1、山东省潍坊市诸城市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.2.已知，则的解析式为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用换元法，求得的解析式.【详解】的定义域为，令，则， 且，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，属于基础题.
2、3.函数的零点的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用函数的单调性和零点存在性定理，判断出函数零点的个数.【详解】由于函数定义域为，在定义域上是增函数，根据零点存在性定理，结合的单调性可知在有唯一零点.故选：B【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，考查函数单调性的判断，属于基础题.4.函数的单调递增区间为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为轴,故可得出其单调增区间.【详解】函数, 函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为轴函数的单调增区间为.故选:A.【点睛】本题考查了一元二次函数的单调区间,
3、掌握一元二次函数的对称轴是解题的关键,属于基础题.5.下列函数中值域为的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对选项逐一分析函数的值域，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，由于，所以，即函数的值域为，不符合题意.对于B选项，所以函数的值域为，不符合题意.对于C选项，函数的值域为，不符合题意.对于D选项，函数，即函数值域为，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，属于基础题.6.幂函数在上是增函数，则的值为( )A. 0B. 2C. -1D. -2【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的概念和单调性，求得的值.【详解】由于为幂函数，所以，解得或，当时，在上递减
4、，不符合题意.当时，在上递增，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查根据幂函数的定义和单调性求参数，属于基础题.7.以下命题（其中，表示直线，表示平面）中，正确的命题是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，直线可能含于平面，所以A选项错误.对于B选项，可能异面，所以B选项错误.对于C选项，由于，所以，所以C选项正确.对于D选项，可能异面，所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.8.三个数，之间的大小关系是( )A. B. C.
5、D. 【答案】B【解析】【分析】利用“分段法”比较出三者的大小关系.【详解】由于，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.9.两条直线与互相垂直，则等于( )A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.【详解】由于两条直线垂直，所以，即，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查两直线垂直的条件，属于基础题.10.在下面的四个平面图形中，正四面体的展开图可以是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正四面体的展开图判断出正确选项.【详解】根据正四面体的展开图可知，正四面体的展开图可以是，不能
6、构成正四面体.故选：A【点睛】本小题主要考查正四面体展开图的特征，属于基础题.11.三棱柱的侧棱垂直于底面，所有的棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得底面正三角形的外接圆半径，利用勾股定理计算出球的半径，进而计算出球的体积.【详解】设底面正三角形的外接圆半径为，由正弦定理得，即，所以求的半径为，所以球的体积为.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的计算，属于基础题.12.如果函数对任意，满足，且，则( )A. 504B. 1009C. 2018D. 4036【答案】C【解析】【分析】根据以及，找到规律，由此求得所求表
7、达式的值.【详解】由于函数对任意，满足，且，令，则；令，则，；以此类推，可知，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查抽象函数有关计算，属于基础题.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.点到直线的距离为_.【答案】【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，求得点到直线的距离.【详解】依题意，点到直线的距离为.故答案为：【点睛】本小题主要考查点到直线的距离，属于基础题.14.已知，且，则_.【答案】【解析】【分析】根据指数和对数运算，化简求得的值.【详解】依题意，且，所以，由于，且，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查指数和对数运算，属于基础题.15.
8、已知圆锥的底面半径为2，高为6，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是_.【答案】【解析】【分析】设出内接圆柱的底面半径，求得内接圆柱的高，由此求得内接圆柱的表面积的表达式，进而求得其表面积的最大值.【详解】设圆柱的底面半径为，高为，由图可知：，解得.所以内接圆柱的表面积为，所以当时，内接圆柱的表面积取得最大值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查圆锥的内接圆柱表面积有关计算，属于基础题.16.已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】画出函数的图像，根据图像与有三个交点，求得的取值范围.【详解】画出的图像如下图所示，要使方程有三个不同的实数根，则需图像与
9、有三个交点，由图可知，的取值范围是.故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数图像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合，或.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）或.【解析】【分析】（1）解指数不等式求得集合，进而求得.（2）根据，得到，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1），；（2），或，或，实数的取值范围是或.【点睛】本小题主要考查指数不等的解法，考查集合交集、补集的概念和运算，考查根据并集的结果求参数，属于基础题.18.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的，且过点.（1
10、）求的方程；（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程.（2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程.【详解】（1）直线的方程为，倾斜角，由题知所求直线的倾斜角为，即斜率为，直线经过点，所求直线方程为，即；（2）直线与平行，可设直线的方程为，即，或所求直线的方程为或【点睛】本小题主要考查直线的斜率和倾斜角，考查两直线平行，考查点到直线距离公式，属于基础题.19.已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6.（1）求正四棱台的表面积
11、；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得侧面高，由此求得正四棱台的表面积.（2）求得正四棱台的高，由此求得三棱锥的体积.【详解】如图，（1）为正四棱台，.在等腰梯形中，过作，可得， 求得，正四棱台的表面积；（2）连接，可得，过作，根据正四棱台的性质可知平面，平面,所以，所以，.【点睛】本小题主要考查正四棱台表面积计算，考查锥体体积计算，属于基础题.20.扎比瓦卡是2018年俄罗斯世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物以西伯利亚平原狼为蓝本.扎比瓦卡，俄语意为“进球者”.某厂生产“扎比瓦卡”的固定成本为15000元，每生产一件“扎比瓦卡”需要增加投入20元，根据初步测算，
12、每个销售价格满足函数，其中x是“扎比瓦卡”的月产量（每月全部售完）.（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）.【答案】（1）；（2）当时，该厂所获利润最大利润为30000元.【解析】【分析】（1）结合分段函数，用销售价格乘以产量，再减去成本，求得利润的解析式.（2）根据二次函数的性质，求得利润的最大值以及此时月产量.【详解】（1）由题意，当时，.当时，；（2）当时，；根据二次函数的性质可知，当时，当时，为减函数，当时，该厂所获利润最大，最大利润为30000元.【点睛】本小题主要考查分段函数在实际生活中的应用，考查分段函数
13、最值的求法，属于中档题.21.如图所示，在正方体中，点为棱的中点，为中点.求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将平面延展为平面，通过证明，证得平面.（2）通过证明、，证得平面，由此证得平面平面.【详解】（1）取中点，连接，由正方体中，取中点，连接，则，,四边形为平行四边形，又且，面，面，面，（2）在正方形中，由,得,因为,，因为面，且面，又因为，平面，平面，平面平面.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22.函数.（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）若任意，对任意，总有不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）当时，利用二次函数的性质，求得在区间上的值域；（2）首先求得在区间上的最大值和最小值，由此得到对任意，不等式恒成立，构造函数，结合一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】（1）当时，对称轴，函数在上的值域为. （2），对称轴，在区间上单调递增，即对任意，不等式恒成立，设，由于在区间上恒成立，所以则，即，解得或.【点睛】本小题主要考查二次函数在闭区间上的值域的求法，考查不等式恒成立问题的求解，属于难题.
