1、高三总复习人教A 版 数学（理）第六节 对数与对数函数高三总复习人教A 版 数学（理）1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3知道对数函数是一类重要的函数模型4了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1)高三总复习人教A 版 数学（理）1对数式与指数式的互化abNN0(a0且a1)blogaN，注意对数的真数一定要大于零2运算性质(1)loga(MN)logaMlogaN.(2)logaMNlogaMlogaN.(3)logaMn
2、nlogaM.高三总复习人教A 版 数学（理）3恒等式(1)alogaNN(a0 且 a1，N0)(2)logaa1，loga10(a0 且 a1)4换底公式logablogcblogca，c0 且 c1(a0 且 a1，b0)温馨提示：注意公式成立的条件(a0 且 a1，M0，N0)高三总复习人教A 版 数学（理）5对数函数的图象与性质定义形如ylogax(a0且a1)的函数叫对数函数图象高三总复习人教A 版 数学（理）性质(1)定义域：(0，)(2)值域：(，)(3)过点(1,0)，即x1时，y0(4)在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数(5)x1时，y00 x1时，y1时，y00 x
3、0高三总复习人教A 版 数学（理）1若 a0，a1，xy0，nN，则下列各式：(logax)nnlogax；(logax)nlogaxn；logaxloga1x；n logax1nlogax；高三总复习人教A 版 数学（理）解析：由对称运算性质可知正确答案：Blogaxn logan x；logaxyxylogaxyxy.其中正确的个数有()A2 个 B3 个C4 个D5 个高三总复习人教A 版 数学（理）2已知 logx832，则 x 的值是()A.12B2C.14D4答案：D解析：由对数定义，得 x328，x8234.高三总复习人教A 版 数学（理）3函数ylg|x|()A是偶函数，在区间
4、(，0)上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递增解析：ylg|x|是偶函数，由图象知在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增答案：B高三总复习人教A 版 数学（理）4设函数f(x)logax(a0且a1)，若f(x1x2x2011)8，则f(x12)f(x22)f(x20112)_.解析：依题意有loga(x1x2x2011)8，而f(x12)f(x22)f(x20112)logax12logax22logax20112loga(x1x2x2011)22loga(x1x2x2011)2816.答案：16高三总复习人
5、教A 版 数学（理）5函数ylog2(x24x5)的定义域是_解析：要使ylog2(x24x5)有意义，需使：x24x50，得x5，定义域为(，1)(5，)答案：(，1)(5，)高三总复习人教A 版 数学（理）对数的化简与求值的基本思路：1利用换底公式及 logamNnnmlogaN，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；2利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；3约分、合并同类项，尽量求出具体值 热点之一 对数式的化简与求值高三总复习人教A 版 数学（理）例 1 计算：(1)lg25lg2lg50(lg2)2；(2)lg23lg91(lg 27lg8l
6、g 1000)lg0.3lg1.2；(3)(log32log92)(log43log83)高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录(1)原式(lg2)2(1lg5)lg2lg52(lg2lg51)lg22lg5(11)lg22lg52(lg2lg5)2.(2)原式lg232lg31(32lg33lg232)(lg31)(lg32lg21)(1lg3)32(lg32lg21)(lg31)(lg32lg21)32.高三总复习人教A 版 数学（理）(3)原式(lg2lg3lg2lg9)(lg3lg4lg3lg8)(lg2lg3 lg22lg3)(lg32lg2 lg33lg2)3lg22lg35lg
7、36lg254.高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 (1)计算：2(lg 2)2lg 2lg5(lg 2)22lg 21.(3)已知 10a2,10b3，求 1002ab 的值高三总复习人教A 版 数学（理）解：(1)原式lg 2(2lg 2lg5)(lg 2)22lg 21lg 2(lg2lg5)|lg 21|lg 2lg(25)1lg 21.(3)解法一：10a2，lg2a.10b3，lg3b.故 1002ab(102)lg4310lg169 169.解法二：由 10a2,10b3，知(10a)42416,102b32.1002ab104a102b169.高三总复习人教A 版 数学（
8、理）热点之二 对数函数的图象及应用研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象特别地，要注意底数a1或0a0,0a1，则 x1、x2、x3 的大小关系是()Ax3x2x1 Bx2x1x3Cx1x3x2Dx2x30，画出图象后知选 D.(2)在同一直角坐标系中作出函数 y(12)|x|及 y|f(x)|的图象如下图，易得答案 B.高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 已知函数 f(x)lgx，x32lg(3x)，x32，若方程 f(x)k 无实数根，则实数 k 的取值范围是()A(，0)B(，1)C(，lg32)D(lg32，)高三总
9、复习人教A 版 数学（理）解析：在同一坐标系内作出函数 yf(x)与 yk 的图象，如下图，若两函数图象无交点，则 k1，f(x)0，g(x)0，则logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0；20a0，g(x)0，则logaf(x)logag(x)0f(x)g(x)高三总复习人教A 版 数学（理）例3(1)log20.3与log0.20.3的大小关系是_；(2)logn(n1)与log(n1)n的大小关系是_(n为大于1的正整数)；思路探究 比较对数式的大小有三种方法：一是根据对数函数的单调性进行比较；二是采用中间值 0 或 1 等进行比较，如本例的(1)(2)；三是将对数式转化为指数
10、式，再将指数式转化为对数式，通过巡回转化进行比较，如本例的(3)高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录(1)由于log20.3log0.210，log20.3lognn1，而log(n1)nlog(n1)n.高三总复习人教A 版 数学（理）则(14)m87，(15)n65，因此 4m78，5n56.由于7856，得 4m5n，再取对数，得 mlg4nlg5，高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 已知 f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设 af(log47)，b，cf(0.20.6)，则 a，b，c 的大小关系是()AcabBcbaCbcaDab0，且 a1)(1)求
11、 m 的值；(2)判断 f(x)在区间(1，)上的单调性并加以证明；(3)当 a1 时，f(x)在2，)上取得最大值 4，求 a 的值思路探究 高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)在其定义域内恒成立，即 loga1mxx1loga1mxx1 恒成立，1m2x21x2恒成立，m1 或 m1(舍去)，m1.高三总复习人教A 版 数学（理）(2)由(1)得 f(x)logax1x1(a0，且 a1)，任取 x1，x2(1，)，且 x1x2，令 t(x)x1x1，则 t(x1)x11x11，t(x2)x21x21，t(x1)t(x2)x11x11x21x21
12、2(x2x1)(x11)(x21)，1x10，x210，x2x10.高三总复习人教A 版 数学（理）t(x1)t(x2)，即x11x11x21x21，当 a1 时，logax11x11logax21x21，即 f(x1)f(x2)，f(x)在(1，)上是减函数；当 0a0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性解：(1)由ax10得ax1，当a1时，x0；当0a1时，x1时，f(x)的定义域为(0，)；当0a1时，设0 x1x2，则1ax1ax2，故0ax11ax21，loga(ax11)loga(ax21)，f(x1)1时，f(x)在(0，)上是增函数类似地，当0a1
13、时，f(x)在(，0)上为增函数高三总复习人教A 版 数学（理）有关对数、对数函数的试题每年必考，它既可以以选择题或填空题的形式出现，又可以以解答题的面目出现，且综合能力要求较高纵观近几年高考形式，2012年高考试题在图象、性质及思想方法上仍会继续考查，特别是图象与性质将会重点考查高三总复习人教A 版 数学（理）例5 (2010 浙 江 高 考)设 函 数 的 集 合P f(x)log2(xa)ba12，0，12，1；b1，0，1，平面上点的集合 Q(x，y)x12，0，12，1；y1，0，1，则在同一直角坐标系中，P 中函数 f(x)的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是()A4 B6C
14、8 D10高三总复习人教A 版 数学（理）解析 集合 Q中共有如下图所示的 12 个点，函数 f(x)log2x过点12，1，(1,0)，故 a0，b0 满足条件，将 f(x)log2x 的图象左、右、上、下平移，满足条件的 a、b 共有a0，b0，a12，b0，a0，b1，a1，b1，a1，b1，a12，b1，共 6 组故选 B.高三总复习人教A 版 数学（理）答案 B高三总复习人教A 版 数学（理）1(2010全国)已知函数 f(x)|lgx|.若 0ab，且 f(a)f(b)，则 a2b 的取值范围是()A(2 2，)B2 2，)C(3，)D3，)解析：f(x)|lgx|的图象如下图所示，由图知 f(a)f(b)，则有0a10，g(b)在(1，)上为增函数，得 g(b)2b1b3，故选 C.答案：C高三总复习人教A 版 数学（理）2(2010四川高考)2log510log50.25()A0 B1 C2 D4解析：2log510log50.25log5102log50.25log5(1000.25)log5252.故选C.答案：C高三总复习人教A 版 数学（理）