1、目标导航1理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列(重点)2掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系(重点)3掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决问题(难点)1 新知识预习探究 知识点一 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示(q0)【练习 1】下面有四个结论：由第 1 项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；常数列 b，b 一定为等比数列；等比数列an中，若公比 q1，则此数列各项相等；等比数列中，各项
2、与公比都不能为零其中正确的结论的个数是()A0 B1C2 D3解析：错误，当乘以的常数为零时，不是等比数列；错误，b0 时不是等比数列；正确；故答案选 C.答案：C知识点二等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么G 叫做 a 与 b 的等比中项，这三个数满足关系式 G2ab.【练习 2】2 3与 2 3的等比中项为_解析：设等比中项为 G，由等比中项的定义知 G2(2 3)(2 3)1，G1.答案：1 知识点三等比数列的通项公式 已知等比数列an的首项为 a1，公比为 q(q0)，填表：递推公式通项公式anan1q(n2)ana1qn1【练习 3】在等比
3、数列an中，若 a23，a524，则数列an的通项公式为()A.322nB.322n2C32n2 D32n1解析：q3a5a2243 8，q2，而 a1a2q 32，an322n132n2.答案：C2 新视点名师博客1.对等比数列定义的理解对于等比数列的定义要注意：(1)“从第 2 项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；(3)“同一常数 q”，q 是等比数列的公比，即 q anan1或 qan1an.特别注意，q 不可以为零，当 q1 时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列；(4)等比数列的定义是判断一个数列为等比数列
4、的重要依据，即anan1q(q0，n2，nN*)an是等比数列；(5)定义中隐含：任一项 an0 且 q0，“an0”是数列an成等比数列的必要条件2对等比中项定义的理解(1)在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项；事实上等比数列中某一项是与其等距离的前后两项的等比中项，即 a2nanmanm(n，mN*，nm)(2)an0，且 a2nan1an1(n2，nN*)数列an是等比数列3通项公式的推广：anamqnm(m，nN*)推导过程：设 m，nN*，由通项公式，则anama1qn1a1qm1qnm.所以anamqnm微课：等比数列的
5、判定与证明3新课堂互动探究考点一 等比数列的概念 例 1 试判别下列数列是否为等比数列：(1)an(1)n1(3)n，nN*；(2)an(2)n3，nN*；(3)ann2n，nN*；(4)an1，nN*.分析：只须研究an1an 的值是否为常数，而不管 n(nN*)如何变化解析：(1)由题意得 an(1)n1(3)n，an1(1)n(3)n1，则有an1an 1n 3n11n1 3n 3.这个数列是等比数列(2)由题意得 an(2)n3，an1(2)n2，则an1an 2n22n32.这个数列是等比数列(3)由题意可得 ann2n，an1(n1)2n1，an1an n12n1n2n2n1n 2
6、2n，这个比值随 n 的取值不同而不同，即它不恒为常数，所以这个数列不是等比数列(4)由题意得 an1an1，则an1an 111.这个数列是等比数列点评：证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：an1an q(q 为常数且 q0)或 anan1q(q 为常数且 q0，n2)an为等比数列(2)等比中项法：a2n1anan2(an0，nN*)an为等比数列(3)通项公式法：ana1qn1(其中 a1，q 为非零常数，nN*)an为等比数列变式探究 1 下列四个结论中正确的是()A公比 q1 的等比数列的各项都大于 1B公比 q0，必有 q0 这一隐含条件变式探究 3 若 a218，a48，求
7、 a1 和 q.解：由已知得a4a2q2，即 q2 81849，q23或 q23.当 q23时，a1a2q 182327.当 q23时，a1a2q 182327.综上a127，q23或a127，q23.考点四 等比数列的判定与证明例 4 已知数列an满足：lgan3n5，试用定义证明an是等比数列分析：可由 lgan3n5 求出 an，再证明an1an 是与 n 无关的常数证明：lgan3n5，an103n5，an1an 103n15103n5 1000.数列an是等比数列点评：熟练掌握证明数列是等比数列常用的方法变式探究 4 已知数列an的前 n 项和为 Sn，Sn13(an1)(nN*)(
8、1)求 a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列解析：(1)由 S113(a11)，得 a113(a11)，故 a112.又 S213(a21)，即 a1a213(a21)，得 a214.(2)证明：当 n2 时，anSnSn113(an1)13(an11)，得 anan112，所以an是首项为12，公比为12的等比数列4 新思维随堂自测1已知an是等比数列，a22，a514，则公比 q()A12B2C2 D.12解析：由已知得a1q2，a1q414.q318，q12.答案：D2已知等比数列an满足 a1a23，a2a36，则 a7()A64 B81C128 D243解析：设等比数列的公比为
9、 q，由已知得：a1a1q3，a1qa1q26.解得a11，q2.a7a1q62664.答案：A3设 a12，数列12an是公比为 2 的等比数列，则 a6 等于()A31.5 B160C79.5 D159.5解析：12an(12a1)2n1，12a6525，a65321279.5.答案：C4已知an是递增等比数列，a22，a4a34，则此数列的公比 q_.解析：由 a22，a4a34，得方程组a22，a2q2a2q4 q2q20，解得 q2 或 q1.又an是递增等比数列，故 q2.答案：25(1)已知an为等比数列，且 a58，a72，该数列的各项都为正数，求 an；(2)若等比数列an的
10、首项 a198，末项 an13，公比 q23，求项数 n.解：(1)由 已 知 得a1q48，a1q62，解 得q214，a1128.an0，q12，a1128，an12812n112n8.(2)由 ana1qn1，得139823n1，即23n1233，解得 n4.5 辨错解走出误区易错点：忽略等比数列定义中的条件“公比 q 是常数”而致错【典例】已知an是首项为 1 的正项数列，且(n1)a2n1na2nan1an0，则an的通项公式为_【错解】(n1)a2n1na2nan1an0，即(an1an)(n1)an1nan0.an0，an1an0，(n1)an1nan，an1an nn1，an是以 1 为首项，nn1为公比的等比数列，数列an的通项公式为 annn1n1.故填 annn1n1.【错因分析】错解中 nn1不是常数，不能作为等比数列的公比【正解】(n1)a2n1na2nan1an0，(an1an)(n1)an1nan0.an0，an1an0，an1an nn1，即 an1 nn1an，ann1nan 1n1nn2n1an 2n1nn2n12312a1n1n n2n1231211n(n2)，当 n1 时，an1n也成立，数列an的通项公式为 an1n.故填 an1n.【反思】由an1an q 得an为等比数列中的 q 必须是一个非零常数
