1、阶段性测试题五(平 面 向 量)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2015皖南八校联考)已知点 A(2，12)，B(12，32)，则与向量AB方向相同的单位向量是()A(35，45)B(45，35)C(35，45)D(45，35)答案 C解析 AB(32，2)，|AB|3222252，AB|AB|(35，45)2(2014韶关市曲江一中月考)设向量 a(1,0)，b(12，12)，则下列结论
2、中正确的是()A|a|b|Bab 22Cab 与 b 垂直 Dab答案 C解析|a|1，|b|22，ab12，A、B 错；1120120，ab 不成立；(ab)b(12，12)(12，12)14140，选 C3(2014湖南省五市十校联考)已知ABC 的三个内角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c，向量 m(ac，ab)，n(b，ac)，若 mn，则C()A6 B3C2 D23答案 B解析 mn，(ac)(ac)b(ab)0，a2b2c2ab，cosCa2b2c22ab12，C3.4(2015沈阳市一模)若向量 a、b 满足 ab(2，1)，a(1,2)，则向量 a 与 b 的夹角等于()
3、A45 B60C120 D135答案 D解析 由 ab(2，1)，a(1,2)，得b(1，3)，从而 cosa，b ab|a|b|55 10 22.a，b0，180，a，b135.5(文)(2014安徽程集中学期中)已知向量 a、b 满足|a|1，|ab|7，a，b3，则|b|等于()A2 B3 C 3 D4答案 A解析 设|b|m，则 abmcos3m2，|ab|2|a|2|b|22ab1m2m7，m2m60，m0，m2.(理)(2014哈六中期中)已知向量 a、b 满足，|a|2，a(a2b)，2|a2b|3|b|，则|b|的值为()A1 B2 C 3 D2 3答案 B解析 设|b|m，a
4、(a2b)，a(a2b)|a|22ab42ab0，ab2，将 2|a2b|3|b|两边平方得，4(|a|24|b|2ab)3|b|2，即 4(1m22)3m2，m24，m2.6(2014北京朝阳区期中)已知平面向量 a(1，2)，b(2,1)，c(4，2)，则下列结论中错误的是()A向量 c 与向量 b 共线B若 c1a2b(1、2R)，则 10，22C对同一平面内任意向量 d，都存在实数 k1、k2，使得 dk1bk2cD向量 a 在向量 b 方向上的投影为 0答案 C解析 c2b，向量 c 与向量 b 共线，选项 A 正确；由 c1a2b 可知，41222212，解得10，22，选项 B
5、正确；向量 c 与向量 b 共线，所以由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量，选项 C 错误；ab0，所以 ab，夹角是 90，向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos900，D 正确7(2015湖南师大附中月考)若等边ABC 边长为 2 3，平面内一点 M 满足CM 12CB23OA，则MA MB()A1 B 2C2 D2 3答案 C解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知：A(0,3)，B(3，0)，C(3，0)，设 M(a，b)，CM 12CB23OA 12(2 3，0)23(0,2)(3，2)，又CM OM OC(a，b)(3，0)(a
6、3，b)，a 3 3，b2，a0，b2，M(0,2)，所以MA(0,1)，MB(3，2)，因此MA MB 2.故选 C8(2015石光中学阶段测试)已知 m0，n0，向量 a(m,1)，b(1n,1)，且 ab，则1m2n的最小值是()A2 B 21C2 21 D32 2答案 D解析 ab，m(1n)0，mn1，m0，n0，1m2n(1m2n)(mn)3nm2mn 32 2.等号成立时，nm2mn，mn1，即m 21，n2 2.9(文)(2014河南淇县一中模拟)已知双曲线 x2y231 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P为双曲线右支上一点，则PA1 PF2 的最小值为()A2 B8116C
7、1 D0答案 A解析 由条件知，A1(1,0)，F2(2,0)，P 在双曲线右支上，P 在上半支与下半支上结论相同，设 P(x0，3x203)，x01，PA1 PF2(1x0，3x203)(2x0，3x203)(1x0)(2x0)(3x203)4x20 x054(x018)28116，当 x01 时，(PA1 PF2)min2，故选 A(理)(2015成都市树德中学期中)已知 a(x5，y2 6)，b(x5，y2 6)，曲线 ab1 上一点 M到 F(7,0)的距离为 11，N 是 MF 的中点，O 为坐标原点，则|ON|()A112 B212C12 D212 或12答案 B解析 由 ab1
8、得，x225y2241，易知 F(7,0)为其焦点，设另一焦点为 F1，由双曲线的定义，|MF1|MF|10，|MF1|1 或 21，显然|MF1|1 不合题意，|MF1|21，ON 为MF1F2 的中位线，|ON|212.10(2014开滦二中期中)已知ABC 中，ABAC4，BC4 3，点 P 为 BC 边所在直线上的一个动点，则AP(ABAC)满足()A最大值为 16 B最小值为 4C为定值 8 D与 P 的位置有关答案 C解析 设 BC 边中点为 D，AP，AD，则|AD|AP|cos，ABAC4，BC4 3，BAC120，060，AP(ABAC)AP2AD 2|AP|AD|cos2|
9、AD|28.11(2014哈六中期中)已知四边形 ABCD 中，ADBC，BAC45，AD2，AB 2，BC1，P 是边 AB 所在直线上的动点，则|PC2PD|的最小值为()A2 B4C5 22 D252答案 C解析 AB 2，BC1，BAC45，ABsinBACBC，ACBC，以 C 为原点直线 BC 与 AC 分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系如图，则 C(0,0)，B(1,0)，A(0,1)，D(2,1)，P 在直线 AB：yx1 上，设 P(x0,1x0)，则PC2PD(x0，1x0)2(2x0，x0)(43x0，13x0)，|PC2PD|2(43x0)2(13x0)218x201
10、8x01718(x012)2252，当 x012时，|PC2PD|min5 22，故选 C12(文)(2015遵义航天中学二模)在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD 2DB，CD13CACB，则 的值为()A23 B13C13 D23答案 A解析 在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点AD 2DB，CD 13CACB，CD CAAD CA23ABCA23(CBCA)13CA23CB，23，故选 A(理)(2014海南省文昌市检测)如图，四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，OD3，点 P 为BCD 内(含边界)的动点，设OP OC OD(，R)，则 的最大值等于()A14
11、 B43C13 D1答案 B解析 以 O 为原点，OA、OC 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则由条件知，C(0,1)，A(1,0)，B(1,1)，D(3,0)，OP OC OD(3，)，设 P(x，y)，则x3，y，P 在BCD 内，x3y30，x2y30，y1.10，3230，1.作出可行域如图，作直线 l0：0，平移 l0 可知当移到经过点 A(1，13)时，取最大值43，故选 B第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上)13(文)(2015鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考)向量 a，b，c 在单位正
12、方形网格中的位置如图所示，则 a(bc)_.答案 3解析 如图建立平面直角坐标系，则 a(1,3)，b(3，1)(1,1)(2，2)，c(3,2)(5，1)(2,3)，bc(0,1)，a(bc)(1,3)(0,1)3.(理)(2015山西忻州四校联考)已知 m，n 是夹角为 120的单位向量，向量 atm(1t)n，若 na，则实数 t_.答案 23解析 m，n 是夹角为 120的单位向量，向量 atm(1t)n，na，nantm(1t)ntmn(1t)n2tcos1201t132t0，t23.14(2014三亚市一中月考)已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120，若向量 cab，且 ac，
13、则|a|b|的值为_答案 12解析 a，b120，ac，cab，aca(ab)|a|2ab|a|212|a|b|0，|a|b|12.15(文)(2015湖北教学合作十月联考)已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120，若(ab)(a2b)且|a|2，则 b 在 a 上的投影为_答案 3318解析 ab|a|b|cos120|b|，(ab)(a2b)，(ab)(a2b)0，2|b|2|b|40，|b|3314，所以 b 在 a 上的投影为ab|a|b|a|3318.(理)(2015合肥市两校联考)若，是一组基底，向量 xy(x，yR)，则称(x，y)为向量 在基底，下的坐标，现已知向量 a 在基
14、底 p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则 a 在另一组基底 m(1，1)，n(1,2)下的坐标为_答案(0,2)解析 a2p2q2(1，1)2(2,1)(2,4)，设 axmyn(yx，x2y)，则yx2，x2y4，x0，y2.16(文)(2015开封市二十二校大联考)已知向量OA(3，1)，OB(0,2)，若OC AB0，ACOB，则实数 的值为_答案 2解析 设OC(x，y)，OA(3，1)，OB(0,2)，AB(3,3)由向量的运算可知OC AB3x3y0，xy，AC(x3，y1)OB(0,2)，x30，y12，2.(理)(2015娄底市名校联考)如图，Ox、Oy 是平面内
15、相交成 120的两条数轴，e1，e2 分别是与 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP xe1ye2，则将有序实数对(x，y)叫做向量OP 在坐标系 xOy 中的坐标若OP(3,2)，则|OP|_.答案 7解析 由题意可得 e1e2cos12012.|OP|3e12e22 9|e1|24|e2|212e1e2 946 7.三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)(2015皖南八校联考)如图，AOB3，动点 A1，A2 与 B1，B2 分别在射线 OA，OB 上，且线段 A1A2 的长为 1，线段 B1B2 的长
16、为 2，点 M，N 分别是线段 A1B1，A2B2 的中点(1)用向量A1A2 与B1B2 表示向量MN；(2)求向量MN 的模解析(1)MN MA1 A1A2 A2N，MN MB1 B1B2 B2N，两式相加，并注意到点 M、N 分别是线段 A1B1、A2B2 的中点，得MN 12(A1A2 B1B2)(2)由已知可得向量A1A2 与B1B2 的模分别为 1 与 2，夹角为3，所以A1A2 B1B2 1，由MN 12(A1A2 B1B2)得，|MN|14A1A2 B1B2 212A1A2 2B1B2 22A1A2 B1B2 72.18(本小题满分 12 分)(文)(2014宝鸡市质检)在AB
17、C 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，q(2a,1)，p(2bc，cosC)且 qp.(1)求 sinA 的值；(2)求三角函数式2cos2C1tanC 1 的取值范围解析(1)q(2a,1)，p(2bc，cosC)且 qp，2bc2acosC由正弦定理得 2sinAcosC2sinBsinC，又 sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，12sinCcosAsinC，sinC0，cosA12，又0A，A3，sinA 32.(2)原式2cos2C1tanC 112cos2Csin2C1sinCcosC12cos2C2sinCcosCsin2Ccos2C2sin(2C4
18、)0C23，42C41312，22 sin(2C4)1，1 2sin(2C4)2，即三角函数式2cos2C1tanC 1 的取值范围为(1，2(理)(2014山东省德州市期中)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 OABC 是等腰梯形，A(6,0)，C(1，3)，点 M 满足OM 12OA，点 P 在线段 BC 上运动(包括端点)，如图(1)求OCM 的余弦值；(2)是否存在实数，使(OA OP)CM，若存在，求出满足条件的实数 的取值范围，若不存在，请说明理由解析(1)由题意可得OA(6,0)，OC(1，3)，OM 12OA(3,0)，CM(2，3)，CO(1，3)，cosOCMcosC
19、O，CM CO CM|CO|CM|714.(2)设 P(t，3)，其中 1t5，OP(t，3)，OA OP(6t，3)，CM(2，3)，若(OA OP)CM，则(OA OP)CM 0，即 122t30(2t3)12，若 t32，则 不存在，若 t32，则 122t3，t1，32)(32，5，故(，12127，)19(本小题满分 12 分)(2014河北冀州中学期中)在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 m(cos3A2，sin3A2)，n(cosA2，sinA2)，且满足|mn|3.(1)求角 A 的大小；(2)若|AC|AB|3|BC|，试判断ABC 的形状解析(1
20、)由|mn|3，得 m2n22mn3，即 112(cos3A2 cosA2sin3A2 sinA2)3，cosA12.0A，A3.(2)|AC|AB|3|BC|，sinBsinC 3sinA，sinBsin(23 B)3 32，即 32 sinB12cosB 32，sin(B6)32.0B23，6B60，f(x)的最小正周期为 4.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且满足(2ac)cosBbcosC，求函数f(A)的取值范围解析 f(x)3sinxcosxcos2x12 32 sin2x12cos2xsin(2x6)224，14，f(x)sin(x26)(1)由 2k2x262k2(kZ)得：4k43 x4k23(kZ)f(x)的单调递增区间是4k43，4k23(kZ)(2)由正弦定理得，(2sinAsinC)cosBsinBcosC，2sinAcosBsin(BC)，sin(BC)sin(A)sinA0，cosB12，0B，B3，0A23，6A262，f(A)(12，1)