1、第二讲圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF|PM|，点F不在直线l上，PMl于M标准方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)(，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e (0e1)e (e1)e1准线x渐近线yx1 (2013课标全国)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|M
2、F|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x答案C解析由题意知：F，抛物线的准线方程为x，则由抛物线的定义知，xM5，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为22，又因为圆过点(0,2)，所以yM4，又因为点M在C上，所以162p，解得p2或p8，所以抛物线C的方程为y24x或y216x，故选C.2 (2013课标全国)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案C解析由e知，a2k，ck(kR)，由b2c2a2k2知bk.所以.即渐近线方
3、程为yx.故选C.3 (2013山东)抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于()A. B. C. D.答案D解析抛物线C1的标准方程为：x22py，其焦点F为，双曲线C2的右焦点F为(2,0)，渐近线方程为：yx.由yx得xp，故M.由F、F、M三点共线得p.4 (2013福建)椭圆：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案1解析由直线方程为y(xc)，知MF1F260，又MF1F22MF2
4、F1，所以MF2F130，MF1MF2，所以|MF1|c，|MF2|c，所以|MF1|MF2|cc2a.即e1.5 (2013浙江)设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|2，则直线l的斜率等于_答案1解析设直线l的方程为yk(x1)，A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x0，y0)解方程组.化简得：k2x2(2k24)xk20，x1x2，y1y2k(x1x22).x0，y0.由2得：224.k1.题型一圆锥曲线的定义与标准方程例1(1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过
5、F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_(2)已知P为椭圆y21和双曲线x21的一个交点，F1，F2为椭圆的两个焦点，那么F1PF2的余弦值为_审题破题(1)根据椭圆定义，ABF2的周长4a，又e可求方程；(2)在焦点F1PF2中使用余弦定理答案(1)1(2)解析(1)设椭圆方程为1，由e知，故.由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，故a4.b28.椭圆C的方程为1.(2)由椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2为它们的公共焦点，不妨设|PF1|PF2|，则，所以.又|F1F2|2，由余弦定理可知cosF1PF2.反
6、思归纳圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|0，b0)的两个焦点F1，F2，M为双曲线上一点，且满足F1MF290，点M到x轴的距离为.若F1MF2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析由题意得2c14，所以c4.又所以a，b.所以渐近线方程为yx.(2)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为_答案y28x解析抛物线y2ax(a0)的焦
7、点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y2，令x0得y.OAF的面积为4，a264，a8.抛物线方程为y28x.题型二圆锥曲线的性质例2(1)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4，则C的实轴长为()A. B2 C4 D8(2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线C的离心率等于()A.或 B.或2C.或2 D.或审题破题(1)利用抛物线的几何性质结合方程组求解；(2)由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线，再由离心率的定义即可求解答案(1)C(2)A解析(
8、1)设C：1.抛物线y216x的准线为x4，联立1和x4得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4.C的实轴长为4.(2)当曲线C为椭圆时，e；当曲线C为双曲线时，e.反思归纳(1)求椭圆或双曲线的离心率的方法：直接求出a和c，代入e；建立关于a，b，c的方程或不等式，然后把b用a，c代换通过解关于的方程或不等式求得离心率的值或范围(2)研究圆锥曲线的几何性质，实质是求参数a、b、c或者建立a、b、c的关系式(等式或不等式)，然后根据概念讨论相应的几何性质变式训练2(1)已知O为坐标原点，双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A，B，若
9、()0，则双曲线的离心率e为()A2 B3 C. D.答案C解析如图，设OF的中点为T，由()0可知ATOF，又A在以OF为直径的圆上，A，又A在直线yx上，ab，e.(2)已知双曲线1 (a0，b0)的左顶点与抛物线y22px (p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()A2 B2 C4 D4答案B解析由，解得，由题意得，得，又知a4，故a2，b1，c，焦距2c2.题型三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求
10、该抛物线的方程(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值审题破题(1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A、B坐标，利用关系式表示出点C坐标，再利用点C在抛物线上求解解(1)直线AB的方程是y2(x)，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得|AB|x1x2p9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由p4知4x25pxp20可化为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)设(x3，y3)(1，2)(4,4)(41，42)，又y8x3，所以2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.反思归纳解决直
11、线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解变式训练3已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值解(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有|x|1.化简得y22x2|x|.当x0时，y24x；当x0时，y0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2
12、4x (x0)和y0 (xb0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程规范解答解(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(1,0)，所以c1.将点P(0,1)代入椭圆方程1，得1，即b1，所以a2b2c22.所以椭圆C1的方程为y21.4分(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为ykxm，由消去y并整理得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得2k2m210.7分由消去y并整理得k2x2(2km4
13、)xm20.因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.10分综合，解得或所以直线l的方程为yx或yx.14分评分细则(1)得到b1给2分；(2)两个判别式应用中，得到化简后的方程均给1分，判别式等于0没化简不扣分；(3)k、m的值不全扣2分阅卷老师提醒(1)对于直线和圆锥曲线相切的问题，除曲线为y2ax形式的，一般都利用判别式(2)直线和圆锥曲线是高考热点，判别式、弦长公式、设而不求思想是常用工具1 (2013四川)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.答案B解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，双曲线x21的渐近线是yx
14、，即xy0，所求距离为.选B.2 (2013湖北)已知02k0，即解得1k0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A、B两点，若ABF为等边三角形，则p_.答案6解析因为ABF为等边三角形，所以由题意知B，代入方程1得p6.5 (2013湖南)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a且PF1F2的最小内角为30，则双曲线C的离心率为_答案解析不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，|PF1|4a，|PF2|2a.又在PF1F2中，PF1F230，由正弦定理得，PF2F190，|F1F2|2a，双曲线C的离心率
15、e.6 (2013辽宁)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_.答案解析如图，在ABF中，|AB|10，|AF|6，且cosABF，设|BF|m，由余弦定理，得62102m220m，m216m640，m8.因此|BF|8，AFBF，c|OF|AB|5.设椭圆右焦点为F，连接BF，AF，由对称性，|BF|AF|6，2a|BF|BF|14.a7，因此离心率e.专题限时规范训练一、选择题1 (2013广东)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1
16、B.1C.1 D.1答案B解析由题意知：c3，e，a2；b2c2a2945，故所求双曲线方程为1.2 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于()A2 B2 C4 D2答案B解析由题意设抛物线方程为y22px(p0)，则M到焦点的距离为xM23，p2，y24x.y428，|OM|2.3 已知双曲线C：1 (a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为()A. B. C2 D3答案A解析取双曲线的渐近线yx，则过F2与渐近线垂直
17、的直线方程为y(xc)，可解得点H的坐标为，则F2H的中点M的坐标为，代入双曲线方程1可得1，整理得c22a2，即可得e，故应选A.4 设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且0，则|等于()A. B2C. D2答案B解析如图，由0，可得，又由向量加法的平行四边形法则可知PF1QF2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|2c2，所以选B.5 已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若PQF是边长为2的正三角形，则p的值是()A2 B2C.1 D.1答案A解析依题意得F，设P，Q(y1y2)由抛物线定义及|PF|QF|，得，yy，y1y2.又|PQ
18、|2，因此|y1|y2|1，点P.又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|2，由此解得p2，故选A.6 (2013浙江)如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B. C. D.答案D解析|F1F2|2.设双曲线的方程为1.|AF2|AF1|4，|AF2|AF1|2a，|AF2|2a，|AF1|2a.在RtF1AF2中，F1AF290，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，即(2a)2(2a)2(2)2，a，e.故选D.7 已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C
19、：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析双曲线1的渐近线方程为yx，圆C的标准方程为(x3)2y24，圆心为C(3,0)又渐近线方程与圆C相切，即直线bxay0与圆C相切，2，5b24a2.又1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.8 (2012安徽)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A. B. C. D2答案C解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|3，由抛物线定义知：点
20、A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点A的纵坐标y2，A(2,2)，直线AF的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B，SAOB|OF|yAyB|1|2|.故选C.二、填空题9 已知F1、F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|F2A|F2B|12，则|AB|_.答案8解析如图所示，由椭圆定义得|AF1|AF2|BF1|BF2|4a20，又|AF2|BF2|12，所以|AF1|BF1|8，即|AB|8.10已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_.答案12解
21、析与双曲线1有共同渐近线的双曲线的方程可设为，即1(0)由题意知c，则4165，则a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.11设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为_答案15解析|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|，易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值为10|MF2|1015.12过双曲线1 (a0，b0)的左焦点F作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线的右支于点P，若E为PF的中点，则
22、双曲线的离心率为_答案解析设双曲线的右焦点为F，由于E为PF的中点，坐标原点O为FF的中点，所以EOPF，又EOPF，所以PFPF，且|PF|2a，故|PF|3a，根据勾股定理得|FF|a.所以双曲线的离心率为.三、解答题13(2012安徽)如图，F1、F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值解(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)方法一a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)，将其代入椭圆方程3x24y212c2，得
23、B，所以|AB|c.由SAF1B|AF1|AB|sinF1ABaca240，解得a10，b5.方法二设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240 知，a10，b5.14(2013课标全国)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则11，得0.因为1，设P(x0，y0)，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以y0x0，即y1y2(x1x2)所以可以解得a22b2，即a22(a2c2)，即a22c2，又因为c，所以a26，所以M的方程为1.(2)因为CDAB，直线AB方程为xy0，所以设直线CD方程为yxm，将xy0代入1得：3x24x0，即A(0，)，B，所以可得|AB|；将yxm代入1得：3x24mx2m260，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则|CD|，又因为16m212(2m26)0，即3m3，所以当m0时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为|AB|CD|.