1、2020-2021学年天津中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）.1已知M（7，3），N（1，5）则线段MN的垂直平分线方程是 2在平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+10，该圆的周长为 3圆（x2）2+（y1）23关于直线3x+5y+60对称的圆的方程为 4若不论m为任何实数，直线（m+2）x+（m1）y2m+30恒过一定点，则该定点坐标为 5已知直线xy+80和圆x2+y2r2（r0）相交于A，B两点若|AB|6，则r的值为 6若圆x2+y24，与圆C：x2+y2+2y60相交于A，B，则公共弦AB的长为 7已知P（a，b）为圆C：x2+y2
2、2x4y+40上任意一点，则的最大值是 8已知动直线l：（m+1）x+（m+2）ym30与圆C1：（x2）2+（y+1）236交于A，B两点，以弦AB为直径的圆为C2，则圆C2的面积的最小值是 二、解答题（共7小题）9已知圆C的圆心在直线2xy20上，且与直线l：3x+4y280相切于点P（4，4）（1）求圆C的方程；（2）求过点Q（6，15）与圆C相切的直线方程10（19分）设椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知2|AB|3|F1F2|（）求椭圆的离心率；（）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，求直线PB的斜率11（19分）设椭
3、圆1（ab0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3（）求椭圆的方程；（）设A为椭圆的下顶点，B为椭圆的上顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若+10，求k的值12（19分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点（）证明B1C1CE；（）求二面角B1CEC1的正弦值（）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长13（19分）设椭圆+1（ab0）的右顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心率为，|AB|（）求椭圆的方程；（）设直线
4、l：ykx（k0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限若BPM的面积是BPQ面积的2倍，求k的值14（19分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2（1）求证：EG平面ADF；（2）求二面角OEFC的正弦值；（3）求点D到直线EG的距离；（4）设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值15（19分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点（1）求证：MN平面AB
5、CD；（2）求二面角D1ACB1的正弦值；（3）求点B1到平面D1AC的距离；（4）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长参考答案一、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）.1已知M（7，3），N（1，5）则线段MN的垂直平分线方程是4xy80解：M（7，3），N（1，5），MN的中点坐标为（3，4），kMN，线段MN的垂直平分线方程是：y44（x3），即4xy80故答案为：4xy802在平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+10，该圆的周长为6解：平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+10，即 （x+1）2+（y+3）
6、29，故该圆的半径为3，故该圆的周长为236，故答案为：63圆（x2）2+（y1）23关于直线3x+5y+60对称的圆的方程为（x+1）2+（y+4）23解：设对称圆的圆心为（a，b），则依题意，得，解得a1，b4，对称圆的圆心（1，4），半径为，对称圆的方程为（x+1）2+（y+4）23故答案为：（x+1）2+（y+4）234若不论m为任何实数，直线（m+2）x+（m1）y2m+30恒过一定点，则该定点坐标为（，）解：（m+2）x+（m1）y2m+30整理可得：m（x+y2）+2xy+30，恒过直线x+y20和2xy+30的交点，联立方程组，解得：x，y，即过定点（，），故答案为：（，）5已
7、知直线xy+80和圆x2+y2r2（r0）相交于A，B两点若|AB|6，则r的值为5解：根据题意，圆x2+y2r2的圆心为（0，0），半径为r；则圆心到直线xy+80的距离d4，若|AB|6，则有r2d2+（）216+925，故r5；故答案为：56若圆x2+y24，与圆C：x2+y2+2y60相交于A，B，则公共弦AB的长为解：由题意AB所在的直线方程为：（x2+y2+2y6）（x2+y24）0，即y1，因为圆心O到直线y1的距离为1，所以故答案为：7已知P（a，b）为圆C：x2+y22x4y+40上任意一点，则的最大值是解：化圆C：x2+y22x4y+40为（x1）2+（y2）21，可得圆心
8、坐标为（1，2），半径为1又P（a，b）为圆C上任意一点，则的几何意义为圆C上的动点与定点（1，1）连线的斜率如图，设过（1，1）与圆（x1）2+（y2）21相切的直线方程为y1k（x+1），即kxy+k+10，由，解得k0或k的最大值是故答案为：8已知动直线l：（m+1）x+（m+2）ym30与圆C1：（x2）2+（y+1）236交于A，B两点，以弦AB为直径的圆为C2，则圆C2的面积的最小值是18解：根据题意，直线l：（m+1）x+（m+2）ym30即m（x+y1）+（x+2y3）0，解可得，则直线l恒过定点（1，2），设M（1，2），圆C1：（x2）2+（y+1）236，圆心C1为（2，
9、1），半径r6，|MC1|3，若直线l与圆C1：（x2）2+（y+1）236交于A，B两点，以弦AB为直径的圆为C2，当|AB|最小时，圆C2的面积的最小；当MC1与直线l垂直，即M为AB的中点时，|AB|最小，此时3，此时圆C2的面积S（3）218，故答案为：18二、解答题（共7小题，10、11、12答题卡区域略小，做好规划）9已知圆C的圆心在直线2xy20上，且与直线l：3x+4y280相切于点P（4，4）（1）求圆C的方程；（2）求过点Q（6，15）与圆C相切的直线方程解：（1）过点P（4，4）与直线l：3x+4y280垂直的直线m的斜率为k，所以直线m的方程为y4（x4），即4x3y4
10、0由，解得C（1，0）所以r5故圆C的方程为：（x1）2+y225（2）若过点Q（6，15）的直线斜率不存在，即直线是x6，与圆相切，符合题意；若过点Q（6，15）的直线斜率存在，设直线方程为y+15k（x6），即kxy6k150，若直线与圆C相切，则有5解得k此时直线的方程为xy70，即4x+3y+210综上，切线的方程为x6或4x+3y+21010（19分）设椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知2|AB|3|F1F2|（）求椭圆的离心率；（）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，求直线PB的斜率解：（）由题意可得，F1F22c，
11、因为2|AB|3|F1F2|，所以，整理可得a2+b29c2，又a2b2+c2，解得a25c2，所以；（）设P（x1，y1），F1（c，0），B（0，b），因为线段PB为直径的圆经过点F1，所以，即（cx1，y1）（c，b）0，所以c（c+x1）+by10，因为点P在椭圆1上，则，所以，即，令，则，整理可得21t2+10t750，即（3t5）（7t+15）0，解得或，均符合题意，所以，故或，所以直线PB的斜率为2或11（19分）设椭圆1（ab0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3（）求椭圆的方程；（）设A为椭圆的下顶点，B为椭圆的上顶点，过点F且斜率为k的直
12、线与椭圆交于C，D两点若+10，求k的值解：（）由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为；（）由（）可知，F（1，0），过点F且斜率为k的直线方程为yk（x+1），联立方程，可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2120，设C（x1，y1），D（x2，y2），则，故k2（x1x2+x1+x2+1），又，所以62x1x22y1y210，整理可得，解得12（19分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点（）证明B1C1CE；（）求二面角B1CEC1的正弦值（）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所
13、成角的正弦值为，求线段AM的长【解答】（）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）则，而0所以B1C1CE；（）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z1，得x3，y2所以由（）知B1C1CE，又CC1B1C1，所以B1C1平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是从而所以二面角B1CEC1的正弦值为（）解：，设 01，有取为平面ADD1A1的一个法向量，设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则于是解得所以所以线段AM的长为13（19分）设椭圆+1（ab0）的右
14、顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心率为，|AB|（）求椭圆的方程；（）设直线l：ykx（k0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限若BPM的面积是BPQ面积的2倍，求k的值解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2b2+c2，解得a3，b2，椭圆的方程为：，（）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2x10）则Q（x1，y1）BPM的面积是BPQ面积的2倍，|PM|2|PQ|，从而x2x12x1（x1），x25x1，易知直线AB的方程为：2x+3y6由，可得0由，可得，18k2+25k+80，解得k或k由0可得k，故k，14（19分）如图，正方形A
15、BCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2（1）求证：EG平面ADF；（2）求二面角OEFC的正弦值；（3）求点D到直线EG的距离；（4）设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，GI，因为四边形OBEF为矩形，则EFOB且EFOB，因为G，I分别是AB，AD的中点，则GIBD且GI，又O是正方形ABCD的中心，则OB，所以EFGI且EFGI，则四边形EFIG是平行四边形，故EGFI，又FI平面ADF，EG平面ADF，故EG平面ADF；（2）解：以点O为坐标原点，建立空
16、间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面CEF的法向量为，则，即，令z1，则，故，因为OC平面OEF，则平面OEF的一个法向量为，所以，则二面角OEFC的正弦值为；（3）解：因为，则，所以点D到直线EG的距离为；（4）解：因为，则，设H（a，b，c），则，解得，故，所以，故直线BH和平面CEF所成角的正弦值为15（19分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点（1）求证：MN平面ABCD；（2）求二面角D1ACB1的正弦值；（3）求点B1到平面D1AC的距离；（4）设E为棱A1B1上的点，若
17、直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长【解答】（1）证明：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，2，2），因为M，N分别为B1C，D1D的中点，则，由题意可知，是平面ABCD的一个法向量，又，所以，又MN平面ABCD，故MN平面ABCD；（2）解：由（1）可知，设平面ACD1的法向量为，则，令z1，则y1，故，设平面ACB1的法向量为，则，令c1，则b2，故，所以，故二面角D1ACB1的正弦值为；（3）解：因为，设平面D1AC的法向量为，则，令r1，则q1，故，所以，设点B1到平面D1AC的距离为d，则，所以点B1到平面D1AC的距离为；（4）解：由题意，设，其中0，1，则E（0，2），所以，又时平面ABCD的一个法向量，因为直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，则，整理可得2+430，又0，1，解得或（舍），故线段A1E的长为