1、目标导航1体会递推公式是数列的一种表示方法(重点)2理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项(难点)1 新知识预习探究知识点一 数列的递推公式 一个数列若满足以下两个条件：已知数列an的第 1 项 a1(或前几项)从第二项(或某一项)开始的任意项 an 与它的前一项 an1(或前几项)(n2，nN*)间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就叫做这个数列的递推公式【练习 1】在数列an中，a10，an1an(2n1)(nN*)，试写出数列的前 4 项，并归纳出通项公式解：a10，an1an(2n1)(nN*)，a2a1(211)1，a3a2(221)4，a4a3(231)9，an(n
2、1)2.知识点二 数列的递推公式与通项公式的异同点数列的递推公式与通项公式的异同点：不同点相同点通项公式可由序号 n 的值，直接代入求出数列的项 an递推公式可根据第一(或前几项)的值，通过一次或多次赋值求出数列的项，直至求出项 an都可以确定一个数列的任意一项【练习 2】已知数列an满足 a10，an11an3an，试写出它的一个通项公式解：a10，an11an3an，则a21a13a113，a31a23a212，a41a33a335，a51a43a423.这个数列的前 5 项为 0，13，12，35，23.将其适当变形为 0，13，24，35，46.数列an的通项公式为 ann1n1(n2
3、)，n1 时，11110a1.因此数列an的一个通项公式为 ann1n1.2 新视点名师博客1.用递推公式表示数列时要注意的几点(1)要给出数列的首项或前几项，这是递推的基础；(2)要给出任一项 an 与它的前一项或前几项的关系式，这是递推的依据；(3)同通项公式一样，不是所有的数列都可以用递推公式表示2通项公式和递推公式的作用(1)数列的通项公式是给出数列的主要形式，如果已知数列an的通项公式 anf(n)，可求出数列中的各项与指定项，还可以根据函数的性质，进一步探讨数列的增减性，数列中项的最大值或最小值(2)数列的递推公式是给出数列的另一重要形式一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的
4、相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项微课：已知数列的递推公式求数列的通项公式的方法3 新课堂互动探究考点一 根据数列的递推公式归纳通项公式 例 1(1)已知数列an满足 a11，an12an1，写出该数列的前五项并归纳它的通项公式；(2)已知数列an满足 a11，anan11nn1(n2)，写出该数列前五项并归纳它的通项公式分析：写出前几项后，寻找规律写出通项公式解析：(1)由递推公式 an12an1 和 a11，可得 a23，a37，a415，a531，所以数列的前 5 项是 1,3,7,15,31，所以数列an的通项公式为 an2n1.(2)由 anan11nn1和 a1
5、1，得a232，a353，a474，a595.所以an的前 5 项是 1，32，53，74，95，所以 an2n1n.点评：(1)通过本例说明根据递推公式一般可以求出数列的通项公式，表明了通项公式和递推关系式的联系，本例采用的观察法(2)根据初始值及递推公式归纳猜想通项公式，可用上面的根据数列的前几项写出一个通项公式的方法来处理，不同的是在写出前几项时一般不对前几项化简，但有时化简后有利于观察其通项公式，关键是尝试，而没有定法变式探究 1 已知数列an的第 1 项是 2，以后的各项由公式 an an11an1(n2,3,4，)给出，写出这个数列的前 5 项，并归纳出数列an的通项公式解：可依次
6、代入项数进行求值a12，a2 2122，a321223，a42312325，a52512527.即数列an的前 5 项分别为 2，2，23，25，27.也可写为21，21，23，25，27.即分子都是2，分母依次加 2，且都是奇数，所以 an22n3(nN*).考点二 用累加法求通项公式例 2 求三角形数 1,3,6,10，的通项公式分析：观察发现该数列的递推关系 anan1n(n2)，用累加法求通项解析：用an表示该数列，则 a2a12，a3a23，a4a34，anan1n(n2)以上各式两边分别相加，得 ana1234n.又 a11，an1234nnn12，即通项 annn12.点评：解决
7、此题的方法叫作累加法，它适用递推公式为 an1anp(p 为常数)或 an1anf(n)(f(n)可求和)的数列，过程为：由递推公式写出(n1)个等式，将这(n1)个等式相加求和即可变式探究 2 已知数列an满足 a11，anan11n1 n(n2)，求 an.解：anan11n1 n(n2)，anan11n1 nn1 n，a2a1 21，a3a2 3 2，anan1 n1 n(n2)以上各式相加，得 ana1 n11(n2)，ana1 n11 n1(n2)，an1，n1，n1，n2.考点三 用累乘法求通项公式例 3 数列an中，已知 a11，an12an，求an的通项公式分析：由 an12a
8、n，a110，得an1an 2，可采用迭代法或累乘法解析：方法一(累乘法)：由已知，得 anan12(n2)a2a12，a3a22，a4a32，anan12.以上各式等号两边分别相乘，得a2a1a3a2a4a3 anan1ana12n1(n2)又 a11，通项公式为 an2n1.方法二(迭代法)：an2an123an32n1a12n1，即通项公式为 an2n1.点评：方法一是累乘法，它适用递推公式为an1an p(p 为非零常数)，或 an1f(n)an(f(n)可求积)的数列，其过程是由递推公式写出(n1)个等式，将这(n1)个等式相乘即可变式探究 3 已知数列an中，a11，lnan1ln
9、an1，则数列an的通项公式是()Aann Ban1nCanen1 Dan 1en1解析：lnan1lnan1，lnan1an 1.an1an e.由累乘法可得 anen1.答案：C考点四与递推公式有关的综合问题例 4已知数列an是首项为 1 的正项数列(数列的各项均为正值)，且(n1)a2n1na2nan1an0(nN*)，求此数列的通项公式分析：已知条件中的递推关系比较复杂，因此先将递推关系化简后，再进行递推或归纳得出结论解析：解法一：(累积法)把(n1)a2n1na2nan1an0(nN*)整理，得(n1)an1nan(an1an)0.an0，an1an0，(n1)an1nan0，an1
10、an nn1，a2a1a3a2a4a3 anan1122334n1n，ana11n.又a11，an1na11n.解法二：(迭代法)同解法一得an1an nn1，an 1 nn1 an.an n1nan 1 n1n n2n1 an 2 n1n n2n1n3n2an3n1n n2n1n3n212a11na1.又a11，an1n.解法三：(构造法)同解法一得(n1)an1nan，数列nan是常数列nan1a11，an1n.点评：(1)给出了递推公式求通项公式，常用的方法有两种：一是从特例入手，归纳猜想其通项公式；二是从一般规律入手，其常用方法有迭代法、累加法，还有累乘法等(2)递推公式是间接反映数列
11、的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由 n 直接得出 an，用递推公式给出一个数列，必须给出以下两点：基础数列an的第 1 项或前几项；递推关系变式探究 4 在数列an中，a12，an1anln11n，则 an()A2lnnB2(n1)lnnC2nlnn D1nlnn解析：由已知，得 an1anlnn1n，a12，当 n2 时，anan1ln nn1，an1an2lnn1n2，a2a1ln21，将以上 n1 个式子累加得 ana1ln nn1lnn1n2ln21lnnn1n1n221 lnn，an2lnn.又 a12ln12 也适合该式an2lnn(nN*)答案：A4
12、新思维随堂自测1数列an中，an1an2an，a12，a25，则 a5()A3 B11C5 D19解析：由 an1an2an 得 an2anan1，由于 a3a1a27，a4a2a312，a5a3a419.答案：D2已知数列an中，a12，an 1an1(n2)，则 a2 013()A12B.12C2 D2解析：an2 1an1an，数列的奇数项相同，偶数项相同，a2 013a12.答案：C3数列an中，a11，an1a2n1，则此数列的前 4 项和为()A0 B1C2 D2解析：a11，an1a2n1，a21210，a30211，a4(1)210，前 4 项和 a1a2a3a40.答案：A4
13、已知数列an满足：a4n31，a4n10，a2nan，nN*，则a2 009_；a2 014_.解析：a2 009a503431，a2 014a1 0072a1 007a252410.答案：1 05在数列an中，a11，a223，且 1an2 1an 2an1(n3，nN*)，求 a3，a4 的值解：方法一：令 n3，则有 1a1 1a3 2a2.将 a11，a223代入，得 1a3 2a2 1a1312，a312.令 n4，则有 1a2 1a4 2a3.将 a223，a312代入，得 1a4 2a3 1a243252，a425.方法二：1an2 1an 2an1，a11，a223，1an 1
14、an1 1an1 1an2 1an2 1an3 1a3 1a2 1a21112.1a3 1a2122.a312.1a4 1a31221252.a425.5 辨错解走出误区易错点：知 Sn 求 an 时，忽视分类讨论【典例】已知数列an的前 n 项和 Sn3nb，求数列an的通项公式 an.【错解】Sn3nb，Sn13n1b，anSnSn13nb3n1b3n3n123n1.【错因分析】由 anS1n1，SnSn1n2 可知，根据 Sn 求 an 时要注意分类讨论，验证 a1 是否适合 n2 时的式子若适合，则数列的通项公式可以合并；若不适合，则通项公式需要分段写出对于本题型，容易忽视分类讨论而出错【正解】当 n1 时，a1S13b；n2 时，anSnSn123n1.当 b1 时，a12 适合 an23n1，an23n1.当 b1 时，a13b 不适合 an23n1，an3bn1，23n1n2，nN*.综上可知，当 b1 时，an23n1；当 b1 时，an3bn1，23n1n2，nN*.