1、高三总复习人教A 版 数学（理）第六节简单的三角恒等变换高三总复习人教A 版 数学（理）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)高三总复习人教A 版 数学（理）1半角公式(1)用 cos 表示 sin22，cos22，tan22.sin221cos2；cos221cos2；tan221cos1cos.高三总复习人教A 版 数学（理）(2)用 cos 表示 sin2，cos2，tan2.sin21cos2；cos21cos2；tan21cos1cos；(3)用 sin，cos 表示
2、tan2.tan2sin1cos1cossin.高三总复习人教A 版 数学（理）2形如 asinxbcosx 的化简asinxbcosx a2b2sin(x)在 asinxbcosx a2b2sin(x)中如何确定角？提示：展开 a2b2sin(x)后可以发现：cosaa2b2，sinba2b2，角的终边位置可由 a、b 的符号确定高三总复习人教A 版 数学（理）1已知 2，则 cos2等于()A1cos2 B.1cos2C1cos2D.1cos2高三总复习人教A 版 数学（理）解析：2，22，cos20.又cos2cos221，cos21cos2.答案：C高三总复习人教A 版 数学（理）2已
3、知 sin(x4)513，则 sin2x 的值等于()A.120169B.119169C120169D119169高三总复习人教A 版 数学（理）解析：因为 sin(x4)513，所以 sinxcosx 513 2，则(sinxcosx)21sin2x 50169，所以 sin2x119169.答案：D高三总复习人教A 版 数学（理）3化简 2cos2sin21的结果是()Acos1 Bcos1C.3cos1 D 3cos1解析：2cos2sin21 1sin211cos2 cos212cos21 3cos1.答案：C高三总复习人教A 版 数学（理）4函数f(x)2sinx2cosx的值域是_
4、解析：f(x)2 2sin(x4)又1sin(x4)1，2 2f(x)2 2.答案：2 2，2 2高三总复习人教A 版 数学（理）5若1tan1tan2009，则1cos2tan2_.解析：1cos2tan21sin2cos2(cossin)2cos2sin2cossincossin1tan1tan2009.答案：2009高三总复习人教A 版 数学（理）热点之一 三角函数式的化简1化简的思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法2化简的方法弦切互化，异名化同名，
5、异角化同角；降幂或升幂等高三总复习人教A 版 数学（理）例 1(1)f()2tan2sin221sin2cos2，求 f(12)；(2)已知 tan22 2，22，求2cos22sin12sin(4)的值思路探究 要先化简再求值，将所给关系式尽可能化成最简式或化成含有已知式子的形式，运用整体代入的方法求值高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录(1)f()2tancos12sin2sincos 2cossin 4sin2，f(12)4sin68.(2)原式cossinsincos1tan1tan，高三总复习人教A 版 数学（理）又 tan2 2tan1tan22 2.解得 tan 12或 ta
6、n 2.22，2.tan 12，故原式1 121 1232 2.高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 化简(1sincos)sin2cos222cos(0)解：原式2sin2cos22cos22 sin2cos24cos22cos2sin22cos22cos2cos2coscos2，0，020，原式cos.高三总复习人教A 版 数学（理）热点之二 三角函数式的求值已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值高三总复习人教A 版 数学（理）例 2(2009天津
7、高考)已知 cos(x4)210，x(2，34)(1)求 sinx 的值；(2)求 sin(2x3)的值课堂记录(1)解法一：因为 x(2，34)，所以 x4(4，2)，于是sin(x4)1cos2(x4)7 210.高三总复习人教A 版 数学（理）sinxsin(x4)4sin(x4)cos4cos(x4)sin47 210 22 210 22 45.解法二：由题设得 22 cosx 22 sinx 210，即 cosxsinx15.又 sin2xcos2x1，高三总复习人教A 版 数学（理）从而 25sin2x5sinx120，解得 sinx45或 sinx35.因为 x(2，34)，所以
8、 sinx45.(2)因为 x(2，34)，故 cosx 1sin2x，1(45)235.高三总复习人教A 版 数学（理）sin2x2sinxcosx2425，cos2x2cos2x1 725.所以 sin(2x3)sin2xcos3cos2xsin3247 350.高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 已知 cos17，cos()1314，且 02.(1)求 tan2 的值；(2)求.解：(1)由 cos17，02，得 sin 1cos211724 37.高三总复习人教A 版 数学（理）tansincos4 37 714 3.于是 tan2 2tan1tan2 24 31(4 3)28
9、347.(2)由 02，得 02.又cos()1314，高三总复习人教A 版 数学（理）sin()1cos2()1131423 314.由()，得 coscos()coscos()sinsin()1713144 37 3 314 12.所以 3.高三总复习人教A 版 数学（理）热点之三 三角函数式的证明1证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等高三总复习人教A 版 数学（理）2证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这
10、一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等高三总复习人教A 版 数学（理）例3 已知tan()2tan，求证：3sinsin(2)课堂记录 证明：由已知 tan()2tan 可得sin()cos()2sincossin()cos2cos()sin而 sin(2)sin()sin()coscos()sin高三总复习人教A 版 数学（理）2cos()sincos()sin3cos()sin.又sinsin()sin()coscos(
11、)sin2cos()sincos()sincos()sin.故sin(2)3sin.高三总复习人教A 版 数学（理）思维拓展 三角式的化简或证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 设、是锐角，且 tan2tan32，tan12tan，求证：、成等差数列解：tan12tantan21tan22tan21tan221tan22 1tan22tan2tan321tan32tan2高三总复习人教A 版 数学（理）
12、tan2tan21tan2tan2tan2.02，02.0222，而 02.2.即、成等差数列高三总复习人教A 版 数学（理）高考对三角恒等变换的考查一般与三角函数的图象与性质相结合，有时也会在三角形中综合考查三角恒等变换，考查学生运算求解能力高三总复习人教A 版 数学（理）例 4(2009广东高考)已知向量 a(sin，2)与 b(1，cos)互相垂直，其中(0，2)(1)求 sin 和 cos 的值；(2)若 5cos()3 5cos，02，求 cos 的值高三总复习人教A 版 数学（理）解(1)ab，absin2cos0，即 sin2cos.又sin2cos21，4cos2cos21，即
13、 cos215，sin245.又(0，2)，sin2 55，cos 55.高三总复习人教A 版 数学（理）(2)5cos()5(coscossinsin)5cos2 5sin3 5cos，cossin，cos2sin21cos2，即 cos212.又02，cos 22.高三总复习人教A 版 数学（理）1(2010上海高考)已知 0 x2，化 简：lg cosxtanx12sin2x2 lg 2cosx4 lg(1 sin2x)解：lgcosxtanx12sin2x2 lg(sinxcosx)lg(sinxcosx)2lg(sinxcosx)2lg(sinxcosx)20.高三总复习人教A 版
14、数学（理）2(2010湖南高考)已知函数 f(x)3sin2x2sin2x.(1)求函数 f(x)的最大值；(2)求函数 f(x)的零点的集合解：(1)f(x)3sin2x(1cos2x)2sin2x6 1，当 2x62k2，高三总复习人教A 版 数学（理）即 xk6(kZ)时，函数 f(x)取最大值 1.(2)解法一：由(1)及 f(x)0 得 sin(2x6)12，2x62k6或 2x62k56，即 xk 或 xk3.函数 f(x)的零点的集合为x|xk 或 xk3，kZ高三总复习人教A 版 数学（理）解法二：由 f(x)0 得 2 3sinxcosx2sin2x，于是 sinx0，或 3cosxsinx，即 tanx 3.由 sinx0 可知 xk；由 tanx 3可知，xk3.函数 f(x)的零点的集合为x|xk 或 xk3，kZ高三总复习人教A 版 数学（理）