1、第三章 直线与方程 33 直线的交点坐标与距离公式333 点到直线的距离334 两条平行直线间的距离登高揽胜 拓界展怀课前自主学习1掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题2掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离学 习 目 标自主导学预习课本 P106P109，思考并完成以下问题知识点一|点到直线的距离 1概念：过一点向直线作垂线，则该点与 1 _之间的距离，就是该点到直线的距离2公式：点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d2 _.垂足|Ax0By0C|A2B2思考探究|辨别正误|1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)点 P(x0，y0)到与 x 轴
2、平行的直线 yb(b0)的距离 dy0b.()(2)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 xa(a0)的距离 d|x0a|.()2在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？提示 点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式知识点二|两平行直线间的距离 1概念：夹在两条平行直线间的 3 _的长度就是两条平行直线间的距离2公式：两条平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20 之间的距离 d 4 _.公垂线段|C1C2|A2B2思考探究|辨别正误|两条平行直线间的距离公式写成 d|C1C2|A2B2时对两条直线应有什么要求？提示 两条平行直线的方程都是一般式，并且 x，
3、y 的系数分别对应相等剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 点到直线的距离【例 1】求过点 P(1,2)且与点 A(2,3)，B(4，5)的距离相等的直线 l 的方程解 解法一：由题意知 kAB4，线段 AB 的中点为 C(3，1)，所以过点 P(1,2)与直线 AB 平行的直线方程为 y24(x1)，即 4xy60.此直线符合题意过点 P(1,2)与线段 AB 中点 C(3，1)的直线方程为 y212x131，即 3x2y70.此直线也符合题意故所求直线 l 的方程为 4xy60 或 3x2y70.解法二：显然所求直线的斜率存在，设直线方程为 ykxb，根据条件得2kb，|2k3b|k21|
4、4k5b|k21，化简得kb2，k4或kb2，3kb10，所以k4，b6或k32，b72.所以所求直线 l 的方程为y4x6 或 y32x72，即 4xy60 或 3x2y70.1求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式2当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合3几种特殊情况的点到直线的距离：(1)点P0(x0，y0)到直线ya的距离d|y0a|；(2)点P0(x0，y0)到直线xb的距离d|x0b|.|方法总结|1若点 P(3，a)到直线 x 3y40 的距离为 1，则实数a 的值为()A.3 B 33C 3
5、或 33D 33 或 3解析：选 D 由点到直线的距离公式得|3 3a4|21，解得 a 3或 a 33.2过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50解析：选 A 当所求直线 l 与线段 OA 垂直时，原点到直线的距离最大kOA2，kl12.所求直线方程为 y212(x1)即 x2y50.题型二 两平行线间的距离 考向 1 求两平行线间的距离【例 2】求两平行直线 l1：3x5y10 和 l2：6x10y50 间的距离解 由题意，将 l2 的方程化为 3x5y520，d15232523234 368 34.考向 2 由两平行直线间距离
6、求直线的方程【例 3】求与直线 l：5x12y60 平行且到 l 的距离为2 的直线方程解 设所求直线的方程为 5x12yC0，由两平行直线间的距离公式，得 2|C6|52122，解得 C32 或 C20，故所求直线的方程为 5x12y320 或 5x12y200.|方法总结|1针对这个类型的题目一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)利用两条平行直线间距离公式 d|C1C2|A2B2.2当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决(1)两直线都与 x 轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2，则 d|x2x
7、1|；(2)两直线都与 y 轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2，则 d|y2y1|.3若两平行直线 3x2y10,6xayc0 之间的距离为2 1313，则c2a 的值为()A1 B1C0 D1 或 1解析：选 D 由题意，得63 a2 c1，所以 a4，c2.所以直线 6xayc0 的方程可化为 3x2yc20.由两平行线间的距离公式，得c2113 2 1313，即c21 2，解得 c2或6，所以c2a 1 或 1，故选 D.4若直线 m 被平行直线 l1：xy10 与 l2：xy30所截得的线段的长为 2 2，则直线 m 的倾斜角可以是：15；30；45；60；75.其中正确答案的序号是
8、解析：两平行线间的距离 d|31|11 2，故 m 与 l1 或 l2的夹角为 30.又 l1，l2 的倾斜角为 45，直线 m 的倾斜角为 304575或 453015.答案：题型三 距离的综合应用【例 4】已知正方形的中心为直线 2xy20，xy10 的交点，正方形一边所在的直线 l 的方程为 x3y50，求正方形其他三边所在直线的方程解 设与直线 l：x3y50 平行的边所在的直线方程为l1：x3yc0(c5)由2xy20，xy10得正方形的中心坐标为 P(1,0)，由点 P 到两直线 l，l1 的距离相等，得|15|1232|1c|1232，得 c7 或 c5(舍去)l1：x3y70.
9、又正方形另两边所在直线与 l 垂直，设另两边所在直线的方程分别为 3xya0，3xyb0.正方形中心到四条边的距离相等，|3a|3212|15|1232，得 a9 或 a3，另两条边所在的直线方程分别为 3xy90，3xy30.另三边所在的直线方程分别为 3xy90，x3y70,3xy30.利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题.|方法总结|5已知 P，Q 分别是直线 3x4y50 与 6x8y50上的动点，则|P
10、Q|的最小值为()A3 B.32C.32D.3解析：选 B 由于所给的两条直线平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距离由两条平行直线间的距离公式，得 d|105|6282 32，即|PQ|的最小值为32.6若动点 A，B 分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy5 0 上，则 线 段 AB 的 中 点 M 到 原 点 的 距 离 的 最 小 值为解析：依题意，知 l1l2，故点 M 所在的直线平行于 l1 和 l2，可设点 M 所在直线的方程为 l：xym0(m7 且 m5)，根据平行线间的距离公式，得|m7|2|m5|2|m7|m5|m6，即 l：xy60，根据点到直线的距离公
11、式，得点 M到原点的距离的最小值为|6|2 3 2.答案：3 2知识归纳 自我测评堂内归纳提升规律方法1一个前提：应用点 P(x0，y0)到直线 AxByC0(A，B不同时为零)距离公式 d|Ax0By0C|A2B2的前提是直线方程为一般式特别地，当直线方程 A0 或 B0 时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解2两种方法：两条平行线间的距离处理方法有两种：一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的转化与化归思想二是直接套用公式 d|C1C2|A2B2，其中 l1：AxByC10，l2：AxByC20，需注意此时直线 l1 与 l2 的方程为一般式且x，y 的系数分别相同自测检评1直线
12、 x2y10 与直线 x2yC0 的距离为 2 5，则 C 的值为()A9 B11 或9C11 D9 或11解析：选 B 两平行线间的距离为 d|1C|12222 5，解得 C9 或 11.2若点(4，a)到直线 4x3y1 的距离不大于 3，则实数 a的取值范围是()A0,10B.13，313C(0,10)D(，010，)解析：选 A d|443a1|4232|153a|53，|3a15|15，153a1515,0a10.3若点 P 到直线 5x12y130 和直线 3x4y50 的距离相等，则点 P 的坐标应满足的方程是()A32x56y650 或 7x4y0Bx4y40 或 4x8y90
13、C7x4y0Dx4y40解析：选 A 设点 P(x，y)，则根据题意得|5x12y13|52122|3x4y5|3242，整理得 32x56y650 或 7x4y0.4分别过点 A(2,1)和点 B(3，5)的两条直线均垂直于 x轴，则这两条直线间的距离是解析：d|3(2)|5.答案：55与直线 l1：3x2y60 和直线 l2：6x4y30 等距离的直线方程是解析：l2：6x4y30 化为 3x2y320，所以 l1 与 l2平行，设与 l1，l2 等距离的直线 l 的方程为 3x2yc0，则|c6|c32，解得 c154，所以 l 的方程为 12x8y150.答案：12x8y150word部分：请做：课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块