1、第四章 圆与方程 41 圆的方程411 圆的标准方程登高揽胜 拓界展怀课前自主学习1会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点2会根据已知条件求圆的标准方程3能准确判断点与圆的位置关系学 习 目 标自主导学预习课本 P118P120，思考并完成以下问题知识点一|圆的定义及圆的标准方程 1圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径2圆的标准方程小试身手1在平面中确定圆的要素是()A圆心 B半径C圆心和半径D以上都不正确答案：C2 圆 心 是 O(3,4)，半 径 长 是 5 的 圆 的 方 程为答案：(x3)2(y4)225知识点二|点与圆的位置关
2、系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 比较：若|CM|r，则点 M 在 3 _；若|CM|r，则点 M 在 4 _；若|CM|r2；点 M(m，n)在 8 _(ma)2(nb)2r2.圆C上圆C外圆C内思考探究|辨别正误|1点 A(1,1)，B(4,0)，C(2，2)同圆 x2y24 的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径 r2 是什么关系？提示|OA|2，|OB|2，|OC|2.2若圆的方程为(xa)2(yb)2c2，则此圆的半径一定等于 c 吗？提示 不一定，圆
3、的半径应为|c|.剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 求圆的标准方程【例 1】已知圆过两点 A(3,1)，B(1,3)，且它的圆心在直线 3xy20 上，求此圆的标准方程解 解法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，依题意，有3a21b2r2，1a23b2r2，3ab20，即a2b26a2br210，a2b22a6br210，3ab20.解得a2，b4，r210.故所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210.解法二：直线 AB 的斜率 kAB 311312，所以线段 AB 的垂直平分线 m 的斜率为 2.线段 AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为 x312 1，y132 2，因此直
4、线 m 的方程为 y22(x1)，即 2xy0.又因为圆心在直线 3xy20 上，所以圆心是这两条直线的交点联立方程，得2xy0，3xy20，解得x2，y4.设圆心为 C，所以圆心坐标为(2,4)又因为半径 r|CA|10，所以所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210.解法三：设圆心为 C.因为圆心在直线 3xy20 上，所以可设圆心 C 的坐标为(a,3a2)又因为|CA|CB|，所以 a323a212 a123a232，解得 a2.所以圆心为(2,4)，半径长 r|CA|10.故所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210.求圆的标准方程的三种常用方法：解法一是待定系数法；解法二、解法三是
5、由平面几何的性质直接求得圆心坐标和半径其中待定系数法思路直接体现了方程的思想，是通用方法；解法二和解法三对像圆这样的有明确的几何性质的曲线解答较简捷，运算量也不大在解题过程中，要仔细审题，充分利用圆的性质，如圆上一点到圆心的距离就是半径，圆的任一弦的垂直平分线均过圆心等.|方法总结|1ABC 的三个顶点分别为 A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)，求其外接圆的标准方程解：解法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.因为 A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程，于是有0a25b2r2，1a22b2r2，3a24b2r2.解此方程组，得a3，b1，
6、r225.故所求外接圆的标准方程是(x3)2(y1)225.解法二：因为 A(0,5)，B(1，2)，所以线段 AB 的中点的坐标为12，32，直线 AB 的斜率 kAB2510 7.所以线段 AB 的垂直平分线的方程是y3217x12，即 x7y100，同理，线段 BC 的垂直平分线的方程是 2xy50.由x7y100，2xy50，得圆心的坐标为(3,1)又因为圆的半径长 r 3021525，所以所求外接圆的标准方程是(x3)2(y1)225.题型二 点与圆的位置关系的判断【例 2】已知点 A(1,2)不在圆 C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数 a 的取值范围解 由题意，得点 A
7、在圆 C 上或圆 C 的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a52，又 a0，a 的取值范围是52，0(0，).判断点P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：当(x0a)2(y0b)2r2时，点在圆外.|方法总结|2若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是()A1a1 B0a1Ca1 或 a1 D1a0解析：选 A 直接利用点与圆的位置关系来判断点(1,1)在圆的内部，(1a)2(1a)24.解得1a
8、1.题型三 与圆有关的最值问题【例 3】已知实数 x，y 满足方程(x2)2y23.求yx的最大值和最小值解 原方程表示以点(2,0)为圆心，以 3为半径的圆，设yxk，即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值和最小值，此时|2k0|k21 3，解得 k 3.故yx的最大值为 3，最小值为 3.【探究 1】变设问在本例条件下，求 yx 的最大值和最小值解 设 yxb，即 yxb，当 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值，此时|20b|2 3，即 b2 6.故 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6.【探究 2】变设问在本例条件下，求 x2y2 的最大值和最小值解
9、 x2y2 表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为 2，故(x2y2)max(2 3)274 3，(x2y2)min(2 3)274 3.【探究 3】变条件、变结论已知圆 C：(x3)2(y4)21，点 A(0，1)，B(0,1)，设 P 是圆 C 上的动点，令 d|PA|2|PB|2，求 d 的最大值及最小值解 设 P(x，y)，则 d|PA|2|PB|22(x2y2)2.|CO|2324225，(51)2x2y2(51)2.即 16x2y236.d 的最小值为 216234.最大值为 236274.|方
10、法总结|与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如 uybxa形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题(2)形如 laxby 形式的最值问题，可转化为动直线 yabxlb截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2 形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题知识归纳 自我测评堂内归纳提升规律方法1一种方法：确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于 a，b，r 的方程组求 a，b，r 或直接求出圆心(a，b)和半径 r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率2两种思路：讨论点与圆的位置关系可以
11、从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷自测检评1圆(x1)2(y 3)21 的圆心坐标是()A(1，3)B(1，3)C(1，3)D(1，3)答案：C2点 P(m,5)与圆 x2y224 的位置关系是()A在圆外B在圆内C在圆上D不确定解析：选 A m22524，点 P 在圆外3若点 P(1，3)在圆 x2y2m2 上，则实数 m.解析：P 点在圆 x2y2m2 上，(1)2(3)24m2，m2.答案：24经过原点，圆心在 x 轴的负半轴上，半径为 2 的圆的方程是解析：圆心是(2,0)，半径是 2，所以圆的方程是(x2)2y24.答案：(x2)2y245求以 A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)为顶点的三角形的外接圆的方程解：设所求圆的方程是(xa)2(yb)2r2.将点 A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)代入上式得2a22b2r2，5a23b2r2，3a21b2r2，解此方程组，得a4，b1，r25.所以，ABC 的外接圆方程是(x4)2(y1)25.word部分：请做：课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块