1、第二章第二节一、选择题1(文)下列函数中，在(0,1)上是减函数的是()Aylog0.5(1x)Byx0.5Cy0.51xDy(1x2)答案D解析u1x在(0,1)上为减函数，且u0，ylog0.5(1x)为增函数，y0.51x为增函数；又0.50，幂函数yx0.5在(0,1)上为增函数；二次函数y(1x2)开口向下，对称轴x0，故在(0,1)上为减函数(理)(2014东营模拟)下列函数在(0，)上是增函数的是()Ayln(x2)ByCyxx1Dy()|x|答案C解析当x1时，yln(x2)无意义；y在0，)上单调递减；y()|x|在0，)上单调递减，选C.2(2014山西运城模拟)已知函数f
2、(x)则“c1”是“函数f(x)在R上递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析c1时，f(x)在R上单调递增；c2时，f(x)在R上也单调递增，故选A.3(文)(2013延安中学期中)设a20.3，b()，clog2，则a、b、c的大小关系是()AabcBbacCcbaDbca答案C解析clog2201,0b()()01，cbbcBbacCacbDcab答案C解析a5log23.4，b5log43.65log2，c()log20.35log2，由对数函数的单调性有log23.4log2log2，由指数函数单调性，有acb，故选C.4(2014安徽省
3、“江南十校”联考)函数ylog2(|x|1)的图象大致是()答案B解析首先判断定义域为R.又f(x)f(x)，所以函数ylog2(|x|1)为偶函数，当x0时，ylog2(x1)由对数函数的图象特征知排除A、C，又x1时，y1，排除D，故选B.5(文)(2015大连市二十中期中)下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x)Bf(x)x21Cf(x)x3Df(x)2x答案A解析yx3为奇函数，y2x为非奇非偶函数，yx21在(，0)上单调递减，y在(，0)上单调递增，故选A.(理)(2015焦作市期中)下列函数中是偶函数，且在(0,2)内单调递增的是()Ayx22xByco
4、sx1Cylg|x|2Dy2x答案C解析yx22x与y2x都是非奇非偶函数；ycosx1在0，上单调递减，故在(0,2)内单调递减；ylg|x|2在(0，)上单调递增，故在(0,2)内单调递增，选C.6当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A(0，)B(，1)C(1，)D(，2)答案B解析04x0，0a42logaa2，a，排除A，选B.二、填空题7(2015滕州一中月考)若函数f(x)|x|(x2)在区间(a,2a1)上单调递减，则实数a的取值范围是_答案(1，解析f(x)易知f(x)的单调递减区间为1,0，由题意知(a,2a1)1,0，10的x的集合为_答案x|0x，或1x0，得l
5、ogx或logx0，解得0x或1x3.所以满足条件的x的取值集合为x|0x，或1x0的m的取值范围为_答案(2，)解析因为f(x)3xsinx的定义域R关于原点对称，且满足f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数又因为f (x)3cosx0，所以函数f(x)在R上单调递增，则f(2m1)f(3m)0等价于f(2m1)f(3m)，即f(2m1)f(m3)，故2m1m3，解得m2.三、解答题10(2013唐山一中月考)已知函数f(x)alnxax3(aR)(1)若a1，求函数f(x)的单调区间并比较f(x)与f(1)的大小关系；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45
6、，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2f (x)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；(3)求证：0)，由f (x)0得x1；由f (x)0得0x0)，tan451，f (2)1，得a2，f(x)2lnx2x3，g(x)x3(2)x22x，g (x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g (0)2，由题意知：对于任意的t1,2，g(t)0恒成立，所以，mf(1)，即lnxx10，0lnxx1对一切x(1，)成立n2，nN*，则有0lnnn1，0，(n2，nN*).一、选择题11(2014吉林长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0
7、，且在(，0)上单调递增，如果x1x20且x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A可能为0B恒大于0C恒小于0D可正可负答案C解析f(x)f(x)0，f(x)为奇函数，x1x20，x1x20，x1x20或x2x10，f(x)在(，0)上单调递增，f(x1)f(x2)或f(x2)f(x1)又f(x)为奇函数，f(x1)f(x2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)答案C解析当a0时，f(a)f(a)，log2alogalog2.a，得a1.当af(a)，log(a)log2(a)a得1a0，故选C.13(文)(201
8、3温州第一次测试)已知函数f(x)在R上是单调函数，且满足对任意xR，都有ff(x)2x3，则f(3)的值是()A3B7C9D12答案C解析由题意知，对任意xR，都有ff(x)2x3，不妨令f(x)2xc，其中c是常数，则f(c)3，f(x)2xc.再令xc，则f(c)2cc3，即2cc30.易得y2c的图象与y3c的图象至多只有1个交点，c1，f(x)2x1，f(3)2319.(理)(2014浙江省名校联考)设f(x)在(0，)上是单调递增函数，当nN*时，f(n)N*，且ff(n)2n1，则()Af(1)3，f(2)4Bf(1)2，f(2)3Cf(2)4，f(4)5Df(2)3，f(3)4
9、答案B解析由ff(n)2n1，得ff(1)3，ff(2)5.当nN*时，f(n)N*，若f(1)3，则由ff(1)3得，f(3)3，与f(x)在(0，)上单调递增矛盾，故选项A错误；若f(2)4，则f(4)5,4f(3)5，与f(3)N*矛盾，故选项C错；若f(2)3，则由ff(2)5得f(3)5，故选项D错14(文)函数f(x)在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()A(，1)B(1，)C(，3)D3，)答案D解析f(x)在(a2，)上是增函数，由条件知a21，且a10，a3.(理)(2015重庆南开中学月考)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足：f(2x)f(x)；f(x2)f(x2)
10、；当x1，x21,3时，f(2015)f(2016)Bf(2016)f(2015)f(2014)Cf(2016)f(2014)f(2015)Df(2016)f(2014)f(2015)答案C解析因为f(2x)f(x)，所以该函数的对称轴为x1，由f(x2)f(x2)，令tx2，代入得f(t4)f(t)，所以该函数周期为4，因为当x1，x21,3时，f(3)f(2015)二、填空题15(2014福建厦门质检)函数f(x)()xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_答案3解析由于y()x在R上递减，ylog2(x2)在1,1上递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为
11、f(1)3.16(文)(2015江西赣州市博雅文化学校月考)已知f(x)是定义在2,2上的函数，且对任意实数x1，x2(x1x2)，恒有0，且f(x)的最大值为1，则不等式f(log2x)1的解为_答案0x4解析由条件知，f(x)在2,2上单调递增，且f(2)1，不等式f(log2x)1化为f(log2x)f(2)，log2x2，0x0的解集是_答案(0，)(2，)解析由f(x)是偶函数，且在0，)上是增函数，可得f(x)在(，0)上是减函数，f(log4x)0f(log4x)f()log4x，解得0x2.三、解答题17已知f(x)axlnx，x(0，e，aR.(1)若a1，求f(x)的极小值
12、；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3.解析(1)f(x)xlnx，f (x)1，当0x1时，f (x)0，此时f(x)单调递减；当1x0，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)假设存在实数a，使f(x)axlnx，x(0，e有最小值3，f (x)a，当a0时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以，此时f(x)最小值不为3；当01，即a1时，f(x)在区间1， )上先减后增，f(x)minf()22；若1，即0a1时，f(x)在区间 1，)上是增加的f(x)minf(1)a3.综上所述，f(x)min.(2)图象法设a，bR，
13、定义maxa，b，函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)，则f(x)的最小值是_答案解析令y1|x1|，y2|x2|，在同一坐标系中分别作出其图象，如图所示，根据条件知函数f(x)的图象为图中的射线PA，PB构成，由，解得y.即为函数f(x)的最小值(3)反函数法函数y的值域为_答案(1,1解析解法1：(反函数法)由y得x20，解得1y1.解法2：(分离常数法)y1.x211，02，10时，可化简函数解析式，利用基本不等式求解函数的最值，进而确定其取值范围；当x0时，可利用配方法求解其取值范围，最后把两个取值范围取并集，即得函数的值域解析当x0时，f(x)x2，由基本不等式可得x24(当
14、且仅当x，即x2时等号成立)，所以f(x)x2422，即此时f(x)2，)当x0时，f(x)x22x(x1)21，因为当x1时，f(x)取得最大值1，所以此时f(x)(，1综上，f(x)的值域为(，12，)，故选B.(6)导数法设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在(，)上存在单调递增区间，求a的取值范围(2)当0a0，得a所以，当a时，f(x)在(，)上存在单调递增区间即f(x)在(，)上存在单调递增区间时，a的取值范围是(，)(2)令f (x)0，得两根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,
15、4上的最大值为f(x2)，又f(4)f(1)6a0，即f(4)0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.分析(1)利用定义法，取x10利用f(mn)f(m)f(n)1将f(x2)f(x1)用f(x2x1)表示与0比较大小结论(2)利用f(mn)f(m)f(n)1及f(3)4，将2表示成函数值f(x0)得f(a2a5)f(x0)用单调性脱掉“f”求解解析(1)设x10.因为当x0时，f(x)1，所以f(x2x1)1.f(x2)f(x2x1)x1)f(x2x1)f(x1)1，所以f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)
16、，所以f(x)在R上为增函数(2)因为m，nR，不妨设mn1，所以f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，所以f(1)2，所以f(a2a5)2f(1)，因为f(x)在R上为增函数，所以a2a513a2，即原不等式的解集为a|3a2失误与防范失误点防范措施处不会根据条件f(mn)f(m)f(n)1，构造f(x2)f(x2x1)x1)，进而将f(x2)f(x1)用f(x2x1)表示而失分在利用定义法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对x1或x2进行适当变形，进而将f(x2)f(x1)与0比较大小处不能根据条件f(
17、mn)f(m)f(n)1及f(3)4，将所解不等式转化为f(a2a5)f(1)，从而无法根据单调性脱掉“f”而失分求解含“f”的不等式问题，应先利用已知条件将不等式转化为f(x1)0，t1且x，f(t)lg，即f(x)lg(x1)(2)待定系数法若已知函数的结构形式，则可用此法设二次函数f(x)满足f(x2)f(x2)且图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式解析二次函数f(x)满足f(x2)f(x2)，f(x)的图象关于直线x2对称，故可设f(x)a(x2)2c，f(x)的图象在y轴上的截距为1，f(0)1，4ac1，又f(x)的图象在x轴上截得线段长为2，2与2
18、是方程a(x2)2c0的两根，2ac0由、解得，a，c1，f(x)(x2)21，即f(x)x22x1.(3)消元法已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(x)、f等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)已知函数f(x)满足条件：f(x)2f(x)x，则f(x)_.答案x分析由于难以判断f(x)是何种类型的函数，故不可能先设出f(x)的表达式，但如果把条件中的x换成x，即得f(x)2f(x)x，把f(x)、f(x)作为一个整体量，实际上得到了这两个量的方程组解析用x代换条件方程中的x得f(x)2f(x)x，把它与原条件式联立2
19、得，f(x)x.(4)赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化、具体化，进而获解已知f(0)1，f(ab)f(a)b(2ab1)，求f(x)解析令a0，则f(b)f(0)b(b1)1b(b1)b2b1再令bx得：f(x)x2x1.解法探究赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点如本题另解：令ba，则1f(0)f(a)a(2aa1)f(a)a(a1)f(a)a2a，f(a)a2a1，f(x)x2
20、x1.(5)转化法已知f(x)在某个区间上的表达式及f(x)具有某种性质(如奇偶性、对称性等)，求f(x)在另一个区间上的表达式，常用转化法求解已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)kf(x2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间0,2上有表达式f(x)x(x2)(1)求f(1)，f(2.5)的值；(2)写出f(x)在3,3上的表达式，并讨论函数f(x)在3,3上的单调性解析(1)由f(1)kf(1)，f(2.5)f()知需求f()和f(1)，f(1)1，f()(2)，f(1)k，f(2.5)(2)0x2时，f(x)x(x2)，设2x0，则0x22，f(x)kf(x2)k(x2)x；设3x2，则1x20，f(x)kf(x2)k2(x4)(x2)；设2x3，则0x21，f(x)kf(x2)，f(x2)kf(x)，f(x)f(x2)(x2)(x4)综上可知，f(x)k0，由二次函数的知识知：f(x)在3，2)上是增函数，在2，1)上是增函数，在1,0)上是减函数，在0,1)上是减函数，在1,2上是增函数，在(2,3上是增函数，又各区间都可以是闭区间，f(x)在3，1上是增函数，在1,1上是减函数，在1,3上是增函数