1、2.相似三角形的性质课时过关能力提升基础巩固1三角形的一条中位线截该三角形所得的小三角形与原三角形的周长之比等于()A.14B.13C.12D.不确定解析小三角形与原三角形相似,其周长之比等于相似比.答案C2两个相似三角形对应中线分别长6 cm和18 cm,若较大三角形的面积是36 cm2,则较小三角形的面积是()A.6 cm2B.4 cm2C.18 cm2D.不确定解析相似比等于618=13,则S小S大=132=19,故S小=19S大=1936=4(cm2).答案B3已知ABCABC,AD,AD分别是ABC和ABC的角平分线,且ADAD=54,则ABC和ABC的内切圆的直径的比等于()A.4
2、5B.59C.94D.54解析ABC和ABC对应角平分线的比等于它们内切圆直径的比,故选D.答案D4已知ABC内切圆的半径r1=4,ABC内切圆的半径r2=6,且ABCABC,AB=2,则AB等于()A.3B.6C.9D.不确定解析ABCABC,r1r2=ABAB.46=2AB,AB=3.答案A5如图,在ABC中,M,N分别是AB,BC的中点,AN,CM交于点O,MON与AOC面积的比是.解析M,N分别是AB,BC的中点,MN12AC.MONCOA且MNAC=12.SMONSAOC=MN2AC2=122=14.答案146一条河的两岸是平行的,在河的这一岸每隔5 m有一棵树,
3、在河的对岸每隔50 m有一根电线杆,在这岸离岸边25 m处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有两棵树,则河的宽度为m.解析如图,A,B是相邻两电线杆的底部,F,G中间还有两棵树,则AB=50 m,FG=35=15(m),EC=25 m,CDAB,ABFG,则ECCD=FGAB.设河的宽度为x m,则2525+x=1550,解得x=1753,所以河的宽度是1753 m.答案17537如图,已知在ABCD中,AEEB=12,AEF的面积为6,则ADF的面积为.解析AEDC,AEEB=12,AEFCDF,且相似比EFFD=AEDC=AEAB=AEAE+EB=
4、13.又AEF的边EF上的高与ADF的边DF上的高相等,SAEFSADF=EFFD=13.又SAEF=6,SADF=18.答案188若两个相似三角形对应中线之比是37,周长之和为30 cm,则它们的周长分别是cm和cm.解析设两个三角形的周长分别为x cm,y cm,则xy=37,x+y=30,解得x=9,y=21.答案9219如图,已知D是ABC中AB边上一点,DEBC且交AC于点E,EFAB且交BC于点F,若SADE=1,SEFC=4,则四边形BFED的面积等于多少?分析由题意显然ADEEFC,由面积比能得出相似比,再由相似比转化为面积比,求出ABC的面积,利用S四边形BFED=SABC-
5、SADE-SEFC,得到四边形BFED的面积.解ABEF,DEBC,ADEABC,EFCABC,ADEEFC.又SADESEFC=14,AEEC=12.AEAC=13.SADESABC=19.SADE=1,SABC=9.S四边形BFED=SABC-SADE-SEFC=9-1-4=4.10如图,在ABC中,AB=14 cm,ADBD=59,DEBC,CDAB,CD=12 cm.求ADE的面积.分析先求出SABC,再由DEBC,可得ABCADE,由SADESABC=ADAB2,可求得SADE.解CDAB,SABC=12ABCD=121412=84(cm2).DEBC,ABCADE,SADESABC
6、=ADAB2.又ADBD=59,ADAB=514.SADE84=5142,SADE=757cm2.能力提升1如图,已知在矩形ABCD中,AB=12,AD=10,将此矩形折叠,使点B落在AD的中点E处,则折痕FG的长为()A.13B.635C.656D.636解析由题意得,直线FG是线段BE的中垂线.过点A作AHFG交CD于点H,如图.则四边形AFGH是平行四边形.所以AH=FG.因为FGBE,所以AHBE.所以ABE+BAH=90.因为BAH+DAH=90,所以ABE=DAH.因为BAE=ADH=90,所以ABEDAH.所以BEAB=AHAD.因为AB=12,AD=10,AE=12AD=121
7、0=5,所以BE=122+52=13.所以1312=AH10.所以AH=656,即FG=656.答案C2如图,D是ABC中AB边上一点,过点D作DEBC交AC于点E.已知ADDB=13,则ADE与四边形BCED的面积比为()A.13B.19C.115D.116解析因为DEBC,所以ADEABC.又因为ADDB=13,所以ADAB=14,SADESABC=116,则所求的两部分面积比为115.答案C3有一块三角形铁片ABC,已知BC=12 cm,高AD=8 cm,要把它加工成一个矩形铁片,使矩形的一边在BC上,其余的两个顶点分别在AB,AC上,且矩形的长是宽的2倍,则加工成的铁片的面积为()A.
8、18 cm2或1 15249 cm2B.20 cm2或18 cm2C.16 cm2D.15 cm2解析本题有图和图两种情况:如图,矩形的长EF在BC上,点G,H分别在AC,AB上,高AD交GH于点K,设矩形的宽为x cm,则长为2x cm.由HGBC,得AHGABC,得AKAD=HGBC(8-x)8=2x12x=247S矩形EFGH=2x2=1 15249(cm2);如图,矩形的宽MN在BC上,类似地,可求得S矩形MNPQ=18 cm2.答案A4在比例尺为1500的地图上,测得一块三角形土地的周长为12 cm,面积为6 cm2,则这块土地的实际周长是m,实际面积是m2.解析这块土地的实际形状与
9、在地图上的形状是两个相似三角形,由比例尺可知,它们的相似比为1500,则实际周长是12500=6 000(cm)=60 m;实际面积是65002=1 500 000(cm2)=150 m2.答案601505如图,已知在ABC中,BC=m,DEBC,DE分别交AB,AC于E,D两点,且SADE=S四边形BCDE,则DE=.解析DEBC,ADEACB.又SADE+S四边形BCDE=SABC,SADE=S四边形BCDE,SADE=12SABC.DEBC2=12.DEm2=12.DE=22m.答案22m6如图,BE,CF分别为钝角三角形ABC的两条高,已知AE=1,AB=3,CF=42,则BC边的长为
10、.解析在RtBEA中,BE=AB2-AE2=32-12=22,因为BEA=CFA,BAE=CAF,所以BEACFA,所以BEFC=ABAC,即AC=ABFCBE=34222=6,所以EC=AE+AC=7,所以在RtBEC中,BC=BE2+EC2=(22)2+72=57,所以答案应填:57.答案577如图,在梯形ABCD中,ADBC,AC,BD相交于点O,AO=2 cm,AC=8 cm,且SBCD=6 cm2,求SAOD.解AO=2 cm,AC=8 cm,OC=6 cm.ADBC,AODCOB.ADBC=OAOC=13.AD=13BC.SAODSBOC=19.设梯形ABCD的高为h,则SACD=
11、12ADh,SBCD=12BCh=6 cm2,BCh=12.3ADh=12.ADh=4.SACD=2 cm2.设SAOD=x cm2,SCOD=y cm2,则SACD=SAOD+SCOD,即x+y=2.又SBCD=SBOC+SCOD,9x+y=6.由x+y=2,9x+y=6,解得x=12,即SAOD=12 cm2.8如图,ABC的BAC的平分线交BC于点P,BAC邻补角的平分线交BC的延长线于点Q,M为PQ的中点.求证:(1)MA2=MBMC;(2)MBMC=AB2AC2.证明(1)因为M为PQ的中点,且PAC+CAQ=BAC+CAN2=1802=90,所以AM是RtPAQ斜边PQ的中线.所以AM=PM=MQ.又CAM=CAQ-MAQ=NAQ-Q=B,CMA=AMB,所以AMCBMA.所以AMBM=CMAM,即MA2=MBMC.(2)由(1)知AMCBMA,所以BMAM=AMCM=ABAC.所以BMAMAMCM=ABAC2,即MBMC=AB2AC2.
