1、第三章 直线与方程 31 直线的倾斜角与斜率311 倾斜角与斜率登高揽胜 拓界展怀课前自主学习1理解直线的倾斜角和斜率的概念2掌握求直线斜率的两种方法3了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素学 习 目 标自主导学预习课本 P82P85，思考并完成以下问题知识点一|直线的倾斜角 1直线倾斜角的定义当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 1 _作为基准，x 轴2 _与直线 l 3 _方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角x轴正向向上2直线倾斜角的取值范围直线的倾斜角 的取值范围是 4 _，并规定与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 5 _.01800思考探究|辨别正误|1只给出一个倾斜角能确
2、定一条直线吗？提示 不能倾斜角只能确定直线的方向，要确定直线还需知道直线上的一个点2当一条直线的倾斜角为 0时，这条直线一定与 x 轴平行吗？提示 不一定，也可能与 x 轴重合知识点二|直线的斜率 1直线斜率的定义一条直线的倾斜角 的 6 _叫做这条直线的斜率斜率常用小写字母 k 表示，即 k 7 _.正切值tan 2倾斜角 与斜率 k 的关系直线情况平行于 x 轴由左向右上升垂直于x 轴由左向右下降 的大小00909090180k 的范围0k0不存在k0k 的增减性随 增大而增大随 增大而增大小试身手1已知一条直线的倾斜角 45，则该直线的斜率等于()A.22 B 22C1 D1解析：选 C
3、 ktan tan 451.2 一 条 直 线 的 斜 率 等 于33，则 此 直 线 的 倾 斜 角 等于解析：ktan 33，又 0180，故 30.答案：30知识点三|直线斜率的坐标公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式是k 8 _.y2y1x2x1思考探究|辨别正误|在同一直线(与x轴不重合)上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗？提示 相等对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 直线的倾斜角【例 1】设直线 l 过原点，其倾斜角为
4、，将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45，得到直线 l1，则直线 l1 的倾斜角为()A45 B135C135D45或 135解析 由倾斜角的取值范围知，只有当045180(0180)，即 0135时，l1 的倾斜角才是 45.而 0180，所以当 135180时，l1 的倾斜角为 135(如图)答案 D求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90.注意直线倾斜角的取值范围是0180.|方法总结|1给出下列命题：任何一条直线都有唯一的倾斜角；一条直线的倾斜角可以
5、为30；倾斜角为 0的直线只有一条，即 x 轴；按照倾斜角的概念，直线的倾斜角 的集合|0180与直线集合建立了一一映射其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析：选 A序号 正误理由任何一条直线都有唯一的倾斜角，故正确倾斜角 的取值范围是 0180，故错误所有与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角都是0，故错误倾斜角相同的直线有无数条，不是一一映射，故错误2.已知直线 l 经过第二、四象限，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是()A090 B90180C90180 D0180解析：选 C 直线倾斜角的取值范围是 0180，又直线 l 经过第二、四象限，所以直线 l 的倾斜角 的取值范围是
6、90180.题型二 直线的斜率【例 2】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(2,3)，D(2，1)；(3)P(3,1)，Q(3,10)解(1)存在直线 AB 的斜率 kAB53421，即 tan 1，又 0180，所以倾斜角 45.(2)存在直线 CD 的斜率 kCD 13221，即 tan 1，又 0180，所以倾斜角 135.(3)不存在因为 xPxQ3，所以直线 PQ 的斜率不存在，倾斜角 90.|方法总结|(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与 x 轴垂直，
7、因为当直线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的；斜率公式与两点 P1，P2 的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1 与 x2，y1 与 y2 可以同时交换位置(2)在 0180范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角 0304560120135150斜率 k03313 31 333直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为()A.23B.32C23D32解析：选 C 斜率 k023023.4已知坐标平面内ABC 的三个顶点的坐标分别是A(1,1)，B(1,1)，C(1，1)，求直线 AB，BC，AC 的斜率解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等k
8、AB11110，kAC 11111.B，C 两点的横坐标相等，直线 BC 的斜率不存在题型三 直线的倾斜角、斜率的应用 考向 1 三点共线问题【例 3】如果 A2m，52，B(4，1)，C(4，m)三点在同一条直线上，试确定常数 m 的值解 由于 A，B，C 三点所在直线不可能垂直于 x 轴，因此可设直线 AB，BC 的斜率分别为 kAB，kBC.由斜率公式，得 kAB5212m474m8.kBC1m44 m18.点 A，B，C 在同一条直线上，kABkBC.74m8m18，即 m23m120，解得 m13 572，m23 572.m 的值是3 572或3 572.考向 2 数形结合法求倾斜角
9、或斜率范围【例 4】直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0，3)为端点的线段总有公共点，求直线 l 的斜率和倾斜角的范围解 如图所示kAP10211，kBP 3001 3，k(，3 1，)，45120.|方法总结|用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于 x 轴当任意两点的连线垂直于 x 轴，且过同一点时，三点共线否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可求倾斜角或斜率的策略(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 ktan(90)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)求解(3)涉
10、及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.5斜率为 2 的直线经过点 A(3,5)，B(a,7)，C(1，b)三点，则 a，b 的值分别为()A4,0 B4，3C4，3 D4,3解析：选 C 由题意，得kAC2，kAB2，即 b5132，75a32.解得 a4，b3.6已知直线 l 过 P(2，1)，且与以 A(4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围解：根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线 PA 的斜率 kPA32，直线 PB 的斜率 kPB43，结合图形可知当直线 l 由 PB 变化到与 y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到 90，故斜率的取值
11、范围为43，当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时，它的倾斜角由 90增大到 PA 的倾斜角，故斜率的变化范围是，32.综上可知，直线 l 的斜率的取值范围是，32 43，.7已知 A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)(1)求直线 AB 和 AC 的斜率；(2)当点 D 在线段 BC(包括端点)上移动时，求直线 AD 的斜率的变化范围解：(1)由斜率公式，得直线 AB 的斜率 kAB 234317；直线 AC 的斜率 kAC2303 53.故直线 AB 的斜率为17，直线 AC 的斜率为53.(2)如图，当点 D 由点 B 运动到点 C 时，直线 AD 的斜率由 kAB 增
12、大到 kAC，所以直线 AD 的斜率的变化范围是17，53.知识归纳 自我测评堂内归纳提升规律方法1一个联系直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况 的大小009090900不存在k0k 的增减情况k 随 的增大而增大k 随 的增大而增大2.两点注意运用两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率 ky2y1x2x1应注意的问题：(1)斜率公式与 P1，P2 两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即 x2x1，y2y1 中 x2 与 y2 对应，x1 与 y1 对应)(2)运用斜率公式的前提条件是“x1x2”，也就是直线不与x 轴垂直，而当
13、直线与 x 轴垂直时，直线的倾斜角为 90，斜率不存在自测检评1关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是()A任一直线都有倾斜角，都存在斜率B倾斜角为 135的直线的斜率为 1C若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 ktan D直线斜率的取值范围是(，)解析：选 D 任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为 90时，斜率不存在所以 A、C 错误；倾斜角为 135的直线的斜率为1，所以 B 错误；只有 D 正确2已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于 1，则实数 m 的值是()A5 B8C.132D7解析：选 C 由斜率公式可得8mm51，解之得 m132.3直线 l 经过原点和(1,1)，则
14、它的倾斜角为解析：kl 10101，因此倾斜角为 135.答案：1354已知三点 A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)在同一条直线上，则实数 a 的值为解析：A，B，C 三点共线，kABkBC，即 53a9a75，a2 或29.答案：2 或295已知 A(m，m3)，B(2，m1)，C(1,4)，直线 AC的斜率等于直线 BC 的斜率的 3 倍，求实数 m 的值解：由题意直线 AC 的斜率存在，即 m1.kACm34m1，kBCm1421.m34m13m1421.整理得：m1(m5)(m1)，即(m1)(m4)0，m4 或 m1(舍去)m4.word部分：请做：课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块