1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义 本节课通过向量的加法 运算得出向量的数乘运算，再利用数乘得出向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；在向量的数乘运算的教学过程中运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。1掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.特点：共起点，连终点，方向指
2、向被减向量1.向量加法三角形法则:aABbCabaAbBOCab特点:首尾相接，首尾连 特点:同一起点,对角线babBaAO2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:BCab 思考：已知非零向量 ,作出 和 你能说明它们的几何意义吗？aaaa()()()aaa aBACOaaaNMQPaaaOCOAABBCaaaPNPQQMMNaaa （）（）（）3a -记作 3a 记作 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，aa|;aa（1）（2）当 时，的方向与 的方向相同；当 时，的方向与 的方向相反。aa0 aa0 特别的，当时，0 0.a一.向量数乘的
3、定义 它的长度和方向规定如下：课本P90,练习23 练一练:a3(2)a3(2)a6a=ab2()22abab3 26222,()()(),(),aaaa babab(1)根据定义 求作向量和 为非零向量并进行比较，看看它们有何关系？(2)已知向量求作向量和并进行比较，看看它们有何关系？探究 ab22ab2a2b设 为实数，那么,(1)()();(2)();(3)().aaaaaabab 特别的，我们有()()(),().aaaabab 1212().abab 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有 a b，12,结合律分配律分配律运算律：仍是向量 例
4、1.计算：34322332();()();()().(1)(2)(3)aababaabcabc13 412()()aa 原式233225()ababab 原式解:二.例题讲解 3233252()abcabcabc 原式,2 263)3(342);3()2(2)4()0 .abcabcxaxaxabx 计算:(1)（2）已知求141269126abcabc解：（）原式13a2 33244440 xaxaxab（）由已知得：34xab 340 xab即 练习:?,),0()1(位 置 关 系 如 何则若baaab?),0(/)2(是 否 成 立则若abaab/ba成立课本P90,练习5 练一练:思
5、考：向量共线定理(0),.a abba向量与 共线 当且仅当有唯一一个实数使思考:1)为什么要是非零向量?a2)可以是零向量吗?ba b即 与 共线ba(0)a 课本P90,练习4 练一练:abab2b3bABCO解:2-()3-()2ABOBOAababbACOCOAababb2ACAB,A B C故三点共线.,且有公共点例2.如图，已知任意两个向量 ，试作 a b、3.OCab,OAab你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？2,OBab证明三点共线的方法:AB=BC 且有公共点A,B,C三点共线121212122362348:eeABee BCee CDeeAB 已知两个非零向量
6、 和 不共线，如果，求证、D三点共线.例3.如图：已知 ，试判断 与 是否共线ABAD 3BCDE3ACAEABDECBCAB33BCAB 3AC 3 与 共线AEACDEADAE解：ABCMabD,.ABCDMABaADba bMA MB MCMD如图,的两条对角线相交与点且.用和例表示4111222MCACab1111()2222MDMBDBabab 1111()2222MAACabab 1111()2222MBDBabab:.ABCDACABADabDBABADab解 在中()如图所示，D是 ABC的边AB上的中点，则向量CD 11221122 BCBA BCBA C BCBA BCBA
7、练习:ADCBA3334220()A.ba(a),a,b B.mab,nab,m/n C.a,b ab.D.abcabc1.下列各式叙述不正确的是为非零向量 则共线则若共线,则存在唯一的实数 使得,则C1321123333 ABCDABD=2DB,CD=CA+C,()A.B.C.-D.-AB2.在三角形中,已知 是边上一点,若则A33 .,().oABCDA B Ca b cODA abcB abcC abcD abc已知一点 到平行四边形的 个顶点的向量分别为则向量等于 B4.,.2.ABCDEFADBCABDCEF如图 在任意四边形中、分别是、的中点求证：AEBDFC1212124.e e
8、eeekek 6 .设，是两个不共线的向量，而和2共线，求实数 的值12124eeeke解：和2 向量共线12124,()ekeee存在实2 使得 数8k 24k 0()a a 5.求已知向量的 单位向量.12124ekeee即2一、实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量 没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.若 ，则可能有 ，也可能有 .0a0 0a 三、定理的应用：1.证明 向量共线 2.证明 三点共线:AB=BC 且有公共点 3.证明 两直线平行:AB=CD AB与CD不在同一直线上 直线AB直线CD A,B,C三点共线 ABCD二、的定义及运算律 a向量共线定理(0)a ba向量 与 共线 ab 教材P91练习2.2A组9、10、12、13B组3；敬请指导.
