1、内蒙古通辽市开鲁县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合，再求交集即可.【详解】因为，所以，故选：B.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题.2. 在等差数列中，则（ ）A. 21B. 28C. 35D. 42【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质化简计算即得结果.【详解】等差数列中，故.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的性质，
2、属于基础题.3. 在中，若，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由利用正弦定理可得，结合可得结果【详解】利用正弦定理化简，得：，故选A【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.4. 设，满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，表示斜率为的平行直线系，平移直线可
3、得当直线经过和的交点时，取到最大值【详解】画出不等式表示的平面区域如图所示等价于，表示斜率为的平行直线系，的最大值，即直线纵截距的最小值，联立方程，解得，则过时取到最大值故选：C【点睛】本题考查线性规划的应用，考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查学生数形结合能力，属于基础题5. 张丘建算经是我国古代数学名著，书中有如下问题“今有懒女不善织，日减功迟，初日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?”其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺（ ）A. 90B. 120C. 140D. 150【答案】B【解析】
4、【分析】引入数列后，相当于一个等差数列，求由等差数列的前项和公式计算【详解】设第天织布尺，则是等差数列，所以.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前项和，解题关键是由已知文字抽象出数学语言，用数学知识解决实际问题6. 已知为等差数列，前项和为，,则公差（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式即可求解.【详解】为等差数列，,，可得，整理可得，所以.故选：D【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记性质与求和公式，属于基础题.7. 已知各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】
5、D【解析】【分析】由已知条件，利用等比数列的通项公式求得公比，进而可求得结果.【详解】各项均为正数的等比数列的公比设为q，则q0，由成等差数列，可得，即，所以，解得或（舍），所以故选：D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质，属基础题.8. 下列不等式中，正确的是（ ）A. a4B. a2b24abC. x22D. 【答案】C【解析】【分析】A. 令判断；，B.根据重要不等式判断；C. 利用基本不等式判断；D. 令判断.【详解】A. 当时， ，故错误；B. 因为a2b22ab，故错误； C. 由基本不等式得x22，当且仅当时，取等号，故正确；D. 当时，故错误；故选：C9. 在中，则（ ）
6、A. 9B. C. D. 8【答案】D【解析】【分析】由，得到，然后由正弦定理求解.【详解】，故，由正弦定理得，所以，故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10. 在中，如果，那么等于（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正弦定理化角为边得；设利用余弦定理得解.详解】由正弦定理可得 设由余弦定理可得，c，故选：D【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，属于基础题.11. 已知正实数、满足，则的最小值为（ ）A. 12B. 8C. 6D. 4【答案】D【解析】【分析】由已知正实数，满足，则与相乘凑乘积为定值【详解】由已知正实数，满足，所以
7、，当且仅当，时取到等号故选：D【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于简单题12. 在中，角，所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】先由正弦定理和已知得到，再由代入得到即可判断三角形形状.详解】由及正弦定理，得，即由余弦定理得因为，所以，又因为，代入得，即，所以，所以是等边三角形.故选：A.【点睛】本题考查解三角形的基本知识和正弦定理、余弦定理的应用；考查运算求解能力、推理论证能力.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 已知向
8、量，的夹角为60，则_.【答案】2【解析】【分析】先根据已知条件计算数量积，再由计算，即得结果.【详解】因为向量，的夹角为60，所以，故，.故答案为：2.【点睛】本题考查了数量积的定义和向量模长的计算，属于基础题.14. 已知等比数列的公比为2,前n项和为,则=_.【答案】 【解析】由等比数列的定义，S4=a1a2a3a4=a2a2qa2q2，得1qq2=.15. 数列的前项和，则该数列的通项公式为_【答案】【解析】当时 当时也适合，故.即答案为.16. 如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔的高度，在塔底和，（与塔底同一水平面）处进行测量，在点，处测得塔顶的仰角分别为和，且，两点相距，则古塔
9、的高度为_【答案】12【解析】【分析】设，用表示出，在中，由余弦定理列方程求出【详解】由题意知：平面设，则，在中，由余弦定理得：即，解得故答案为：12【点睛】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列的公比，且，（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和 【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）直接根据等比数列的通项公式列式解方程计算即可；（）先求出，再根据分组求和的方法求解即可得答案.【详解】解：（）根据题意得：，两式相除得：，由于，故， ，所以数列
10、的通项公式为：.（）根据题意得：，根据分组求和的方法得：.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，分组求和法，考查运算能力，是基础题.18. 在中，设内角的对边分别为.（1）求的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用余弦定理求出角；（2）根据正弦定理将转化为，再根据余弦定理求出，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求的值.试题解析：（1）（2） 19. 设函数.（1）求的值及函数的最小正周期；（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）,；（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的公式化简已知函数可得，利用周期公式即可求解；（2）由的范围，结合不等式的性质，
11、一步步可得值域，先求函数的单调区间，结合函数的定义域可得答案【详解】（1），所以,函数的最小正周期为（2）时，的值域为【点睛】本题考查三角函数的公式的应用，涉及正弦函数的单调性以及函数值域的求解，属于中档题20. 已知等差数列的前项和为，满足， .（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）（）；（2）.【解析】分析】（1）根据条件表示为首项和公差的方程组，再写出通项公式；（2）由（1）可知，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知可得:因为，解得. 所以（）. （2）由（1） 所以, .【点睛】本题考查等差数列，裂项相消法求和，重点考查计算能力，属
12、于基础题型.21. 在中，角的对边分别为，且.（1）求的大小；（2）若的外接圆的半径为，面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式化简即得的大小；（2）先利用正弦定理求出a的值，再利用面积求出bc的值，最后利用余弦定理求出b+c的值即得解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，由三角形内角和定理和诱导公式可得，代入上式可得，所以.因为，所以，即.由于，所以.（2）因为的外接圆的半径为，由正弦定理可得，.又的面积为，所以，即，所以.由余弦定理得，则，所以，即.所以的周长.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，意在考查学生对这
13、些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22. 已知圆，直线（1）判断直线与圆C的位置关系；（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120，求弦AB的长【答案】(1)直线l与圆C必相交 (2)【解析】【分析】（1）判断直线过定点，利用点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系；（2）根据直线的倾斜角为，求出直线斜率以及直线的方程，利用弦长公式即可求弦的长.【详解】(1)直线l可变形为y1m(x1)，因此直线l过定点D(1，1)，又1，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交(2)由题意知m0，所以直线l的斜率km，又ktan 120，即m此时，圆心C(0，1)到直线l： xy10的距离d，又圆C的半径r，所以|AB|22【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式以及直线过定点问题，属于中档题. 已知直线方程，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.