1、第三章 直线与方程 33 直线的交点坐标与距离公式331 两条直线的交点坐标332 两点间的距离登高揽胜 拓界展怀课前自主学习1会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系3掌握两点间距离公式并会应用学 习 目 标自主导学预习课本 P102P105，思考并完成以下问题知识点一|两条直线的交点坐标 1两条直线的交点已知两直线 l1：A1xB1yC10(A1，B1 不同时为 0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2 不同时为 0)(1)基本知识点与坐标的一一对应关系几何元素及关系代数表示点 PP(a，b)直线 ll：AxByC0(A，B 不同时为 0)点
2、P 在直线 l 上AaBbC0直线 l1 与 l2 的交点是 P方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20 的解是xa，yb(2)两条直线的交点一般地，将两条直线的方程联立，得方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20.若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行2过定点的直线系方程已知直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20交于点 P(x0，y0)，则方程 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 表示 1 _的直线系，不包括直线 l2.过点P小试身手1直线 xy20 与直线 xy80 的交点坐标为()A(
3、3，5)B(3,5)C(3,5)D(3，5)答案：C2直线 xy20 与直线 2x2y70 的位置关系是答案：平行知识点二|两点间的距离公式 1两点间的距离平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|2 _.2两点间距离的特殊情况(1)原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|3 _.(2)当 P1P2x 轴(y1y2)时，|P1P2|4 _.(3)当 P1P2y 轴(x1x2)时，|P1P2|5 _.x2x12y2y12x2y2|x2x1|y2y1|思考探究|辨别正误|1平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？提示 无关在计算公式中 x2 与 x
4、1，y2 与 y1 的位置可以互换，不影响计算结果2式子x2y2的几何意义是什么？提示 式子x2y2x02y02表示平面上的点(x，y)到原点的距离剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 两直线的交点问题【例 1】求过直线 2xy20 和 xy10 的交点，且斜率为 3 的直线方程解 解法一：(点斜式法)解方程组2xy20，xy10，得x1，y0，所以两直线的交点坐标为(1,0)，又所求直线的斜率为 3，故所求直线的方程为 y03x(1)，即 3xy30.解法二：(分离参数法)设所求直线为 l，因为 l 过已知两直线的交点，因此 l 的方程可设为 2xy2(xy1)0(其中 为常数)，即(2)x
5、(1)y20，又直线 l 的斜率为 3，所以213，解得 14，将 14代入，整理得 3xy30.过直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线系有两种：1(A1xB1yC1)2(A2xB2yC2)0可表示过l1、l2交点的所有直线；A1xB1yC1(A2xB2yC2)0不能表示直线l2.|方法总结|1三条直线 ax2y70,4xy14 和 2x3y14 相交于一点，求实数 a 的值解：解方程组4xy14，2x3y14，得x4，y2，所以两条直线的交点坐标为(4，2)由题意知点(4，2)在直线 ax2y70 上，将(4，2)代入，得 a42(2)70，解得 a34.2求经过
6、两条直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点 P，且与直线 l3：3x4y50 垂直的直线 l 的方程解：把直线 l1 和直线 l2 的方程联立得x2y40，xy20，解得x0，y2，所以交点 P 的坐标是(0,2)由题意知直线 l3 的斜率为34，且直线 l 与直线 l3 垂直，所以直线 l 的斜率为43，所以直线 l 的方程为 y243(x0)，即 4x3y60.题型二 两点间距离公式的应用 考向 1 两点间距离公式的应用【例 2】已知ABC 三顶点坐标 A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，试判断ABC 的形状解 解法一：|AB|3323122 13，|AC|1327122
7、 13，又|BC|1327322 26，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC 是等腰直角三角形解法二：kAC711332，kAB 313323，则 kACkAB1，ACAB.又|AC|1327122 13，|AB|3323122 13，|AC|AB|.ABC 是等腰直角三角形考向 2 坐标法的应用【例 3】求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半证明 如图所示，以 A 为坐标原点，边AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，其中D，E 分别为边 AC 和 BC 的中点设 A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|c|.又由中点坐标公式，得 Dm2，n2，Ec
8、m2，n2，|DE|cm2m2 c2，|DE|12|AB|，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.|方法总结|若已知两点的坐标 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求两点间的距离，可直接应用两点间的距离公式|P1P2|x2x12y2y12.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题.3已知点 A(2，1)，B(4，3)，C(0，5)，求证：ABC 是等腰三角形证明：|AB|4223122 2，|AC|0225122 5，|BC|0425322 5，|AC|BC|.又点 A，B，C 不共线，ABC 是等腰三角形.题型三 直线恒过定点问题【例 4
9、】求证：不论 为何实数，直线(2)x(1)y63 都恒过一定点证明 证法一：(特殊值法)取 0，得到直线 l1：2xy30，取 1，得到直线 l2：x3，故 l1 与 l2 的交点为 P(3,3)将点 P(3,3)代入方程左边，得(2)(3)(1)363，点(3,3)在直线(2)x(1)y63 上直线(2)x(1)y63 恒过定点(3,3)证法二：(分离参数法)由(2)x(1)y63，整理，得(2xy3)(xy6)0.则直线(2)x(1)y63 通过直线 2xy30 与xy60 的交点由方程组2xy30，xy60得x3，y3.直线(2)x(1)y63 恒过定点(3,3).解决过定点问题常用的三
10、种方法(1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标(2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)(3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1xB1yC10和A2xB2yC20的交点，而此交点就是定点比较这三种方法可知，方法(1)计算较烦琐，方法(2)变形较困难，方法(3)最简便因而也最常用.|方法总结|4已知直线 l：5ax5ya30.(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限；(2
11、)若使直线 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围解：(1)证明：直线 l 的方程可化为 y35ax15，所以不论 a 取何值，直线 l 恒过定点 A15，35，又点 A 在第一象限，所以不论 a 取何值，直线 l 恒过第一象限(2)令 x0，y3a5，由题意，3a5 0，解得 a3.所以 a 的取值范围为3，)题型四 对称问题 考向 1 点关于点对称【例 5】过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2xy80和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，求直线 l 的方程解 设 l1 与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点B(a,2a6)
12、在 l2 上，代入 l2 的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x4y40.考向 2 点关于线对称【例 6】点 P(3,4)关于直线 xy20 的对称点 Q 的坐标是()A(2,1)B(2,5)C(2，5)D(4，3)解析 设对称点坐标为(a，b)，a32 b42 20，b4a31，解得a2，b5，即 Q(2,5)答案 B考向 3 线关于点对称【例 7】与直线 2x3y60 关于点(1，1)对称的直线方程是()A3x2y20 B2x3y70C3x2y120 D2x3y80解析 由平面几何知识易知所求直线与已知直线 2x3y60 平行
13、，则可设所求直线方程为 2x3yC0(C6)在直线 2x3y60 上任取一点(3,0)，关于点(1，1)对称点为(1，2)，则点(1，2)必在所求直线上，2(1)3(2)C0，C8.所求直线方程为 2x3y80.答案 D|方法总结|1点关于直线的对称的点的求法点 N(x0，y0)关于直线 l：AxByC0 的对称点 M(x，y)可由方程组yy0 xx0AB 1AB0，Axx02Byy02C0求得2直线关于直线的对称的求法求直线l1：A1xB1yC10关于直线l：AxByC0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式
14、求出l2的方程.5已知点 A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A2 B4C5 D.17解析：选 D 根据中点坐标公式得到x22 1 且532 y，解得 x4，y1，所以点 P 的坐标为(4,1)，则点 P(x，y)到原点的距离 d402102 17.6点 A(4,5)关于直线 l 的对称点为 B(2,7)，则直线 l 的方程为解析：由题意知，设直线 l 的斜率为 k，则 kkAB1，且直线 l 过 AB 的中点，又 kAB 752413，则 k3，AB 的中点为(1,6)，所以直线 l 的方程为y63(x1)，即 3xy30.答案：3xy307求
15、直线 m：3x2y60 关于直线 l：2x3y10 的对称直线 m的方程解：在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上设对称点为 M(a，b)，则2a223b0210，b0a2231.解得 M613，3013.设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由2x3y10，3x2y60.得 N(4,3)又m经过点 N(4,3)，由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020.知识归纳 自我测评堂内归纳提升规律方法1一个等价条件：方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20有唯一解的等价条件是 A1B2A2B10.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2
16、A2B10.直线A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)是过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 交点的直线(不含 l2)2一类解题方法：解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法自测检评1经过直线 2xy40 与 xy50 的交点，且垂直于直线 x2y0 的直线的方程是()A2xy80 B2xy80C2xy80 D2xy80解析：选 A 联立2xy40，xy50，解得x1，y6.交点坐标为(1,6)由垂直关系，得所求直线的斜率为2，则所求直线方程为 y62(x1)，即 2xy80.2光线从点
17、 A(3,5)射到 x 轴上，经反射后经过点 B(2,10)，则光线从 A 到 B 的距离是()A5 2B2 5C5 10D10 5解析：选 C 根据光学原理，光线从 A 到 B 的距离，等于点 A 关于 x 轴的对称点 A到点 B 的距离，易求得 A(3，5)所以|AB|23210525 10.3直线 l 与两直线 y1 和 xy70 分别交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点为 M(1，1)，则直线 l 的斜率为()A.32B.23C32D23解析：选 D 设直线 l 与直线 y1 的交点为 A(x1,1)，与直线 xy70 的交点为 B(x2，y2)M(1，1)为 AB 的中点，11y
18、22，则 y23.代入直线 xy70，得 x24，则点 B 坐标为(4，3)点 B，M 都在直线 l 上，kl3141 23.4已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为解析：线段 PQ 的垂直平分线就是直线 l，则 klkPQkl42131，得 kl1.PQ 的中点坐标为(2,3)，直线 l 的方程为 y3x2，即 xy10.答案：xy105设点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，AB 的中点是 P(2，1)，则|AB|.解析：设 A(x,0)，B(0，y)，AB 中点是 P(2，1)，x22，y21，x4，y2，即 A(4,0)，B(0，2)，|AB|42222 5.答案：2 5word部分：请做：课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块