u1kv1，u2kv2，u3kv3lmabab0a1b1a2b2a3b30lauau，0a1u1，a2u2，a3u3uvuv0u1v1u2v2u3v30 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两直线的方向向量平行，则两直线平行；
2、两直线的方向向量垂直，则两直线垂直()(2)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行()(3)若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行()(4)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的投影垂直()答案：(1)(2)(3)(4) 已知直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，且l，则能使l的是()Aa(1，0，0)，n(2，0，0)Ba(1，3，5)，n(1，0，1)Ca(0，2，1)，n(1，0，1)Da(1，1，3)，n(0，3，1)解析：选D.因为l，欲使l，则需an，即an0，故选D.
3、 若直线的方向向量为u1，平面的法向量为u2(3，2，z)，则当直线与平面垂直时z_答案： 设平面与向量a(1，2，4)垂直，平面与向量b(2，3，1)垂直，则平面与的位置关系是_解析：因为ab(1)223(4)10，所以ab，又因为a，b，所以.答案：垂直点、直线、平面位置的向量表示(1)确定点：用向量确定空间中的任意一个点，关键是确定一个基点(2)确定直线：用向量确定一条直线，关键是确定一个点和一个方向向量(3)确定平面一个定点两个向量：用向量确定一个平面，关键是理解平面向量基本定理，即存在有序实数对(x，y)使得xayb，这样点O与向量a，b不仅能确定一个平面，而且还能具体表示出平面内的
4、一个点；一个点一个向量：给定一个点和一个向量，过这个点，以这个向量为法向量的平面唯一确定 求平面的法向量如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB1，AC2，AA14，试建立适当的坐标系(1)求平面AB1C1的一个法向量；(2)求平面BA1C1的单位法向量解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，4)，B(1，0，0)，B1(1，0，4)，C1(0，2，4)(1)(1，0，4)，(0，2，4)，设平面AB1C1的法向量为n(x，y，z)，则n且n，即令z1，则x4，y2，则平面AB1C1的一个法向量为n(4，2，1)(答案不唯一)(2)(1，0，4)，(1，2
5、，4)，设平面BA1C1的法向量为m(x，y，z)，则m，且m，所以令z1，则x4，y0，所以m(4，0，1)，|m|，所以平面BA1C1的单位法向量为(，0，)或(，0，)平面法向量的确定通常有两种方法(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量一般步骤如下 建立适当的空间直角坐标系；设出平面的法向量为n(x，y，z)；找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组解方程组，取其中的一个解，即得法向量由于一个平面的法向量有无数个，故可在
6、代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量1.如图，平面PAB平面ABCD，PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，ABC60，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量解：因为PAPB，F为AB的中点，所以PFAB，又因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PF平面PAB.所以PF平面ABCD，因为ABBC，ABC60，所以ABC是等边三角形，所以CFAB. 以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示)由题意得F(0，0，0)，P，D，C，E.所以，.设平面DEF的法向量为m(x，y，z)则即所以令y2，则x，z2.所以平面
7、DEF的一个法向量为(，2，2)向量法证垂直关系在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点求证：平面C1E1F平面CEF.证明以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC1，则C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)，F(1，1，1) ，E1.设平面C1E1F的法向量n(x，y，z)因为，(1，0，1)，所以即取n(1，2，1)设平面EFC的法向量为m(a，b，c)，由(0，1，0)，(1，0，1)，所以即取m(1，0，1)因为mn1(1)2011110，所以平面C1E1F平面
8、CEF.本例条件不变，如何证明CF平面C1EF?证明：由例题可知，E(1，0，1)，F(1，1，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，2)，所以(1，0，1)，(1，0，1)，(0，1，0)所以11001(1)0，1001100.所以，.所以CFC1F，CFEF.因为C1FEFF，所以CF平面C1EF.向量法证垂直关系(1)证线线垂直，一般证两直线方向向量垂直即可(即证数量积为零)(2)证线面垂直，常用两种方法：一是证直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量数量积均为零；二是证直线的方向向量与平面的法向量平行(3)证面面垂直，只需证明两平面的法向量垂直即可 2.如图，ABC和BCD所在平面互
9、相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点求证：EFBC.证明：由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，1，)，D(，1，0)，C(0，2，0)，因而E，F，所以，(0，2，0)，因此0.从而，所以EFBC.向量法证平行关系如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD.证明如图，取BD的中点O，以O为原点，
10、OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，过O点作垂直于平面ABD的直线为x轴，建立空间直角坐标系由题意知A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0，0)，因为3，所以Q(x0，y0，)因为点M为AD的中点，故M(0，1)又点P为BM的中点，故P(0，0，)，所以(x0，y0，0)又平面BCD的一个法向量为a(0，0，1)，故a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.向量法证平行关系(1)证线线平行，只需证明两直线的方向向量共线即可(2)证线面平行，有三种方法：证直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行；证直线的方向向量与平面的法向量垂直；证直线的方向向量能写成平面内
11、两相交直线方向向量的线性组合(3)证面面平行：转化为证线面平行，再用面面平行判定定理；证两平面的法向量平行 3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心求证：平面EFG平面HMN.证明：法一：以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为2，则E(1，1，0)，F(1，0，1)，G(2，1，1)，H(1，2，1)，M(1，1，2)，N(0，1，1)所以(0，1，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(1，1，0)，所以，所以EFHM，FGNH，因为HM平面HMN，NH平面HMN
12、，所以EF平面HMN，FG平面HMN.因为EF平面EFG，FG平面EFG，EFFGF，所以平面EFG平面HMN.法二：建立空间直角坐标系如法一，设平面EFG的法向量为m(x1，y1，z1)则m(x1，y1，z1)(0，1，1)y1z10，m(x1，y1，z1)(1，1，0)x1y10，从而得x1y1z1，设x11，则m(1，1，1)设平面HMN的法向量为n(x2，y2，z2)，则n(x2，y2，z2)(0，1，1)y2z20，n(x2，y2，z2)(1，1，0)x2y20，从而得x2y2z2，设x21，则n(1，1，1)，所以mn，所以平面EFG平面HMN.思想方法利用转化思想解决线面位置关系
13、探究问题如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PAACa，PBPDa，点E在PD上，且PEED21.在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论证明以A为坐标原点，直线AD，AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系(如图)，则由题设条件知，相关各点的坐标分别为A(0，0，0)，B，C，D(0，a，0)，P(0，0，a)，E，所以，(0，0，a)，.设点F是棱PC上的点，其中01，则，令12，得即解得，1，2，即当时，即F是PC的中点时，共面，又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF平面AEC.本题利用转化思想将探究点是否存在问
14、题转化为了在直角坐标系下的空间向量是否共面问题，再进一步转化为方程组是否有解问题若有解，则存在此点，且将向量运算结果转化为原几何问题若无解，则此点不存在.1已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A.B.C.D.解析：选D.设平面ABC的一个单位向量为n(x，y，z)，其中x2y2z21，(1，1，0)，(0，1，1)，由n，n，得即xyz，故选D.2已知平面与的一个法向量分别是a(x，2，2)，b(1，3，y)，若，且|a|2，则y()A5B1C4或4D5或1解析：选D.因为，所以ab，即x62y0，又|a|2，所以x2222224，由解得
15、y5或y1.3已知u是平面的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u(4，1，5)，a(2，8，0)，则l与的位置关系是_解析：因为ua421(8)50880，所以当l与有公共点时，l；当l与无公共点时，l.答案：l或l A基础达标1已知a，b分别是直线l1，l2的一个方向向量若l1l2，则()Ax3，yBx，yCx3，y15Dx3，y解析：选D.因为l1l2，所以，所以x3，y，故选D.2直线l的一个方向向量和平面的一个法向量分别是m(1，1，3)，n，则直线l与平面的位置关系是()AlBlCl或lD无法判断解析：选C.因为mn00，所以mn.所以l或l.3已知平面内的三点A(0，0，1)
16、、B(0，1，0)、C(1，0，0)，平面的一个法向量为n(1，1，1)，且与不重合，则()ABC与相交但不垂直D以上都不对解析：选A.(0，1，1)，(1，0，1)，n(1，1，1)(0，1，1)10(1)1(1)(1)0，n(1，1，1)(1，0，1)110(1)(1)0，所以n，n.所以n也为的一个法向量又与不重合，所以.4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定解析：选B.建立如图坐标系，A1(a，a，0)，B(a，0，a)，A(a，a，a)，C(0，0，a)
17、，M(a，a，a)，N(a，a，a)，则(a，0，a)，(0，a，0)0，故，又因为平面BB1C1C，所以平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.5.如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，AFFD的值为()A12B11C31D21解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PAa，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a)设点F的坐标为(0，y，0)，则(1，y，0)，.因为BFPE，所以0，解得y，即点F的坐标为，所以F为AD的中点，所以AFFD11.6已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，则直线AB与平面yOz交
18、点C的坐标是_解析：令C的坐标为(0，y，z)，则由，得解得答案：(0，2，6)7已知平面的一个法向量a(x，1，2)，平面的一个法向量b，若，则xy_解析：因为，所以ab，所以xy10，得xy1.答案：18已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且平面ABC，则_解析：因为，所以0，所以352z0，所以z4.因为(x1，y，3)，且平面ABC，所以即解得故.答案：9已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.证明：设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z
19、轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A，B，C，N，B1，M.所以，(1，0，1)，所以00.所以，所以AB1MN.10在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.证明：建立如图所示的空间直角坐标系D是坐标原点，设DCa.(1)连接AC交BD于G，连接EG，依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E.因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为，所以.又(a，0，a)，所以2，这表明PAEG.而EG平面EDB，且PA平面EDB，所
20、以PA平面EDB.(2)依题意得B(a，a，0)，(a，a，a)，所以00，所以，即PBDE.又已知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD.B能力提升11设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD是()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定解析：选B.因为()()20，所以，为锐角同理可得，均为锐角，故BCD为锐角三角形12已知向量b(2，1，1)，点A(3，1，4)，B(2，2，2)若在直线AB上，存在一点E，使得b(O为原点)，则点E的坐标为_解析：(1，1，2)，因为，所以(，2)，故(3，1，24)，又因为b，所以b(3，1，24)(2，1，1)0，得，故
21、E点的坐标为(，)答案：(，)13如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1，M是线段B1D1的中点(1)求证：BM平面D1AC；(2)求证：D1O平面AB1C.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1，1，0)，D1(0，0，)，所以1(1，1，)，又点B(2，2，0)，M(1，1，)，所以(1，1，)，所以，又因为OD1与BM不共线，所以OD1BM.又OD1平面D1AC，BM平面D1AC，所以BM平面D1AC.(2)连接OB1.因为(1，1，)(1，1，)0，(1，1，)(2，2，0)0，所以，即OD1OB1，OD1
22、AC，又OB1ACO，所以D1O平面AB1C.14(选做题)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，C1B1的中点，G为CC1上任一点，tanECD4.(1)求证：AGEF；(2)在CC1上是否存在点G，使AG平面CEF，并说明理由解：因为ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，设其边长为2a，ECD是EC与底面所成的角而ECDCEC1，所以CC14EC14a.以A为原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(2a，2a，0)，D(0，2a，0)，A1(0，0，4a)，B1(2a，0，4a)，C1(2a，2a，4a)，D1(0，2a，4a)，E(a，2a，4a)，F(2a，a，4a)，设G(2a，2a，b)(0b4a)(1)证明：(2a，2a，b)，(a，a，0)，2a22a200，所以AGEF.(2)由(1)知，使AG平面CEF，只需AGCE，只需(2a，2a，b)(a，0，4a)2a24ab0，所以ba，即存在点G，当CGCC1时，AG平面CEF.