1、天津市和平区2020届新高考数学适应性训练试题（二）（含解析）（时间：2小时满分：150分)第I卷（选择题，满分45分)一、单选题（每题5分，满分45分，每题有且仅有一个正确答案）1.已知全集U=R，集合A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：因为集合选B2.设均为单位向量，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解： ，因为均为单位向量，所以 ab，即“”是“”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直
2、接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件3.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等
3、比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.4.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出值即可【详解】因为为奇函数，；又，又，故选C【点睛】本题考查函数性质和函数的求值问题，
4、解题关键是求出函数5.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，故选D【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度6.甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.则甲恰好比乙多击中目标2次的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】记甲恰好比乙多击中目标2次为事件，分析可得包括两个事件，甲击
5、中2次而乙击中0次，甲击中3次而乙击中1次，由独立事件的概率乘法公式计算可得两个事件的概率，进而由互斥事件概率的加法公式，将其相加即可得答案【详解】记甲恰好比乙多击中目标2次为事件，分析可得包括两个事件:甲击中2次而乙击中0次，记为事件，甲击中3次而乙击中1次，记为事件，则.故选：A.【点睛】本题考查互斥事件、相互独立重复事件的概率计算，运用到二项分布求概率，属于基础题.7.已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有 ， ， ， ，A. 0个B. 1个C. 2个D. 3【答案】B【解析】分析：由线面垂直的几何特征，及线面垂直的第二判定定理，可判断A的真假；根据面面平行的
6、几何特征及线线位置关系的定义，可判断B的真假；根据线面垂直及线线垂直的几何特征，及线面平行的判定方法，可判断C的真假；根据面面平行的判定定理，可以判断D的真假详解：由m，n，m，n，若a，b相交，则可得，若ab，则与可能平行也可能相交，故（1）错误；若mn，n根据线面垂直的第二判定定理可得m，故（2）正确；若，m，n，则mn或m，n异面，故（3）错误；若m，mn，则n或n，故（4）错误；故选B点睛：本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定，熟练掌握空间线面位置关系的判定，性质及几何特征是解答的关键对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利
7、用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.8.已知奇函数在R上是增函数，.若，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据奇函数在上是增函数可得为偶函数且在上为增函数，从而可判断的大小.【详解】的定义域为.，故为偶函数.因为为上的奇函数，故，当时，因为为上的增函数，故.设任意，则，故，故，故为上的增函数，所以 ，而，故，所以.故选C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.9.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a
8、的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】不等式为(*)，当时，(*)式即为，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上故选A【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.第II卷（非选择题，满分105分)二、填空题（每题5分，共计30分）10.已知z=（ai）（1+i）（aR，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a= 【答案】1【解析】z(ai)(1i)a1(a1)i，
9、z在复平面内对应的点在实轴上，a10，从而a1.11.的展开式中的系数为_用数字作答【答案】-8【解析】【分析】利用二项式定理展开即可得出【详解】解：，项的系数为：故答案为：-8【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力12.数列满足，.则数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】通过对变形可知，进而可知数列是以为首项、为公差的等差数列，可知，利用累加法计算解即得结论.【详解】证明：因，所以，又因为，所以是以为首项、为公差的等差数列，得，因而有：，累加后得：所以，所以数列的通项公式.【点睛】本题考查由递推关系证明等差数列，还考查等差数列的通项公式及利用累加法求数列的通项公式，
10、属于中等题.13.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，则与的面积之比_【答案】【解析】设F到直线AB的距离为d，则设AB：代入中易得，从而可得.14.已知，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由可知，且：，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误15
11、.在中，. 若，且，则的值为_.【答案】【解析】 ,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.三、解答题（解答过程需要有必要的文职说明和推理步骤，共计75分）16.设.（）求的单调区间；（）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.【答案】（）单调递增区间是；单调递减区间是（）面积的最大值为【解析】试题分析：（）首先利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（）首先由结合（）的结果，确定角A的
12、值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.试题解析：解：（）由题意知由可得由可得所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是（）由得由题意知为锐角，所以由余弦定理：可得：即：当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，（1）求证：为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）设，的交点为，由线面平行性质定理得，再根据三角形中位线性质得为的中点（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设
13、立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小【详解】（1）设，的交点为，连接因为平面，平面平面，所以因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点 （2）取的中点，连接，因为，所以又平面平面，且平面，所以平面因为平面，所以因为是正方形，所以 如图，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即令，则，于是平面的法向量为，所以由题知二面角为锐角，所以它的大小为 （3）由题意知， 设直线与平
14、面所成角为，则 所以直线与平面所成角的正弦值为18.已知公差不为零的等差数列中，且，成等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.（3）设数列的前n项和为，求证：对任意正整数n，都有成立.【答案】（1）；（2）；（3）看解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知，求出，即可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法即可得出，代入不等式对一切恒成立，对分类讨论即可得出的取值范围；（3）当时，结论显然成立；当时，化简证明即可.【详解】（1）已知等差数列中，设公差为，由已知，则，所以，得的通项公式为：即：.（2）由（1
15、）可得，则两式相减得：解得：.所以不等式化为对一切恒成立，若为偶数，则，即；若为奇数，则，即；综上可得：.（3）证明：当时，结论显然成立；当时，由（2）知，.所以，对任意正整数n，都有成立.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和利用错位相减法求数列的前项和，同时考查数列和不等式的恒成立问题求参数的范围，还考查学生的转化思想和运算能力.19.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆的两交点间距离为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，求证：为定值.（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.
16、【答案】（1）；（2）为定值；（3）为定值，定值为25【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得，由椭圆过点，代入椭圆方程，即可求得和的值，求得椭圆方程；（2）利用点到直线距离公式，同理求得：，则，是方程的两个不相等的实根，根据韦达定理即可求得为定值；（3）将直线和的方程，代入椭圆方程，即可求得和点坐标，根据两点之间的距离公式，由，即可求得为定值【详解】解：（1）由椭圆的离心率，则，由直线过点，代入，解得：，则，椭圆的标准方程：；（2）证明：由直线，直线，由直线为圆的切线，同理可得：，是方程的两个不相等的实根，由，则，由，在椭圆上，即，为定值；（3）经判断为定值，设，联立，解得，同理，得，由
17、，得，为定值，定值为25【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题20.设函数.（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；（2）讨论函数零点个数；（3）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）2；（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；（3）.【解析】试题分析：（1）当m=e时，0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值；（2）由，得，令，x0，mR，则h（1）=，h（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f（x）-零点的个
18、数；（3）（理）当ba0时，f（x）1在（0，+）上恒成立，由此能求出m的取值范围试题解析：（1）由题设，当时，易得函数的定义域为当时，此时在上单调递减；当时，此时在上单调递增；当时，取得极小值的极小值为2（2）函数令，得设当时，此时在上单调递增；当时，此时在上单调递减；所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，的最大值为又，结合y=的图像（如图），可知当时，函数无零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；时，函数有且只有一个零点；综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.（3）对任意恒成立，等价于恒成立设，在上单调递减在恒成立恒成立（对，仅在时成立），的取值范围是考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值