1、第三章 直线与方程 32 直线的方程322 直线的两点式方程323 直线的一般式方程登高揽胜 拓界展怀课前自主学习1掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围2了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围，会用中点坐标公式求两点的中点坐标.3掌握直线的一般式方程会进行直线方程不同形式的转化学 习 目 标自主导学预习课本 P95P99，思考并完成以下问题知识点一|直线的两点式方程 1直线的两点式方程的定义1 _ 2 _就是经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1x2，y1y2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式yy1y2y1xx1x2x12若点 P1，P2 的
2、坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段 P1P2的中点 M 的坐标为(x，y)，则有中点坐标公式：思考探究|辨别正误|过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？提示 不能，因为 110，而 0 不能做分母过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示知识点二|直线的截距式方程 直线 l 与 x 轴交于点 A(a,0)，与 y 轴交于点 B(0，b)，其中 a0，b0，则得直线方程 5 _ 6 _ 7 _，叫做直线的8 _xayb1 截距式方程小试身手1直线 3x2y4 的截距式方程是()A.3x4 y21 B.x13y124C.
3、3x4 y21 D.x43 y21解析：选 D 求直线方程的截距式，必须把方程化为xayb1 的形式，即右边为 1，左边是和的形式知识点三|直线方程的一般式 1直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程表示(2)每个关于 x，y 的二元一次方程都表示一条直线2直线的一般式方程的定义我们把关于 x，y 的二元一次方程 AxByC0(其中 A，B不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式小试身手2与 x 轴平行且过点(0,6)的直线的一般式方程为()Ax60 By60Cxy6 Dxy6答案：B3已知直线的方程为 2xy40，则该
4、直线的斜率为答案：2剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 利用两点式求直线方程【例 1】已知ABC 三个顶点坐标 A(2，1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程解 A(2，1)，B(2,2)，A，B 两点横坐标相同，直线 AB 与 x 轴垂直，故其方程为 x2.A(2，1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得 AC 的方程为 y111x424，即 xy30.同理可由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为y212x242，即 x2y60.三边 AB，AC，BC 所在的直线方程分别为x2，xy30，x2y60.当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点
5、式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.|方法总结|1(1)已知直线 l 经过点 A(2，1)，B(2,7)，求直线 l 的方程；(2)已知点 P(3，m)在过点 A(2，1)，B(3,4)的直线上，求实数 m 的值；(3)三角形的三个顶点分别是 A(1,0)，B(3，1)，C(1,3)，求三角形三边所在的直线的方程解：(1)因为点 A 与点 B 的横坐标相等，所以直线 l 没有两点式方程故所求直线方程为 x2.(2)由两点式方程，得过 A，B 两点的直线方程为y141 x232，即 xy10.又因为点 P(3，m)在直
6、线 AB 上，所以 3m10，得 m2.(3)由两点式，得边 AB 所在直线的方程为y101 x313，即 x4y10.同理，边 BC 所在直线的方程为y313x131，即 2xy50.边 AC 所在直线的方程为y303 x111，即 3x2y30.题型二 直线的截距式方程【例 2】求过点 A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程解 解法一：当直线 l 在坐标轴上的截距均为 0 时，方程为 y25x，即 2x5y0；当直线 l 在坐标轴上的截距不为 0 时，可设方程为xa ya1，即 xya，又l 过点 A(5,2)，52a，a3，直线 l 的方程为 xy30，综上所述，直线
7、 l 的方程是 2x5y0，或 xy30.解法二：由题意知直线的斜率一定存在设直线的点斜式方程为 y2k(x5)，当 x0 时，y25k，当 y0 时，x52k.根据题意得 25k52k，解方程得 k25或 1.当 k25时，直线方程为 y225(x5)，即 2x5y0；当 k1 时，直线方程为 y21(x5)，即 xy30.【探究 1】变条件若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在 x 轴上的截距是 y 轴上截距的 2 倍”，其他条件不变，如何求解？解 当直线 l 在两坐标轴上的截距均为 0 时，方程为 y25x，即 2x5y0 适合题意当直线 l 在两坐标轴上的截距均不为
8、0 时，可设方程为 x2aya1，又 l 过点(5,2)，52a2a1，解得 a92.直线 l 的方程为 x2y90.【探究 2】变条件若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“与两坐标轴围成的三角形的面积是92”，其他条件不变，如何求解？解 由题意，直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在，设其方程为xayb1.5a2b1，12|a|b|92，可化为 ab9，解5a2b1，ab9，无解，解得5a2b1，ab9，得a152，b65或a3，b3.直线 l 的方程为 4x25y300 或 xy30.(1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其
9、系数即可(2)选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.|方法总结|2(1)求在 x，y 轴上的截距分别是3,4 的直线方程；(2)求过点 A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方程解：(1)根据直线方程的截距式，得直线方程为 x3y41，化简得 4x3y120.(2)当直线 l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为 0 时，可设直线 l 的方程为xa ya1.又因为 l 过点 A(3,4)，所以3a 4a1，解得 a1.所以直线 l 的方程为 x1y11，即 xy10.当直线 l 在坐标轴上的截距互为相反数且为 0 时，直线的方程为 y43x
10、，即 4x3y0.综上，直线 l 的方程为 xy10 或 4x3y0.题型三 直线方程的一般式应用【例 3】(1)已知直线 l1：2x(m1)y40 与直线 l2：mx3y20 平行，求实数 m 的值；(2)当 a 为何值时，直线 l1：(a2)x(1a)y10 与直线l2：(a1)x(2a3)y20 互相垂直解(1)解法一：由 l1：2x(m1)y40.l2：mx3y20.当 m0 时，显然 l1 与 l2 不平行当 m0 时，l1l2，需2mm13 42.解得 m2 或 m3.m 的值为 2 或3.解法二：令 23m(m1)，解得 m3 或 m2.当 m3 时，l1：xy20，l2：3x3
11、y20，显然 l1 与 l2 不重合，l1l2.同理当 m2 时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，l1 与 l2 不重合，l1l2，m 的值为 2 或3.(2)解法一：由题意，直线 l1l2，若 1a0，即 a1 时，直线 l1：3x10 与直线 l2：5y20，显然垂直若 2a30，即 a32时，直线 l1：x5y20 与直线 l2：5x40 不垂直若 1a0，且 2a30，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存在，k1a21a，k2 a12a3.当 l1l2 时，k1k21，即a21a a12a3 1，所以 a1.综上可知，当 a1 或 a1 时，直线 l1l2.解法二：由直
12、线 l1l2，所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得 a1.将 a1 代入方程，均满足题意故当 a1 或 a1 时，直线 l1l2.1直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20.(1)若l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)(2)若l1l2A1A2B1B20.2与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0，(mC)，与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAym0.|方法总结|3(1)求与直线 3x4y10 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程；(2)求经过点 A(2,1)且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程解：(1)
13、解法一：设直线 l 的斜率为 k，l 与直线 3x4y10 平行，k34.又l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为 y234(x1)，即 3x4y110.解法二：设与直线 3x4y10 平行的直线 l 的方程为 3x4ym0.l 经过点(1,2)，3142m0，解得 m11.所求直线方程为 3x4y110.(2)解法一：设直线 l 的斜率为 k.直线 l 与直线 2xy100 垂直，k(2)1，k12.又l 经过点 A(2,1)，所求直线 l 的方程为 y112(x2)，即 x2y0.解法二：设与直线 2xy100 垂直的直线方程为 x2ym0.直线 l 经过点 A(2,1)，221m0，m
14、0.所求直线 l 的方程为 x2y0.知识归纳 自我测评堂内归纳提升规律方法1两种平行方法：根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则 k1k2且 b1b2；若都不存在，则还要判定不重合可直接采用如下方法：一般地，设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.l1l2A1B2A2B10 且 B1C2B2C10 或 A1C2A2C10.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性2两种垂直方法：根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截
15、式后，则 k1k21.一般地，设 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.第二种方法可避免讨论，减小失误自测检评1直线x3y41 在两坐标轴上的截距之和为()A1 B1C7 D7解析：选 B 直线在 x 轴上的截距为 3，在 y 轴上的截距为4，因此截距之和为1.2直线 xa2 yb21 在 y 轴上的截距是()A|b|Bb2Cb2Db解析：选 B 令 x0，得 yb2.3直线 l 过点(1,2)和点(2,5)，则直线 l 的方程为解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y252x121，整理得 xy30.答案：xy304斜率为 2，且经过点 A(1,3)的直线的一般式方程为解析：由直线点斜式方程可得y32(x1)，化成一般式为 2xy10.答案：2xy105三角形的顶点坐标为 A(0，5)，B(3,3)，C(2,0)，求直线 AB 和直线 AC 的方程解：直线 AB 过点 A(0，5)，B(3,3)两点，由两点式方程，得y535 x030.整理，得 8x3y150.直线 AB 的方程为 8x3y150.又直线 AC 过 A(0，5)，C(2,0)两点，由截距式得x2 y51，整理得 5x2y100，直线 AC 的方程为 5x2y100.word部分：请做：课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块