1、高考资源网（） 您身边的高考专家2020届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试理科数学注意事项：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答题时，考生务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，答题时间120分钟.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数满足，则
2、复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：由得，所以复数在复平面内对应的点在第一象限，故选A.考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.2.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合A,B，根据并集的定义运算即可.【详解】由条件得，所以，即：.故选：D【点睛】本题主要考査了集合之间的基本运算，不等式的解法，解题关键在于正确求解不等式，并用数轴表示集合之间的关系，属于容易题.3.在同一直角坐标系中，函数且图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题通过讨论的不
3、同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.4.设，且是第二象限的角，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由二倍角公式可得，根据同角三角函数关系求出，再利用
4、正切函数的二倍角公式即可.【详解】由得，因为是第二象限的角，所以，所以，所以，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式、特殊角的三角函数值，属于中档题.5.函数和的图像在上交点的个数为（ ）A. 3B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】函数图象交点的个数可转化为方程根的个数，解方程即可求解.【详解】由得，所以，亦即或，当时，的值在内可以为，0，当时，的值在内可以为，0，所以在的根为，0，或，故选:B【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形、三角函数求值,考查了转化思想，属于中档题.6.已知函数满足，则等于（ ）A. 0B. 2C. 8D. 不确定【答案】C【解析】【
5、分析】根据条件可知函数关于对称，根据对称性可知，利用定积分性质即可求解.【详解】由得关于对称.所以，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了函数的对称性、定积分的几何意义,定积分的运算性质，属于中档题.7.已知等比数列满足，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据数列为等比数列可得，可证明是以为首项，为公比的新等比数列，根据等比数列前n项和计算即可.【详解】，整理得及解得或-3（舍）,对于，设，则，其本质是以为首项，为公比的新等比数列的前项和,故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式与前项和公式，考查了等比数列基本量的运算，属于中档题.8.已知，若在区间上单调时，的
6、取值集合为，对不等式恒成立时，的取值集合为，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】化简函数，由题意知，从而可知，由不等式恒成立，分离参数可知恒成立，可求出，由充分条件、必要条件定义即可判断“”是“”的充分非必要条件.【详解】，可知函数周期，由题可知函数在区间，故该区间长度需小于等于半个周期，及，对于不等式，；设，；不等式等价于恒成立，及，对于，及集合，“”是“”的充分非必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数单调区间求解，不等式恒成立问题，基本不等式、充分必要条件的判断,属于难题.9.在平面直角坐标
7、系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为（ ）A. -2B. 0C. -3D. -4【答案】C【解析】【分析】设点，点，,可得，利用二次函数求最值即可.【详解】设点，点，则，；当时，的最小值为-3，故选：C【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算、数量积及函数最值问题，属于中档题.10.等差数列的公差不为0，是其前项和，给出下列命题：若，且，则和都是中的最大项；给定，对一切，都有；若，则中一定有最小项；存在，使得和同号.其中正确命题的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】中可推导，结合，可知数列前5项为正，第6项为0，即可判断结论正误根据等差数列中下标之
8、和相等则项的和相等的性质，可判断正误时，不论首项的符号，都能判断中一定有最小项根据等差数列的定义可知和分别为，即可判断正误.【详解】对于若，可得，即，所以和都是中的最大项，正确；根据等差中项性质可知，所以是正确的；根据等差数列求和公式可知，当时，是最小值；当，或时取最大值；和，因为，所以和异号，故是错误的.【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式和前项和的性质，属于中档题.11.已知函数满足，且，则函数零点的个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 0个【答案】B【解析】【分析】根据，可得，即有，可推出，解方程，得或，判断零点个数即可.【详解】，代入，得，.或，；，如图所示，函数与函数的
9、图像交点个数为2个，所以的解得个数为2个；综上，零点个数为3个，故选：B【点睛】本题主要考查了导数公式的逆用，以及函数与方程问题，函数的零点个数，数形结合，属于难题.12.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示1-9的一种方法.则据此，3可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1-9这9数字表示的两位数的个数为（ ）A. 9B. 13C. 16D. 18【答案】C【解析】【分析】根据题意6根算筹可表示数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；
10、其中数字组合3、3，7、7只表示2个两位数；其余7组每组可表示2个两位数，共个，因此可表示的两位数为16个.【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数；则一共可以表示个两位数.故选:C【点睛】本题主要考查了数学文化，并以数学文化为载体考查考生的阅读能力以及逻辑推理能力，属于中档题.第卷（非选择题共90分）本卷包含必考题和选考题两部分，第13
11、题21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在题中横线上.）13.已知实数满足约束条件，则的最大值为_.【答案】5【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，所以的最大值为. 故答案为5.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的
12、一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.如图，在等腰梯形中，于点，如果选择向量与作基底，则可用该基底表示为_.【答案】【解析】【分析】由题意可知为的中点，根据向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可得为的中点，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，涉及向量的加、减法则，属于中档题.15.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得
13、份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为_.【答案】【解析】【详解】设此等差数列为an，公差为d，则 （a3+a4+a5）=a1+a2，即，解得a1=，d=最小一份为a1，故答案为16.已知常数，函数的图像过点，若，则的值是_.【答案】【解析】【分析】将点代入函数解析式，联立可得，结合，化简得，解方程即可求解.【详解】由条件在函数图象上，则，即，所以函数图象上，则，即，所以得，又所以由，显然可知，均不为0，因为，故上式可化为，解之得：.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的性质及其运算.，需要有很强的代数变形能力和运算求解能力，属于难题.三、解答题（本大题共6个小题，
14、满分70分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）17.已知函数，.（1）若是第二象限角，且，求的值；（2）求的最大值，及最大值对应的的取值.【答案】（1）（2）的最大值为3，此时【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简，由求，根据同角三角函数关系求解即可（2）由（1）知，根据正弦函数性质求解即可.【详解】（1），则，则，是第二象限角，.（2）.当时，取得最大值3，此时，即.【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换化简三角函数，结合三角函数图像求最值,属于中档题.18.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）判断函数的导函数在上的单调性；并求出函数在上的最大值.【答案】（1）（2）在上
15、单调递增，在上单调递减；【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可知，点斜式即可求出切线方程（2）导数在上为正，所以单调递增，当时，单调递减,同时，可知在上单调递增，在上单调递减，即可根据极值求函数的最大值.【详解】（1），切点，所以切线方程为.（2），令得，当时，单调递增；当时，单调递减；且，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数判断原函数的单调性，函数在闭区间上的最值问题,属于中档题.19.（1）当时，求证：；（2）如图，圆内接四边形的四个内角分别为、.若，.求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据正余弦的二倍角公式从左
16、边向右边即可化简证明（2）为圆的内接四边形可知，由（1）结论原式可化为，连接、，设，由余弦定理即可求解.【详解】（1）证明.（2）因为为圆的内接四边形，所以，由此可知：连接、，设，由余弦定理可得：，解得，那么，.所以原式.【点睛】本题主要考查了倍角公式的应用，四点共圆对角互补以及正余弦定理的运用，属于难题.20.已知函数，若函数在定义域上有两个极值点，而且. （1）求实数的取值范围；（2）证明：.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质确定a的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f（x1）+f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可【详解】（1
17、）因为函数在定义域上有两个极值点，且，所以在上有两个根，且，即在上有两个不相等的根，.所以，解得，即的取值范围为.（2）证明：由题可知，是方程的两个不等的实根，所以，其中故，令，其中.故，所以在上单调递减，则，即.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21.给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”.（1）设是首项为，公比为的等比数列，判断数列是
18、否与接近，并说明理由；（2）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在这100个值中，至少有一半是正数，求的取值范围.【答案】（1）数列与是接近的，详见解析（2）【解析】【分析】（1）写出与的通项公式，计算即可证明（2）由题意，分公差，公差，公整分类讨论，分别取满足条件，利用与接近的定义，计算中所含的正数.【详解】（1）数列与是接近的.理由如下：因为是首项为公比为的等比数列，所以，所以，即数列与是接近的.（2）因为是公差为的等差数列，若存在数列满足：与是接近的，可得，若公差，可取，可得，则中有100个正数，符合题意；若公差，取，则，则中有100个正数，符合题意；若公差，可令，则中有5
19、0个正数，符合题意；若公整，若存在数列满足：与是接近的，即为，可得，则中无正数，不符合题意；综上：的取值范围是.【点睛】本题主要考查了对新定义类问题，涉及等差数列的通项公式，绝对值不等式的性质，对运算推理论证能力要求较高，属于难题.请考生在第22、23题中仼选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.在极坐标系中，直线过点，且与直线垂直.（1）设直线上的动点的极坐标为，用表示；（2）在以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴的直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若曲线与直线交于点，求点的极坐标及线段的长度.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）
20、点的极坐标为代入直线的极坐标方程即可求解（2）联立曲线与直线即可求解点的极坐标，利用两点间距离公式求的长度即可.【详解】（1）由已知条件可得：直线的极坐标方程为：，动点在直线上，.（2）曲线的极坐标方程为：，联立曲线与直线解得：或，当时：，当时：.或.【点睛】本题主要考查了极坐标方程的应用，以及极径的几何意义，属于中档题.23.已知函数.（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）成立的条件下，正数满足，证明：.【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，则原问题等价于，据此可得实数的最大值.（2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知，结合均值不等式的结论有，据此由综合法即可证得.法二：利用分析法，原问题等价于，进一步，只需证明，分解因式后只需证，据此即可证得题中的结论.【详解】（1）由已知可得，所以，所以只需，解得，所以实数的最大值.（2）证明：法一：综合法，当且仅当时取等号，又，当且仅当时取等号，由得，所以.法二：分析法因为，所以要证，只需证，即证，所以只要证，即证，即证，因为，所以只需证，因为，所以成立，所以.【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.高考资源网版权所有，侵权必究！
