1、第六节 几 何 概 型 1.几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 _成比例,则称这样的概率模型为几何概率 模型,简称几何概型.(2)特点：无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_ _个；长度(面积或体积)无限 多 等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布.2.几何概型的概率公式 P(A)=_.A()构成事件 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的.()(3)几何概型中，每一个基本事件就
2、是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()【解析】(1)正确.由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确.(2)错误.虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等.(3)正确.由几何概型的定义知，该说法正确.(4)正确.由几何概型的定义知，该说法正确.答案:(1)(2)(3)(4)1.在区间20,80内随机取一实数a，则实数a属于区间50,75的概率是()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.由几何概型概率计算公式可知P 143451271275 505.80 2012构成
3、事件的区间长试验全部结果的区间长2.有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小水杯从水中取0.1升水，则此小水杯中含有这个细菌的概率是()(A)0.01 (B)0.02 (C)0.05 (D)0.1【解析】选C.试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求概率为P 0.110.05.2203.在区间-1,2上随机取一个数x，则|x|1的概率为 _.【解析】在区间-1,2上随机取一个数x，则|x|1的区 间长度为2，|x|1的概率为 答案:2.3234.在平面直角坐标系xOy中，设F是横坐标与纵坐标的绝对值均 不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成
4、的区域，向F中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是_.【解析】如图，区域F表示边长 为4的正方形ABCD的内部(含边 界)，区域E表示单位圆及其内 部，因此P 答案:21.4 416165.有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两 截的长度都大于 米的概率为_.【解析】如图，将细绳八等分，C,D分别是第一个和最后一个 等分点，则在线段CD的任意位置剪断得到的两截细绳长度都大 于 米.由几何概型的计算公式，两截的长度都大于 米的概 率为P 答案:181818638.1434考向 1 与长度、角度有关的几何概型 【典例1】(1)(2012辽宁高考)在长为12 cm的线段AB上任取一点
5、C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()(A)(B)(C)(D)(2)在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D，则ADAC的概率为_.16132345【思路点拨】(1)本题与长度有关，利用几何概型求概率.(2)过点C在ACB内作射线CD与角度有关，利用几何概型的概率公式求解.【规范解答】(1)选C.设其中一段AC长为x cm，则另一段长为(12-x)cm，其中0 x12，由题意x(12-x)32得，0 x4或8x12，则可选取的长度为4+48(cm)，故概率为 82.123(2)射线CD在ACB内是均匀分布的，
6、故ACB90可看成试 验的所有结果构成的区域，在线段AB上取一点E，使AEAC，则ACE 67.5可看成事件构成的区域，所以满 足条件的概率为 答案:18045267.53.90434【互动探究】在例题(2)中“过直角顶点C在ACB内作一条射 线CD与线段AB交于点D”改为“在线段AB上找一点D”，则结果 如何？【解析】由于本题是在线段AB上找一点D，使得ADAC，可先 找到ADAC时AD的长度，则所求概率P AD12.AB22的长度的长度【拓展提升】1.与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 AP A.构成事件 的区域长度试验的全部结果所构
7、成的区域长度2.与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.【提醒】有时与长度或角度有关的几何概型,题干并不直接给出,而是将条件隐藏,与其他知识综合考查.【变式备选】设f(x)x2-2x-3(xR)，则在区间-，上随机取一个数x，使f(x)0的概率为_.【解析】本题属于几何概型.由x2-2x-30得：-1x3.又x-，,所求概率 答案:42P.22考向 2 与面积、体积有关的几何概型 【典例2】(1)(2013德州模拟)如图，在边长为 的正方形内的正弦曲线y sin x与x轴围成的区域记为
8、M(图中阴影 部分)，随机往正方形内投一个点P，则 点P落在区域M内的概率是()22221234A B C D(2)(2012北京高考)设不等式组 表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()(A)(B)(C)(D)0 x2,0y2 422 644(3)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取 点M，则使四棱锥M-ABCD的体积小于 的概率为_.16【思路点拨】(1)本题为面积比，由于M为曲边梯形，因此可积 分求面积.(2)分别求出平面区域D及到原点距离大于2的点所对 应区域的面积，求比即可求出概率.(3)先找出四棱锥M-ABCD
9、体 积等于 时点M的位置，再找出体积小于 时点M的位置，从 而得解.1616【规范解答】(1)选B.区域M的面积为：而正方形的面积为 S2，所以所求概率为 M00Ssin xdxcos x|2，22P.(2)选D.平面区域D的面积为4，到原点距离大于2的点如图中 阴影部分所示，其面积为4-，所以所求概率为 4.4(3)正方体ABCD-A1B1C1D1中，设M-ABCD的高为h，不妨令 又S四边形ABCD=1，h=若体积小于 则h0的概率为_.【解析】根据已知条件，我们把a,b分别作为横坐标和纵坐 标，然后在直角坐标系内作图，利用面积比来求几何概型的概 率值.如图所示，a,b满足的范围就是边长为
10、4的正方形，而 f(1)0即a+b3，表示的是直线的右上方，即阴影部分的区域.故所求的概率为 答案:13 32321.4 432 2332考向 3 生活中的几何概型问题 【典例3】(1)假设车站每隔10分钟发一班车，若某乘客随机到达车站，则其等车时间不超过3分钟的概率为_.(2)(2013西安模拟)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.【思路点拨】(1)本题为实际问题，可将其转化为一数学模型，由于发车时间长度为10分钟，等车时间不超过3分钟，且时间是连续
11、的，乘客何时到达是随机的、等可能的，因此为几何概型.(2)要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，时间是连续的，两船何时到达是随机的、等可能的，因此为几何概型.【规范解答】(1)要使得等车的时间不超过3分钟，即到达的时刻应该是图中A包含的时间点.故所求概率 答案:0.3 A3P0.3.S10的长度的长度(2)这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0 x24,0y24,要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即yx1或xy2.故所求事件构成集合
12、A=(x,y)|yx1或xy2,x0,24,y0,24.A为图中阴影部分，全部结果构成集合 为边长是24的正方形及其内部.所求概率为 P(A)=2221124 1242A506.51 01322.245761 152的面积的面积2221124 1242A506.51 01322.245761 152的面积的面积【拓展提升】生活中的几何概型度量区域的构造方法(1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息.(2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型.(3)解模：求解建立的数学模型.(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论.【提醒】当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一
13、个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.【变式训练】甲、乙两人因工作需要每天都要上网查资料，已 知他们每天上网的时间都不超过2小时，则在某一天内，甲上 网的时间不足乙上网的时间的一半的概率是()(A)(B)(C)(D)12141323【解析】选C.由题意知本题是一个几何概型，设甲、乙两人 每天上网时间分别为x小时、y小时.试验包含的所有事件=(x,y)|0 x2,0y2，事件对应的集合表示的面积是S正方形=4，满足条件的事件是A=(x,y)|0 x2,0y2,x0)的正方形内画一个半圆，其半径 为r(0r )，向该正方形内随机投一点，则所投的点落在半 圆内部的概率为_.a2【解析】记A所投的点落在半圆内部.因为S正方形a2，S半圆 r2 所以P(A)故所投的点落在半圆内部的概率是 答案:122r2，2222rr2.a2a2222rr2.a2a2222rr2a2a
