1、第一章 空间几何体 13 空间几何体的表面积与体积132 球的体积和表面积登高揽胜 拓界展怀课前自主学习1记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积2能解决与球有关的组合体的计算问题学 习 目 标自主导学预习课本 P27P28，思考并完成以下问题知识点一|球的体积公式与表面积公式 1球的体积公式 V43R3(其中 R 为球的半径)2球的表面积公式 S4R2.小试身手1直径为 1 的球的体积是()A1 B.6 C.3 D解析：选 B R12，故 V43R343186.2表面积为 8 的球的半径是_解析：S4R28，故 R 2.答案：2知识点二|球体的截面的特点 1球既是中心对称的几何体，又
2、是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆2利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径小试身手3若球的过球心的圆面周长是 C，则这个球的表面积是()A.C24B.C22C.C2D2C2解析：选 C 由 2RC，得 R C2，S 球面4R2C2.4若一个球的直径是 10 cm，则它的体积为_ cm3.解析：由题意知其半径为 R102 5(cm)，故其体积为 V43R343535003(cm3)答案：5003 剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 球的表面积和体积【例 1】(1)已知球的表面积为 64，求它的体积；(2)已知球的体积为5
3、003 ，求它的表面积解(1)设球的半径为 R，则 4R264，解得 R4，所以球的体积 V43R343432563.(2)设球的半径为 R，则43R35003，解得 R5，所以球的表面积 S4R2452100.1已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积2已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.|方法总结|1若一个球的表面积是 16，则它的体积是()A64 B.643C32 D.323解析：选 D 设球的半径为 R，则由题意可知 4R216，故 R2.所以球的半径为 2，体积 V43R3323.2某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为 1
4、的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即12412123.答案：3题型二 球的截面问题【例 2】平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1.球心 O到平面 的距离为 2，则此球的体积为()A.6 B4 3C4 6 D6 3解析 如图，设截面圆的圆心为 O，M 为截面圆上任一点，则 OO 2，OM1.OM 221 3.即球的半径为 3.V43(3)34 3.答案 B有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.|方法总结|3(2019云南大理一中月考)在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都相切，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图
5、形是()解析：选 B 正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点题型三 与球有关的组合问题 考向 1 球的外切正方体问题【例3】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.43B.23C.32D.6解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是 V 球431343.答案 A考向 2 球的内接长方体问题【例 4】长方体共顶点的三个侧面面积分别为 3，5，15，则它的外接球表面积为_解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为 a，b，c，则ab 3，bc 5，ac 15，解得a
6、3，b1，c 5，外接球半径为 a2b2c2232，外接球表面积为 43229.答案 9考向 3 球的内接正四面体问题【例 5】若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R的球面上，求球的表面积解 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 a 2x，由题意 2R 3x 3 2a2 62 a，S 球4R264a232a2.|方法总结|1正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r1a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)2球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有 r2 2a2，如图(2)3长方体的外接球
7、长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为 r312a2b2c2，如图(3)4正方体的外接球正方体棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2R 3a.5正四面体的外接球正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R 62 a.4设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2B.73a2C.113 a2D5a2解析：选 B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a.如图，P 为三棱柱上底面的中心，
8、O 为球心，易知 AP23 32 a 33 a，OP12a，所以球的半径 ROA 满足 R233 a 212a 2 712a2，故 S 球4R273a2.5一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为_解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R 122232 14，所以球的表面积 S4R214.答案：146球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_解析：如图所示，设球半径为 r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2r22 3r2，高为3r2.该圆锥的体积为
9、133r223r2 38r3，球体积为43r3，该圆锥的体积和此球体积的比值为38r343r3 932.当圆锥顶点与底面在球心同侧时，高为r2，半径为 3r2，该圆锥的体积为133r22r28r3，比值为 332.答案：932或 332知识归纳 自我测评堂内归纳提升规律方法1一个直角三角形：球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法2两种位置关系：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图自测检评1直
10、径为 6 的球的表面积和体积分别是()A36，144 B36，36C144，36 D144，144解析：选 B 球的半径为 3，表面积 S43236，体积 V433336.2若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于()A.12B1C2 D3解析：选 D 设球的半径为 R，则 4R243R3，所以 R3.3一个正方体的八个顶点都在半径为 1 的球面上，则正方体的表面积为()A8 B8 2C8 3D4 2解析：选 A 球的半径为 1，且正方体内接于球，球的直径即为正方体的体对角线，即正方体的体对角线长为 2.不妨设正方体的棱长为 a，则有 3a24，即 a243.正方体的表面积为 S 表6a2
11、6438.4两个半径为 1 的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是_解析：设大球的半径为 R，则有43R324313，R32，R32.答案：325若球的半径由 R 增加为 2R，则这个球的体积变为原来的_倍，表面积变为原来的_倍解析：球的半径为 R 时，球的体积为 V143R3，表面积为S14R2，半径增加为 2R 后，球的体积为 V243(2R)3323 R3，表面积为 S24(2R)216R2.所以V2V1323 R343R3 8，S2S116R24R2 4，即体积变为原来的 8 倍，表面积变为原来的 4 倍答案：8 4word部分：请做：课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块