1、第二章 点、直线、平面 之间的位置关系 23 直线、平面垂直的判定及其性质232 平面与平面垂直的判定登高揽胜 拓界展怀课前自主学习1理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小2理解两平面垂直的定义3掌握两平面垂直的判定定理学 习 目 标自主导学预习课本 P67P69，思考并完成以下问题知识点一|二面角 概念平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为 1 _从这一条直线出发的 2 _所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的 3 _，这两个半平面叫做二面角的 4 _图示 半平面两个半平面棱面文字在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于 5 _的射线，则这两条射
2、线构成的 6 _叫做这个二面角的平面角图示平面角符号OA，OB，l，Ol，OAl，OBlAOB 是二面角的平面角棱角范围 7 _平面角规定二面角的大小可以用它的 8 _来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是 9 _的二面角叫做直二面角0，平面角直角记法棱为 l、面分别为，的二面角记为 10 _.如图所示，也可在，内(棱以外的半平面部分)分别取点 P，Q，将这个二面角记作二面角 11 _.lPlQ思考探究|辨别正误|1二面角与平面几何中的角有什么区别？提示 平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2二面角的平面角的大小
3、，与角的顶点在棱上的位置有关吗？提示 无关如图，根据等角定理可知，AOBAOB，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关知识点二|平面与平面垂直 1定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是12 _，就说这两个平面互相垂直平面 与平面 垂直，记作 13 _.2画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的 14 _垂直如图所示直二面角横边3平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的 15 _，则这两个平面垂直图形语言符号语言l，16 _ 垂线l思考探究|辨别正误|1应用面面垂直的判定定理的关键是什么？提示 应用此定理的关键在于，在其中一个平面内
4、找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化2两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？提示 不一定平行、相交，垂直都有可能剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 二面角及其平面角的概念【例 1】下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线 a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则 a，b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是()A BCD解析 由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以不对，实
5、质上它共有四个二面角；由 a，b 分别垂直于两个面，则 a，b 都垂直于二面角的棱，故正确；中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故不对；由定义知正确故选 B.答案 B1要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致2要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别3可利用实物模型，作图帮助判断.|方法总结|1若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A相等B互补C相等或互补D关系无法确定解析：选 D 如图所示，平面 EFDG平面 ABC，当平面 HDG 绕 DG 转动时，平面 HDG 始终与平面 BCD 垂直，所以两个二面角的大小关系
6、不确定，因为二面角 HDGF 的大小不确定题型二 面面垂直的判定【例 2】如图所示，已知BSC90，BSACSA60，又 SASBSC.求证：平面 ABC平面 SBC.证明 证法一：(利用定义证明)BSACSA60，SASBSC，ASB 和ASC 是等边三角形，则有 SASBSCABAC，令其值为 a，则ABC 和SBC 为共底边 BC 的等腰三角形取 BC 的中点 D，如图所示，连接 AD，SD，则 ADBC，SDBC，ADS 为二面角 ABCS 的平面角在 RtBSC 中，SBSCa，SD 22 a，BDBC2 22 a.在 RtABD 中，AD 22 a，在ADS 中，SD2AD2SA2
7、，ADS90，即二面角 ABCS 为直二面角，故平面ABC平面 SBC.证法二：(利用判定定理)SASBSC，且BSACSA60，SAABAC，点 A 在平面 SBC 上的射影为SBC 的外心SBC 为直角三角形，点 A 在SBC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点，AD平面 SBC.又AD平面 ABC，平面 ABC平面 SBC.面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.|方法总结|2.如图，AB 是O 的直径，PAO 所在的平面，C 是圆周上不同于 A，B 的任一点，连接 AC，BC，PB，PC，则在四面体
8、 PABC 中，共有_对互相垂直的平面解析：平面 PAC平面 ABC，平面 PAB平面 ABC，平面PAC平面 PBC.答案：33如图，四边形 ABCD 是边长为 a 的菱形，PC平面 ABCD，E 是 PA 的中点，求证：平面 BDE平面 ABCD.证明：连接 AC，设 ACBDO，连接 OE.因为 O 为 AC 的中点，E 为 PA 的中点，所以 EO 是PAC 的中位线，所以 EOPC.因为 PC平面 ABCD，所以 EO平面 ABCD.又因为 EO平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABCD.题型三 与二面角有关的计算【例 3】如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求二面角BA
9、1C1B1 的正切值解 取 A1C1 的中点 O，连接 B1O，BO.由题意知 B1OA1C1，又 BA1BC1，O 为 A1C1 的中点，所以 BOA1C1，所以BOB1 即是二面角 BA1C1B1 的平面角因为 BB1平面 A1B1C1D1，OB1平面 A1B1C1D1，所以 BB1OB1.设正方体的棱长为 a，则 OB1 22 a，在 RtBB1O 中，tan BOB1BB1OB1 a22 a 2，所以二面角 BA1C1B1 的正切值为 2.1求二面角的大小关键是要找出或作出平面角再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角证明计算2为了能在适当位置作出
10、平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等|方法总结|4如图，在正方体 ABCDABCD中：(1)二面角 DABD 的大小为_；(2)二面角 AABD 的大小为_解析：(1)在正方体 ABCDABCD中，AB平面AD，所以 ABAD，ABAD，因此DAD 为二面角 DABD 的平面角在 RtDDA 中，DAD45，所以二面角 DABD 的大小为 45.(2)因为 AB平面 AD，所以 ABAD，ABAA，因此AAD 为二面角 AABD 的平面角，又AAD90，所以二面角 AABD 的大小为 90.答案：(1)45(2)905如图，已知 RtABC，斜边 BC，点 A，AO，O
11、 为垂足，ABO30，ACO45，求二面角 ABCO 的大小解：如图，在平面 内，过 O 作 ODBC，垂足为点 D，连接 AD，设 COa.AO，BC，AOBC.又 AOODO，BC平面 AOD.而 AD平面 AOD，ADBC，ADO 是二面角 ABCO 的平面角由 AO，OB，OC，知 AOOB，AOOC.ABO30，ACO45，COa，AOa，AC 2a，AB2a.在 RtABC 中，BAC90，BC AC2AB2 6a，ADABACBC 2a 2a6a 2 33 a.在 RtAOD 中，sinADOAOADa2 33 a 32.ADO60，即二面角 ABCO 的大小是 60.知识归纳
12、自我测评堂内归纳提升规律方法1两种途径：证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直2三个结论：下面的结论，有助于判断面面垂直：(1)mn，m，n；(2)m，n，mn；(3)，.自测检评1已知 l，则过 l 与 垂直的平面()A有 1 个 B有 2 个C有无数个D不存在解析：选 C 由面面垂直的判定定理知，凡过 l 的平面都垂直于平面，这样的平面有无数个2对于直线 m，n 和平面，能得出 的一个条件是()Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，mDmn，m，n解析：选 C n，mn，m，又 m，由
13、面面垂直的判定定理，.3一个二面角 02 的两个半平面分别垂直于另一个二面角 02 的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A相等B互补C相等或互补D既不相等也不互补解析：选 A 画出图象易得到 与 相等或互补而，0，2，与 相等4已知 PA矩形 ABCD 所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有()A1 对B2 对C3 对D5 对解析：选 D DAAB，DAPA，ABPAA，DA平面 PAB，同理 BC平面 PAB，又易知 AB平面 PAD，DC平面 PAD.平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 PAB，平面 PBC平面 PAB，平面 PAB平面 ABCD，平面 PDC平面 PAD，共 5 对5已知三棱锥 PABC 中，PAPBPC 73，AB10，BC8，CA6，则二面角 PACB 的大小为_解析：由题意易得点 P 在平面 ABC 上的射影 O 是 AB 的中点取 AC 的中点 Q，则 OQBC.易得ABC 是直角三角形，且ACB90，AQO90，即 OQAC.又PAPC，PQAC，PQO 即是二面角 PACB 的平面角PA 73，AQ12AC3，PQ8.又OQ12BC4，cosPQOOQPQ12，PQO60.答案：60word部分：请做：课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块