1、 北京市西城区2007年抽样测试高三数学试卷理科YCY本试卷分为第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟.第一卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合A1，2，3，且A的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A共有（ ）A6个B5个C4个D3个2若的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知函数的反函数. 若的图象过点（3，4），则a等于（ ）ABCD24在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：；AC
2、/平面PDE；.其中正确论断的个数为（ ）A0个B1个C2个D3个5若的值为（ ）A9B8C7D66已知a，b是不共线的向量，R）那么A，B，C三点共线的充要条件为（ ）ABC=1D=17设双曲线的半焦距为c，离心率为.若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（ ）ABCD8如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 （ ）A30种B27种C24种D21种第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.）9设甲、乙、丙三个加工厂共生产玩具
3、6000件，其中甲厂生产了1440件. 现采用分层抽样的方法从三个加工厂抽取一个容量为500件的样本进行质量检测，则应从甲加工厂抽取 件玩具.2,4,610若R，i是虚数单位，则= .11= .12设R，函数的最小值是2，则实数k= .13已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD边长为1，高AA1=，它的八个顶点都在同一球面上，那么球的半径是 ；A，B两点的球面距离为 .14按下列程序框图运算：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算.若x=5，则运算进行 次才停止；若运算进行k N*）次才停止，则x的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说
4、明，证明过程或演算步骤.）15（本小题满分12分）已知为第二象限的角，为第三象限的角，. （I）求的值. （II）求的值.2,4,616（本小题满分12分） 设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p，且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51. 假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响. （I）求p的值； （II）设试验成功的方案的个数为，求的分布列及数学期望E.17（本小题满分14分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1. （I）求证：A1C/平面AB1D； （II）求二面角BAB1D的大小； （III）求点c到平面AB1D的距离.1
5、8（本小题满分14分） 设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点. （I）证明：； （II）若的面积取得最大值时的椭圆方程.2,4,619（本小题满分14分）设a0，函数. （I）若在区间上是增函数，求a的取值范围； （II）求在区间上的最大值.20（本小题满分14分）设是首项为1，公比为2的等比数列. 对于满足的整数k,数列确定. 记.（I）当k=1时，求M的值；（II）求M的最小值及相应的k的值.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.2,4,61B 2A 3D 4C 5B 6D 7C 8A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9
6、120 105 11 12 131（2分），（3分）144（2分），（3分）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（本小题满分12分） （I）解：因为为第二象限的角，所以，2分 4分又，所以， 6分 （II）解：因为为第三象限的角，所以， 8分又，10分所以， 12分16（本小题满分12分） （I）解：记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A，则至少有一套试验成功的事件为 由题意，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1p.所以，从而，令 6分 （II）解：的可取值为0，1，2. 7分 10分所以的分布列为012P0.490.420.09的
7、数学期望12分17（本小题满分14分）解法一（I）证明：连接A1B，设A1BAB1 = E，连接DE.ABCA1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，四边形A1ABB1是正方形，E是A1B的中点，又D是BC的中点，DEA1C. 3分DE平面AB1D，A1C平面AB1D，A1C平面AB1D. 4分 （II）解：在面ABC内作DFAB于点F，在面A1ABB1内作FGAB1于点G，连接DG.平面A1ABB1平面ABC， DF平面A1ABB1，FG是DG在平面A1ABB1上的射影， FGAB1， DGAB1FGD是二面角BAB1D的平面角 7分设A1A = AB = 1，在正ABC中，DF=在ABE
8、中，在RtDFG中，所以，二面角BAB1D的大小为 9分 （III）解：平面B1BCC1平面ABC，且ADBC，AD平面B1BCC1，又AD平面AB1D，平面B1BCC1平面AB1D.在平面B1BCC1内作CHB1D交B1D的延长线于点H，则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离. 12分由CDHB1DB，得即点C到平面AB1D的距离是 14分解法二：建立空间直角坐标系Dxyz，如图， （I）证明：连接A1B，设A1BAB1 = E，连接DE.设A1A = AB = 1，则 3分， 4分 （II）解：， ，设是平面AB1D的法向量，则，故；同理，可求得平面AB1B的法向量是 7分设二面角BAB
9、1D的大小为，二面角BAB1D的大小为 9分 （III）解由（II）得平面AB1D的法向量为，取其单位法向量点C到平面AB1D的距离 14分18（本小题满分14分） （I）解：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故将，得 3分由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得，即 5分 （II）解：设由，得因为，代入上式，得 8分于是，OAB的面积 11分其中，上式取等号的条件是 12分由将这两组值分别代入，均可解出所以，OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 14分19（本小题满分14分） （I）解：对函数 2分要使上是增函数，只要上恒成立，即上恒成立 4分因为上单调递减，所以上的最小值是，注意到a 0，所以a的取值范围是 6分 （II）解：当时，由（I）知，上是增函数，此时上的最大值是 8分当，解得 10分因为，所以上单调递减，此时上的最大值是 13分综上，当时，上的最大值是；当时，上的最大值是 14分20（本小题满分14分） （I）解：显然 1分当 3分所以， 6分 （II）解： 9分 12分当所以，M的最小值为 14分