1、第四章 圆与方程 42 直线、圆的位置关系421 直线与圆的位置关系登高揽胜 拓界展怀课前自主学习1理解直线和圆的三种位置关系2会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系学 习 目 标自主导学预习课本 P126P128，思考并完成以下问题知识点一|直线与圆的位置关系及判断 位置关系相交相切相离公共点个数1 _个 2 _个 3 _个2 1 0 几何法：设圆心到直线的距离 d|AaBbC|A2B2d 4 _r d 5 _r d 6 _r判定方法代数法：由AxByC0，xa2yb2r2消元得到一元二次方程的判别式 7 _0 8 _0 9 _0图形思考探究|辨别正误|判断正误(正确的打“”，错误的打
2、“”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交()(2)直线 l：x0 与圆 x2y21 的位置关系是相交且过圆心()(3)若直线xya0与圆x2y2a相切，则a等于4.()知识点二|圆的切线问题 1求圆的切线的方法(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率 k，则由垂直关系，知切线斜率为1k，由点斜式方程可求得切线方程如果 k0 或 k 不存在，则由图形可直接得切线方程为 yy0 或 xx0.(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：几何法：设切线方程为 yy0k(xx0)，即 kxykx0y00.由圆心到直线的距离等于半径，可求得 k，切线方程即可求出
3、并注意检验当 k 不存在时，直线 xx0 是否为圆的切线代数法：设切线方程 yy0k(xx0)，即 ykxkx0y0，代入圆的方程，得到一个关于 x 的一元二次方程，由 0 求得k，切线方程即可求出并注意检验当 k 不存在时，直线 xx0是否为圆的切线2切线段的长度公式(1)从圆外一点 P(x0，y0)引圆(xa)2(yb)2r2 的切线，则 P 到切点的切线段长为d x0a2y0b2r2.(2)从圆外一点 P(x0，y0)引圆 x2y2DxEyF0 的切线，则 P 到切点的切线段长为d x20y20Dx0Ey0F.小试身手1设直线 l 过点 P(2,0)，且与圆 x2y21 相切，则 l 的
4、斜率是()A1 B12C 33D 3解析：选 C 设直线 l：yk(x2)，即 kxy2k0.又 l 与圆相切，|2k|1k21.k 33.2直线 y2x3 被圆 x2y26x8y0 所截得的弦长等于解析：圆的方程可化为(x3)2(y4)225.故圆心为(3,4)，半径 r5.又直线方程为 2xy30，所以圆心到直线的距离为 d|2343|41 5，所以弦长为 2 r2d22 2552 204 5.答案：4 5剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 直线与圆的位置关系的判断【例 1】已知直线方程 mxym10，圆的方程 x2y24x2y10.当 m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只
5、有一个公共点；(3)没有公共点解 解法一：将直线 mxym10 代入圆的方程化简整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)(1)当 0，即 m0 或 m43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当 0，即 m0 或 m43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当 0，即43m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点解法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为 C(2,1)，半径 r2.圆心 C(2,1)到直线 mxym10 的距离d|2m1m1|1m2|m2|1m2.(1)当 d0 或 m2，即43m0 时，直线与圆相离，即直线与
6、圆没有公共点直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.|方法总结|1直线 xky10 与圆 x2y21 的位置关系是()A相交 B相离C相交或相切D相切解析：选 C 直线 xky10 恒过定点(1,0)，而(1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交2设 m0，则直线 l：2(xy)1m0 与圆 O：x2y2m 的位置关系为()A相切B相交C相切或相离D相交或相切解析：选 C 圆心到直线 l 的距
7、离为 d1m2，圆的半径为r m，dr1m2 m12(m2 m1)12(m1)20，dr，故直线 l 和圆 O 相切或相离题型二 直线与圆相切的有关问题【例 2】过点 M(2,4)向圆(x1)2(y3)21 引切线，求其切线的方程解 由于(21)2(43)2501，故点 M 在圆外当切线斜率存在时，设切线方程是y4k(x2)，即 kxy42k0，由于直线与圆相切，故|k342k|k212 1，解得 k247.所以切线方程为 24x7y200.又当切线斜率不存在时，直线 x2 与圆相切综上所述，所求切线方程为 24x7y200 或 x2.【探究 1】变条件若将例 2 中的点 M 的坐标改为(1，
8、2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？解 由于(11)2(23)21，故点 M 在圆上，设圆的圆心为 C，则 C(1，3)，显然 CM 的斜率不存在圆的切线垂直于经过切点的半径，所求切线的斜率 k0，切线方程为 y2.【探究 2】变结论若例 2 中的条件不变，如何求其切线长？解 由题知，设切线长为 d，d 21243221 5017.|方法总结|(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为1k，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 yy0 或 xx0.(2)过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法设切
9、线方程为 yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得 k，也就得切线方程当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为 xx0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条一般不用联立方程组的方法求解(3)求切线长最小值的两种方法(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.3圆 x2y24 在点 P(3，1)处的切线方程为()A.3xy20 B.3xy40C.3xy40 D.3xy20解析：选 C(3)2(1)24，点 P 在圆上切点与圆心连线的斜率为 33，切线的斜
10、率为 3.切线方程为 y1 3(x 3)，即 3xy40.4点 P 是直线 2xy100 上的动点，PA，PB 与圆 x2y24 分别相切于 A，B 两点，则四边形 PAOB 面积的最小值为解析：如图所示，因为 S四边形 PAOB2SPOA.又OAAP，所以 S 四边形 PAOB212|OA|PA|2|OP|2|OA|22|OP|24.为使四边形 PAOB 面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点 O 到直线 2xy100 的距离，|OP|min1022122 5.故所求最小值为 2 2 5248.答案：8题型三 圆的弦长问题【例 3】求直线 x 3y2 30 被圆 x2y24 截得的弦长解
11、 解法一：直线 x 3y2 30 和圆 x2y24 的公共点坐标就是方程组x 3y2 30，x2y24的解解这个方程组，得x1 3，y11，x20，y22.所以公共点的坐标为(3，1)，(0,2)，所以直线 x 3y2 30 被圆 x2y24 截得的弦长为 3021222.解法二：如图，设直线 x 3y2 30 与圆 x2y24 交于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 M，则 OMAB(O 为坐标原点)，所以|OM|002 3|12 32 3.所以|AB|2|AM|2|OA|2|OM|22 22 322.|方法总结|求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图 1，直线 l 与圆 C 交于
12、 A，B 两点，设弦心距为 d，圆的半径为 r，弦长为|AB|，则有|AB|22d2r2.即|AB|2 r2d2.(2)代数法：如图 2 所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x22y1y22 1k2|x1x2|11k2|y1y2|，其中 k 为直线 l 的斜率.5直线 ykx3 与圆(x1)2(y2)24 相交于 M，N 两点，且|MN|2 3，则 k 的取值范围是解析：因为|MN|2 3，所以圆心(1,2)到直线 ykx3 的距离不大于 22 321，即|k1|k211，解得 k0.答案：(，06过圆 x2y28 内的点
13、 P(1,2)作直线 l 交圆于 A，B 两点若直线 l 的倾斜角为 135，则弦 AB 的长为解析：由题意知直线 l 的方程为 y2(x1)，即 xy10，圆心 O(0,0)到直线 l 的距离为 d|1|2 22，则有|AB|2 r2d22812 30.答案：30知识归纳 自我测评堂内归纳提升规律方法1两种方法：判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷2一个公式：一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形还可以联立方程组，消去 y，组成一个
14、一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l k21 x1x224x1x2k21|x1x2|.3一个注意：研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条自测检评1对任意的实数 k，直线 ykx1 与圆 x2y22 的位置关系一定是()A相离B相切C相交但直线不过圆心D相交且直线过圆心解析：选 C 解法一：圆心(0,0)到直线 kxy10 的距离d11k21 2r，直线与圆相交，且圆心(0,0)不在该直线上解法二：直线 kxy10 恒过定点(0,1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该直线上
15、2已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位置关系是()A相切 B相交C相离D不确定解析：选 B 点 M(a，b)在圆 x2y21 外，a2b21.圆心(0,0)到直线 axby1 的距离 d1a2b21r，则直线与圆的位置关系是相交3平行于直线 2xy10 且与圆 x2y25 相切的直线的方程是()A2xy 50 或 2xy 50B2xy 50 或 2xy 50C2xy50 或 2xy50D2xy50 或 2xy50解析：选 D 依题意可设所求切线方程为 2xyc0，则圆心(0,0)到直线 2xyc0 的距离为|c|2212 5，解得 c5.故所求切线的
16、直线方程为 2xy50 或 2xy50.4设 A，B 为直线 yx 与圆 x2y21 的两个交点，则|AB|等于()A1 B.2C.3D2解析：选 D 直线 yx 过圆 x2y21 的圆心 C(0,0)，则|AB|2.5过原点的直线与圆 x2y22x4y40 相交所得弦长为 2，则该直线的方程为解析：设所求直线方程为 ykx，即 kxy0.由于直线 kxy0 被圆截得的弦长等于 2，圆的半径是 1，因此圆心到直线的距离等于122220，即圆心(1,2)位于直线 kxy0上于是有 k20，即 k2，因此所求直线方程是 2xy0.答案：2xy0word部分：请做：课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块