1、第2讲填空题的解法技巧题型概述填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”方法一直接法直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题直接法是求解填空题的基本方法例1(1)(2015湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成
2、绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是_(2)(2015北京)在ABC中，a4，b5，c6，则_.解析(1)由题意知，将135号分成7组，每组5名运动员，落在区间139,151上的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名(2)由余弦定理：cosA，sinA，cosC，sinC，1.答案(1)4(2)1思维升华利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键跟踪演练1(1)(2
3、015韶关联考)已知椭圆y21的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值是_(2)已知方程x23ax3a10(a2)的两根tan，tan，且，(，)，则_.方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论这样可大大地简化推理、论证的过程例2(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，则_.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满
4、足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.解析(1)把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC6，则18.(2)此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化根据函数特点取f(x)sinx，再由图象可得(x1x2)(x3x4)(62)(22)8.答案(1)18(2)8思维升华求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不
5、能使用该种方法求解跟踪演练2(2015课标全国)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形例3(1)已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2y26x9的取值范围是_(2)已知函数f(x)x|x2|，则不等式f(x)f(1)的解集为_解析(1)画出可行域如图，所求的x2y26x9(x3)2y2是点Q(3,0)到可行域上
6、的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线xy10(x0)的距离d的平方，d()2()22.最大值为点Q到点A的距离的平方，d16.取值范围是2,16(2)函数yf(x)的图象如图，由不等式f(x)f(1)知，x1，从而得到不等式f(x)f(1)的解集为1，)答案(1)2,16(2)1，)思维升华数形结合法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系跟踪演练3(1)(2015山西大学附中月考)若方程x33xk有3个不等的实根，则常数k的取值范围是_(2)(2015兰州一中期中)设函数f(x)若f(
7、4)f(0)，f(2)2，则函数yg(x)f(x)x的零点个数为_方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决例4(1)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_(2)，(其中e为自然对数的底数)的大小关系是_解析(1)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方
8、体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|2R，所以R，故球O的体积V.(2)由于，故可构造函数f(x)，于是f(4)，f(5)，f(6).而f(x)()，令f(x)0得x2，即函数f(x)在(2，)上单调递增，因此有f(4)f(5)f(6)，即.答案(1)(2)1)0.2，则P(10)的图象与x轴的交点从左到右依次为(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)，则数列xn的前4项和为_4(2015杭州外国语学校期中)设a0，在二项式(a)10的展开式中，含x的项的系数与含x4的项的系数相等，则a的值为_5已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4
9、)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是_6已知aln，bln，cln，则a，b，c的大小关系为_7观察下列不等式：111照此规律，第五个不等式为_8若函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意的xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集是_9(2015珠海模拟)已知函数f(x)()xsinx，则f(x)在0,2上的零点个数为_10整数数列an满足an2an1an(nN*)，若此数列的前800项的和是2013，前813项的和是2000，则其前2014项的和为_11设命题p：0，命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若p是q的充分不必要条件，
10、则实数a的取值范围是_12(2015山东)执行下边的程序框图，输出的T的值为_.B组能力提高13已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f()_.14已知O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则的最大值是_15设函数f(x)则ff(1)_.若函数g(x)f(x)k存在两个零点，则实数k的取值范围是_16已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的投影有可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面的结论中，正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号
11、)学生用书答案精析第2讲填空题的解法技巧跟踪演练1(1)8(2)或解析(1)由椭圆的定义知|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|()28，(当且仅当|PF1|PF2|时取等号)|PF1|PF2|的最大值是8.(2)由已知可得tantan3a，tantan3a1，tan()1，因为，(，)，所以，所以或.跟踪演练21解析f(1)f(1)，ln(1)ln(1)0，lna0，a1.经验证a1符合题意跟踪演练3(1)(2,2)(2)3解析(1)设f(x)x33x，令f(x)3x230，得x1，当x1时，函数f(x)单调递增，当1x1时，函数f(x)单调递增，f(1)2，f(1)2，要有三个不等实根，
12、则直线yk与yf(x)的图象有三个交点，2k1)0.2，可得P(1)0.2，所以P(10)P(10.又0BA，则必有lg(xy)0，即xy1.此时，AB，即0,1，x0，|x|，y或解得xy1或xy1.当xy1时，AB0,1,1与集合元素的互异性矛盾，应舍去；当xy1时，AB0，1,1满足题意，故xy1.2(1,2解析g(x)f(x)m有两个零点等价于函数f(x)与函数ym的图象有两个交点，作出函数的图象如图，由图可知m的取值范围是(1,2326解析令f(x)sin(x)0，则xk(kN*)，x3k1(kN*)，x1x2x3x43(1234)426.41解析Tk1C()ka10k，令k2时，x
13、的系数为Ca8，令k8时，x4的系数为Ca2，Ca8Ca2，即a1，故答案为1.5.1解析点P到抛物线的准线距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是1，这个值即为所求6abc解析令f(x)lnxx，则f(x)1.当0x1时，f(x)0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数10，abc.710解析构造函数g(x)exf(x)ex1，求导得到g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1由已知f(x)f(x)1，可得g(x)0，所以g(x)为R上的增函数又g(0)e0f(0)e010，所以exf(
14、x)ex1，即g(x)0的解集为x|x092解析因为函数f(x)()xsinx，则f(x)在0,2上的零点个数等于函数y()x与函数ysinx在区间0,2内的交点的个数，在同一坐标系中画出上述两个函数的图象如图所示，由图象可知，两函数在区间0,2内有两个不同的交点，所以函数f(x)在0,2上的零点个数为2.10987解析a3a2a1，a4a3a2，a5a4a3，a6a5a4，a7a6a5，a1a7，a2a8，a3a9，a4a10，a5a11，an是以6为周期的数列，且有a1a2a3a4a5a60，S800a1a22013，S813a1a2a32000，a313，a21000，S2014a1a2
15、a3a4a2a31000(13)987.110，)解析由0，得x1；由x2(2a1)xa(a1)0，得axa1.因为p是q的充分不必要条件，所以解得0a.12.解析当n1时，T1x1dx11；当n2时，Tx2dx；当n3时，结束循环，输出T.130解析由题意知f()f()令x可得f()f()，f()f()，故f()0，又令x可得f()f()，f()0，同理可得f()0.143解析2xy，如图：当直线2xyz经过点(1,1)时，达到最大值，zmax3.152(0,1解析ff(1)f(41)f()log22.令f(x)k0，即f(x)k，设yf(x)，yk，画出图象，如图所示，函数g(x)f(x)k存在两个零点，即yf(x)与yk的图象有两个交点，由图象可得实数k的取值范围为(0,116解析用正方体ABCDA1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点，故正确