1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。74三角函数应用1函数yA sin (x)(A0，0)中，A、的物理意义(1)A、的物理意义：简谐运动的振幅就是A；简谐运动的周期T；简谐运动的频率f；x称为相位；x0时的相位称为初相位(2)本质：A、有各自的物理意义，各自决定了函数性质中的一部分2解三角函数应用题的基本步骤(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论1函数ysin 的周期、振幅、初相位分别是()A3， B6，C3，3， D6，3，【解析】选B.
2、ysin 的周期T6，振幅为，初相位为.2最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式可能是()Aysin Bysin Cysin Dysin 【解析】选D.因为T，所以3，又因为A，故ysin .3在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s15sin ，s210cos 2t确定，则当ts时，s1与s2的大小关系是()As1s2 Bs1s2Cs1s2 D不能确定【解析】选C.当t时，s15sin 5sin 5，当t时，s210cos 105，故s1s2.4如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要_s往返
3、一次【解析】观察图象可知此简谐运动的周期T0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次答案：0.85某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)2sin ，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是_m.【解析】当t12时，f(12)2sin 2sin 1.答案：16某人的血压满足函数式f(t)24sin 160t110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为_【解析】因为f(t)24sin 160t110，所以T，f80，所以此人每分钟心跳的次数为80.答案：807(2021淮安高一检测)已知弹簧上挂着的小球做
4、上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin ，t0，).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？【解析】列表如下，t2t02sin 01010s04040描点、连线，图象如图所示(1)将t0代入s4sin ，得s4sin 2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm.(3)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s一、选择题1(2021北京
5、高一检测)音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为ysin t.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为()A200B400C200D400【解析】选D.由图象可得，0，T4，即，则400.2已知简谐运动f(x)2sin (x)(|)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相位分别为()AT6，BT6，CT6，DT6，【解析】选A.由题意知T6.由f(x)的图象过点(0，1)知sin ，因为|，所以.3电流强度I
6、(A)随时间t(s)变化的函数IA sin (t)的图象如图所示，则t为s时的电流强度为()A0 A B5 AC10 A D10 A【解析】选A.由图象知A10，T2，所以100.因为图象过，所以1010sin ，即sin 1且0，所以，故.所以I10sin ，当t时，I10sin 10sin 60(A).4已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为()Aysin ，t0Bysin ，t0Cycos ，t0Dycos ，t0【解析】选A.由题意，知圆心角POP0的弧度数为t1t，则P
7、Ox的弧度数为t，则由任意角的三角函数的定义，知点P的纵坐标ysin ，t0.5稳定房价是我国近几年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响某市某房地产中介对本市一楼盘对今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y500sin (x)9 500(0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x123y10 0009 500？则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()A10 000元 B9 500元C9 000元 D8 500元【解析】选C.因为y500sin (x)9 500(0)，所以当x1时，500sin
8、 ()9 50010 000；当x2时，500sin (2)9 5009 500，所以可取，可取，即y500sin 9 500.当x3时，y9 000.6如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图象大致是()【解析】选C.令AP所对圆心角为，由|OA|1，得l，sin ，所以d2sin 2sin .即df(l)2sin (0l2)，它的图象为C.7(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是()A该质点的运动周期为0.8 sB该质点的振幅为5 cmC该质点在0.1 s和0.5 s时运
9、动速度最大D该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零【解析】选ABD.由题图可知，0.70.30.4，所以T0.8 s；最小值为5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0.8(多选)某时钟的秒针端点A到时钟的中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转当时间t0时，点A与钟面上标“12”的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d_，其中t0，60.()A10sinB10cosC10cos D10sin【解析】选AC.依题作出图形，如图：因为AOB2，所以经过t s，秒针转了t rad, 连接AB，过点O作ODAB于点D，A
10、ODAOB，在RtAOD中，得sin ，所以d10sin 或d10cos 10cos ，其中t0，60.二、填空题9振动量函数ysin (x)(0)的初相和频率分别为和，则它的运动周期为_，相位是_【解析】因为频率f，所以T，所以3，所以相位x3x.答案：3x10国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：PA sin 60(t(天)，P(美元)，A0，0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t150天时达到最低油价，则的最小值为_.【解析】因为A sin 6080，1sin 1，所以A20，当t150天时达到最低油价，即sin 1，此时1502k，kZ，因为0，所以当k1时，取最小值，所以15
11、0，解得.答案：三、解答题11如图所示，某动物种群数量1月1日最少，值为700，7月1日最多，值为900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式(其中t以年初以来的月为计量单位，如t1表示2月1日)(2)估计当年3月1日动物种群数量【解析】(1)设种群数量y关于t的解析式为yA sin (t)b(A0，0，|)，则解得A100，b800.又周期T2(60)12，所以，所以y100sin 800.又当t6时，y900，所以900100sin 800，所以sin ()1，所以sin 1，因为|，所以，所以y100sin 800.(2)当t2时，y100sin
12、800750，即当年3月1日动物种群数量约是750.12如图一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上的点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)求点P第一次到达最高点需要多长时间？【解析】(1)如图，建立直角坐标系，设角是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为，又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m，所以z4sin 2.当t0时，z0，得sin ，即.故所求的函数表达式为z4sin 2.(2)令z4sin 26，得sin 1.取t，得t4.故点P第一次到达最高点需要
13、4 s一、选择题1如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系yA sin (x)2，则有()A，A3 B，A3C，A5 D，A5【解析】选A.由题目可知最大值为5，所以5A12A3.T15，则.2函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是()Af(x)xsin xBf(x)Cf(x)x cos xDf(x)x【解析】选C.观察图象知函数为奇函数，排除D项；又函数在x0处有意义，排除B项；取x，f0，A项不合适3由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈
14、值与检验标准(GB/T195222010)于2011年7月1日正式实施车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，喝一瓶啤酒的情况且图表示的函数模型f则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 52.71，ln 303.40)()车辆驾车人员血液酒精含量阈值驾驶行为类型阈值(mg/100 mL)饮酒后驾车20，80醉酒后驾车80A.5 B6 C7 D8【解析】选B.由图知，当0x2.由90e0.5x1420，得e0.5x，两边取自然对数得0.5xln ，即0
15、.5x5.42，所以，喝啤酒需6个小时后才可以合法驾车4(多选)在一次气象调查中，发现某城市的温度y(单位：)的波动近似遵循规律y256sin t，其中t(单位：h)是从某日9：00开始计算(即9：00时，t0)，且t24.下列说法正确的是()A15：00时，出现最高温度，且最高温度为31 B凌晨3：00时，出现最低温度，且最低温度为19 C温度为28 时的时刻为11：00D温度为22 时的时刻为清晨7：00【解析】选AB.当t，即t6，即15：00时，ymax31()，则A正确；当t，即t18，即凌晨3：00时，ymin19()，则B正确；由256sin t28，得sin t，则t或t，解得
16、t2或t10，即对应的时刻为11：00和19：00，则C错误；由256sin t22，得sin t，则t或t，解得t14或t22，即对应的时刻为23：00和清晨7：00，则D错误二、填空题5已知函数y2sin (x)在一个周期内，当x时有最大值2，当x时有最小值2，则_，_【解析】由题意知，T2，所以2；又因为当x时有最大值2.f2sin 2sin 2，所以2k，kZ，且|，所以.答案：26海滨浴场某区域的水深y(米)与时间t(时)的数据如下表：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0用yA sin tb刻画水深与时间的对应
17、关系，则此函数解析式为_【解析】函数yA sin tb在一个周期内由最大变到最小需936(h)，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12 h，因此12，.又因为当t0时，y10；当t3时，ymax13，所以b10，A13103，所以所求函数的解析式为y3sin t10(0t24).答案：y3sin t10(0t24)7已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h40sin (t)50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续_min.【解析】依题意，即40sin
18、 5070，即cos t，从而在一个周期内持续的时间为t，4t8，即持续时间为4 min.答案：48如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x_来截【解析】设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则，又aGCCFb sin xb cos x，所以sin xcos x，所以sin .因为0x，x，所以x或，x或.答案：或三、解答题9已知弹簧挂着的小球上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h3sin .(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第
19、一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标【解析】(1)令t0，得h3sin ，所以开始振动的位置为.(2)由题意知，当h3时，t的最小值为，即所求最高点为；当h3时，t的最小值为，即所求最低点为.10为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：各年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；2月份入
20、住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备不少于400份的食物？【解析】(1)设该函数为f(x)A sin (x)B(A0，0，0|)，根据条件，可知这个函数的周期是12；由可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)f(2)400，故该函数的振幅为200；由可知，f(x)在上单调递增，且f(2)100，所以f(8)500.根据上述分析可得，12，故，且解得根据分析可知，当x2时，f(x)最小，当x8时，f(x)最大，故sin 1，且sin 1.又因为0|0)的最小正周期为，将yf
21、(x)的图象向左平移|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是()A B C D【解析】选D.由函数f(x)sin (xR，0)的最小正周期为T，可得2，所以f(x)sin ，将yf(x)的图象向左平移|个单位长度得ysin 的图象，因为平移后图象关于y轴对称，所以2|k(kZ)，所以|(kZ)，k1.4如图所示，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是()Ah8cos t10Bh8cos t10Ch8sin t10Dh8cos t10【解析】选D.
22、由题意可得hmax18，hmin2，T12，所以A8，B10，h8sin 10，当t0时，8sin 102，得sin 1，可取，所以h8sin 108cos t10.5关于函数f(x)，给出下列三个结论：函数f(x)的最小值是1；函数f(x)的最大值是；函数f(x)在区间上是增函数其中正确的是()A BC D【解析】选D.如图所示，在同一坐标系中画出y|sin x|与y|cos x|的图象，得出y的图象，由图可知，函数的最小值为1，最大值为，在上为增函数故全正确6某港口某天0时至24时的水深y(米)随时间x(时)变化曲线近似满足如下函数模型：y0.5sin 3.24(0)，若该港口在该天0时至
23、24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为()A16时 B17时C18时 D19时【解析】选D.由题意可知，当x0时，y0.5sin 3.243.49，由五点法作图可知：如果当x16时，函数取得最小值可得：16，可得，此时函数y0.5sin 3.24，函数的周期为：T14，该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足如果当x19时，函数取得最小值可得：19，可得，此时函数y0.5sin 3.24，函数的周期为：T，当x24时，y0.5sin 3.243，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有2个时刻水深为3米，不满足7(多选)已知函数f(x)2s
24、in (2x)(0)，若将函数f(x)的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则下列结论中正确的是()AB是f(x)图象的一个对称中心Cf()2Dx是f(x)图象的一条对称轴【解析】选ABD.f(x)2sin (2x)向右平移个单位，得y2sin 2sin (2x)，因为y2sin 的图象关于y轴对称，所以k，kZ，所以k，kZ.又0，所以k0，.因为f(x)2sin ，所以f0.f()f2，f2.8(多选)已知函数y，则以下结论正确的是()A函数的最小正周期为B函数为偶函数C函数图象的一条对称轴为直线xD函数在上为减函数【解析】选AC.该函数的最小正周期T，A正确；因为f(x)，因此它是非奇非偶
25、函数，B错误；直线x是函数图象的一条对称轴，C正确；函数ysin 在上是减函数，但y在上是增函数，D错误9(多选)某学生对函数f(x)x sin x进行研究后，得出如下结论，其中正确的是()A函数f(x)是偶函数B函数f(x)在上单调递增C存在常数M0，使|f(x)|M|x|对切实数x都成立D点(，0)是函数yf(x)图象的一个对称中心【解析】选AC.对于A，函数f(x)x sin (x)f(x)，易知f(x)是偶函数，A正确对于B，由于f(x)是偶函数，因此f(x)x sin x在上不可能单调递增，B错；对于C，取M1，|x sin x|x|恒成立，说明结论是正确的；对于D，f，f，ff.故
26、点(，0)不是函数yf(x)图象的一个对称中心，D错二、填空题(每小题5分，共15分)10已知函数ysin xcos x，其图象的对称轴中距离y轴最近的一条对称轴方程为x_，函数最大值为_【解析】ysin xcos xsin (x)，令xk，kZ，解得xk，kZ，即函数的对称轴方程为xk，kZ，所以当k1时，其图象的对称轴中距离y轴最近的一条对称轴方程为x.答案：11已知f(x)sin 2，则f(x)的增区间是_；若方程f(x)m10在x上有解，实数m的取值范围是_.【解析】ysin 的减区间，即为f(x)的增区间，令2k2x2k，求得kxk，所以函数f(x)的增区间为，kZ.若方程f(x)m
27、10在x上有解，则函数f(x)的图象和直线ym1在x上有交点因为x，所以2x，sin ，f(x)，故m1，所以m.答案：(kZ)12如图，游乐场所的摩天轮匀速旋转，每转一周需要12 min，其中心O离地面45米，半径40米如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请问：当你第六次距离地面65米时，用了_分钟【解析】设时间为t，t0，根据题意：40sin 4565，故sin .故t2k或t2k，故t12k4或t12k8，kZ.故t14，t28，t316，t420，t528，t632.答案：32三、解答题(每小题10分，共40分)13如图，是函
28、数yA sin (x)k(A0，0)的一段图象(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数的图象是如何通过ysin x的图象变换得来的？【解析】(1)由图象知A，k1，T2，所以2.所以ysin (2x)1.当x时，2，所以.所以所求函数的解析式为ysin 1.(2)把ysin x的图象向左平移个单位长度，得到ysin 的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到ysin 的图象，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到ysin (2x)的图象，最后把函数ysin 的图象向下平移1个单位长度，得到ysin 1的图象14天津海河永乐桥上的摩天轮被誉为“天津之眼”，是世界上唯一一座建在桥上
29、的摩天轮如图所示，该摩天轮直径为110米，最高点距离地面120米，相当于40层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了48个透明座舱，每个座舱最多可坐8人，整个摩天轮可同时供380余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要30分钟(1)某游客自最低点处登上摩天轮，请问5分钟后他距离地面的高度是多少？(2)若甲乙两游客分别坐在A，B两个座舱里，且他们之间间隔15个座舱，求A，B两个座舱的直线距离；(3)若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果【解析】(1)设摩天轮转动t分钟(0t30)时游客的高度为h，摩天轮旋转一
30、周需要30分钟，所以座舱每分钟旋转角的大小为，由题意可得，h55sin 65，当t5时，h55sin 6537.5，所以游客5分钟后距离地面的高度是37.5米(2)由题意可知AOB16，在AOB中，AB255sin 110.(3)由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果，应满足55sin 6592.5，化简得sin ，因为0t30，所以t，所以t，解得10t20，所以摩天轮旋转一周能有10分钟最佳视觉效果15把函数f(x)2sin x的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，函数yg(x)的图象关于直线x对称，记函数h(x)f(x)g(x).(1)求函数yh(x)的最小正周期和单调增区间；(
31、2)画出函数yh(x)在区间上的大致图象【解析】(1)把函数f(x)2sin x的图象向左平移个单位，得到函数g(x)2sin (x)的图象根据yg(x)的图象关于直线x对称，得m(mZ)，即m(mZ)，又0，所以，则g(x)2sin .则h(x)f(x)g(x)4sin xsin 4sin x2sin2x2sinx cos x1cos 2xsin 2x2sin 1，则函数yh(x)的最小正周期T，令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故函数yh(x)的单调增区间是(kZ).(2)在区间上，2x列表如下： 2x0xh(x) 2 11 1 3 2故yh(x)在区间上的大致图象是：16如图，半
32、圆O的直径AB2，点C在AB的延长线上，BC1，点P为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角PCD，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设PAC.(1)把线段PC的长表示为的函数；(2)求四边形ACDP的面积的最大值【解析】(1)依题意知APB是以APB为直角的直角三角形又AB2，PAB，所以PA2cos ，在PAC中，AC3，PAC，由余弦定理得：PC2PA2AC22PAACcos 4cos2912cos298cos2.所以PC，定义域为；(2)设四边形ACDP的面积为S.则SSAPCSPCDPAACsinPC 22cos 3sin (98cos2)sin2(54cos 2)sin 22cos 2sin (2)，其中cos ，sin ，所以当sin (2)1时，S取得最大值为5.关闭Word文档返回原板块