1、南康中学20202021学年度第一学期高二第四次大考数 学（理）试 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）1、抛物线的准线方程为（ ）ABCD2从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A至少有1个白球，都是白球 B至少有1个白球，至少有1个红球C至少有1个白球，都是红球D恰有1个白球，恰有2个白球3“x”是“函数ysin 2x取得最大值”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4.已知向量则与的夹角为()A B C D:5某产品的广告
2、费用与销售额的统计数据如表广告费用(万元)4235销售额(万元) 49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（ ）A84.9万元B103.1万元C93.7万元D万元6若如下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（ ） A B C D7袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）A B C D8已知抛物线的焦点为，直线过与交于、两点，与抛物线的准线交于点，若，则（ ）A2 B3 C4 D69.已知命题存在，使得成立；对任意的
3、，以下命题为真命题的是（ ）A.B. C. D. 10北宋欧阳修在卖油翁中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.因曰：我亦无他，唯手熟尔.”可见技能都能通过反复苦练而达至熟能生巧之境地.若铜钱是半径为1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（ ）AB CD11已知椭圆右焦点为F（3,0）过点F的直线交E于A,B两点，若AB的中点坐标为，则E的离心率是( )AB CD12在底面为直角三角形的直三棱柱中，点为四边形对角线的交点，点为平面上一动点，则的最小值为（ ）A B8 C
4、D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上的相应位置）13.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则样本容量主视图左视图俯视图为 14.已知焦点在轴上的椭圆的离心率,则m的值为_15一个几何体的三视图如图所示，其中主视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 16.已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17.（本小题
5、满分10分）已知：当时，对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果为真命题，求实数的取值范围18.（本小题满分12分）某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布如下表所示组号分组频数频率第1组160，165)50.050第2组165，170)0.350第3组170，175)30第4组175，180)200.200第5组180，185)100.100合计1001.00(1)请求出频率分布表中，处应填的数据；(2)为了能选拔最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样法抽取6名学生进入第二轮面试，问第3，4，5组每组各
6、抽取多少名学生进入第二轮面试？(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行的面试，求第4组恰有一名学生被考官A面试的概率19（本小题满分12分）已知四棱锥中，平面，底面为菱形，、分别为线段、中点，求证：（1）平面；（2）平面.20. （本小题满分12分）已知两个顶点的坐标分别是边所在直线的斜率的乘积是.（1）求顶点的轨迹方程；（2）设点为顶点的轨迹上一动点，求的取值范围.21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上(不含端点)是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请
7、说明理由.22（本小题满分12分）设椭圆的方程为，点为坐标原点，点，的坐标分别为，直线的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，问是否存在实数使得以为直径的圆恒过点？若存在，求的值；若不存在，说明理由.南康中学20202021学年度第一学期高二第四次大考数学（理）参考答案一、选择题123456789101112DDACBDBBADCA二、 填空题。13.15 14.3 15. 16.三、解答题。17.解：对任意实数x都有ax2ax10恒成立；2分关于x的方程x2xa0有实数根14a0a； 4分若为真，则真真6分8分10分18.(1)0.3510035；0.30
8、0.4分(2)因为第3，4，5组共有30201060(人)，所以利用分层抽样抽取，第3组：63(人)，第4组：62(人)，第5组：61(人)，即第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人8分(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从6名同学中抽取2名同学有15种如下可能：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)其中第4组的第2位同学B1，B2恰
9、有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，8种可能，所以第4组恰有一位同学入选的概率为.12分19.（1）作中点，连结，.为中点菱形，是中点.，四边形为平行四边形，面，面，面.6分（2）为中点，菱形，在中，面，面，面.12分20解（1）（6分）(2) （12分）21.解:（1）连接交于点，连接.是平行四边形，是的中点.又是的中点， 又平面，平面，平面；4分（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为.，即不妨取，得 6分假设在线段上(不含端点)存在一点，使得二面角的余弦值为.连接.设， 得.设平面的法向量为.，即不妨取，得 8分设二面角的平面角为，则.8分化简得，解得，或.10分二面角的余弦值为，.在线段上存在一点，且，使得二面角的余弦值为.12分22.（1）设点的坐标为，又，椭圆的方程为.4分（2）依题意，设直线的方程为，代入，得.设，则，.7分假设存在实数，使得以为直径的圆恒过点，则.又，9分即，将，代入，整理得，解得，即当时，存在实数使得以为直径的圆恒过点.12分