1、第二章 点、直线、平面 之间的位置关系 23 直线、平面垂直的判定及其性质231 直线与平面垂直的判定登高揽胜 拓界展怀课前自主学习1掌握直线与平面垂直的定义2掌握直线与平面垂直的判定定理3理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题学 习 目 标自主导学预习课本 P64P66，思考并完成以下问题知识点一|直线与平面垂直 定义如果直线 l 与平面 内的 1 _直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 互相垂直记法2 _任意一条l有关概念直线 l 叫做平面 的 3 _，平面 叫做直线 l 的4 _它们唯一的公共点 P 叫做 5 _图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四
2、边形的一边垂直垂线垂面垂足思考探究|辨别正误|1直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？提示 定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直2若 a，b，则 ba，对吗？提示 正确，直线与平面垂直的定义既可以看作判定定理，又可以作为性质定理知识点二|直线与平面垂直的判定定理 文字语言一条直线与一个平面内的 6 _都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b，7 _l图形语言两条相交直线abP思考探究|辨别正误|1判断正误(正确的打“”，错误的打
3、“”)(1)若直线 l 垂直于平面，则 l 与平面 内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()(2)若 ab，a，l，则 lb.()(3)若 ab，b，则 a.()2线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l 必须有公共点吗？提示 用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的知识点三|直线和平面所成的角 有关概念对应图形斜线与平面 8 _，但不和平面 9 _，图中 10 _斜足 斜线和平面的 11 _，图中 12 _射影过斜线上斜足以外的一点向平面引13 _，过 14 _和 15 _
4、的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线 PA 在平面 上的射影为 16 _相交垂直直线PA交点点A垂线斜足垂足AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 17 _；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是18 _取值范围,0，90直角0的角思考探究|辨别正误|1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为 0.()(2)若 直 线 与 平 面 垂 直，此 时 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为90.()2若直线 l 与平面 所成的角是 0角，则必然有 l 吗？提
5、示 不一定若直线 l 与平面 所成的角是 0角，则 l 或 l.剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 直线和平面垂直的定义【例 1】直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则直线 l与平面 的关系是()Al 和平面 平行 Bl 和平面 垂直Cl 在平面 内D不能确定解析 如图所示，直线 l 和平面 平行，或直线 l 和平面 垂直或直线 l 在平面 内都有可能故正确答案为 D.答案 D1直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这
6、条直线就一定不与这个平面垂直2由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab.|方法总结|1如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件答案：题型二 直线与平面垂直的判定定理 考向 1 直线与平面垂直的判定定理【例 2】如图所示，RtABC 所在平面外有一点 S，且 SASBSC，点 D 为斜边 AC的中点(1)求证：SD平面 ABC；(2)若 A
7、BBC，求证：BD平面 SAC.证明(1)SASC，D 为 AC 的中点，SDAC.在 RtABC 中，ADDCBD，又 SASB，ADSBDS.SDBD.又 ACBDD，SD平面 ABC.(2)BABC，D 为 AC 的中点，BDAC.又由(1)知 SDBD，于是 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线BD平面 SAC.考向 2 线面垂直的应用【例 3】在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCCC1，当底面A1B1C1 满足条件_时，有 AB1BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)解析 如图所示，连接 B1C，由 BCCC1，可得 BC1B1C，因此，要证
8、AB1BC1，则只要证明 BC1平面 AB1C，即只要证 ACBC1 即可，由直三棱柱可知，只要证 ACBC 即可因为 A1C1AC，B1C1BC，故只要证 A1C1B1C1 即可(或者能推出 A1C1B1C1 的条件，如A1C1B190等)答案 A1C1B1C1证明线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直(2)平行转化法(利用推论)：ab，ab；，aa.|方法总
9、结|2如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，O 是底面ABCD 的中心，求证：EF平面 BB1O.证明：ABCD 为正方形，ACBO.又BB1平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACBB1，又BOBB1B，AC平面 BB1O，又 EF 是ABC 的中位线，EFAC，EF平面 BB1O.题型三 直线与平面所成角【例 4】如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点求直线BE 与平面 ABB1A1 所成角的正弦值解 取 AA1 的中点 M，连接 EM，BM，因为 E 是 DD1 的中点，四边形 ADD1A1 为正方形，所
10、以 EMAD.又在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD平面 ABB1A1，所以 EM平面 ABB1A1，从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影，EBM 即为直线 BE 与平面 ABB1A1所成的角设正方体的棱长为 2，则 EMAD2，BE 2222123，于是在 RtBEM 中，sinEBMEMBE23，即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成角的正弦值为23.求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面
11、角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算|方法总结|3已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2 倍，求侧棱与底面所成角的余弦值解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，则侧棱长为 2a.O 为底面中心，则SAO 为 SA 与平面 ABC 所成的角在 RtSOA 中，AO23 32 a 33 a，cosSAOAOSA33 a2a 36，即侧棱与底面所成角的余弦值为 36.知识归纳 自我测评堂内归纳提升规律方法1三种方法：直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：若 ab，a，则 b；若，a，则 a
12、.2三种解题方向：求线面角的三种方法：(1)直接法一作(或找)二证(或说)三计算；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)自测检评1一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A平行 B垂直C相交不垂直D不确定答案：B2如图所示，若斜线段 AB 是它在平面 上的射影 BO 的 2 倍，则 AB 与平面 所成的角是()A60 B45C30 D120解析：选 A ABO 即是斜线 AB 与平面 所成的角，在 RtAOB 中，AB2BO，所以 cosABO12，即ABO60.3如图所示，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，P
13、AAB，则直线 PB 与平面 ABC 所成的角等于_解析：因为 PA平面 ABC，所以斜线 PB 在平面 ABC 上的射影为 AB，所以PBA 即为直线 PB 与平面 ABC 所成的角在PAB 中，BAP90，PAAB，所以PBA45，即直线PB 与平面 ABC 所成的角等于 45.答案：454已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面，若 PCBD，则平行四边形一定是_解析：连接 AC，BD，则 AC 与 BD 交于点O.PA平面 ABCD，PABD，又PCBD，PAPCP，PA平面 PAC，PC平面 PACBD平面 PAC，又 AC平面 PAC，BDAC，又 ABCD 为平行四边形，ABCD 为菱形答案：菱形5如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，APAB2，BC2 2，E，F 分别是 AD，PC的中点证明：PC平面 BEF.证明：如图，连接 PE，EC，在 RtPAE和 RtCDE 中，PAABCD,AEDE，PECE，即PEC 是等腰三角形又 F 是 PC 的中点，EFPC.又 BP AP2AB22 2BC，F 是 PC 的中点，BFPC.又 BFEFF，PC平面 BEF.word部分：请做：课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块