1、2.5.2向量在物理中的应用举例课时过关能力提升基础巩固1.一艘船从点A出发,以23 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为()A.1 km/hB.2 km/hC.2 km/hD.22 km/h解析:设河流的速度为x km/h,河流的速度方向与河岸平行,则x2+(23)2=42,解得x=2.答案:C2.两个质点M,N的位移分别为sM=(4,-3),sN=(-5,-12),则sM在sN方向上的投影为()A.(-1,-15)B.(-20,36)C.1613D.165解析:sMsN=4(-5)+(-3)(-12)=16,|sM|=5,|sN|=
2、13,则sM在sN方向上的投影为sMsN|sN|=1613.答案:C3.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为()A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)解析:F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力F的终点为P(x,y),则OP=OA+F=(1,1)+(8,0)=(9,1).答案:A4.已知向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行3 km”,则向量a+b表示()A.向东北方向航行2 kmB.向北偏东30方向航行2 kmC.向北偏东60
3、方向航行2 kmD.向东北方向航行(1+3) km解析:a与b的夹角为90,则ab=0,则|a+b|=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=|a|2+|b|2=1+3=2,a(a+b)=|a|2+ab=1.设a与a+b的夹角为,则cos =a(a+b)|a|a+b|=112=12,=60,即a+b表示向北偏东30方向航行2 km.答案:B5.一条河宽为800 m,一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为min.解析:v实际=v船+v水=v1+v2,|v1|=20 km/h,|v2|=12 km/h,|v实际|=|v1|2-|v
4、2|2=202-122=16(km/h).所需时间t=0.816=0.05(h)=3(min).该船到达B处所需的时间为3 min.答案:36.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m,且F与s的夹角为60,则力F所做的功W= J.解析:W可以看成向量F与向量s的数量积,则W=Fs=|F|s|cos 60=610012=300(J).答案:3007.用两条成120夹角的等长的绳子悬挂一个灯箱,如图,已知灯箱的重为10 N,则每根绳子的拉力大小为 . 解析:结合图形,由向量加法的平行四边形法则,又绳子等长,故平行四边形为菱形,知拉力大小为10 N.答案:10 N8.
5、点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P0的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为.解析:由题意知,P0P=5v=(20,-15),设点P的坐标为(x,y),则x+10=20,y-10=-15,解得点P的坐标为(10,-5).答案:(10,-5)9.如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为,绳子所受到的拉力为F1. 求:(1)|F1|,|F2|随角的变化而变化的情况;(2)当|F1|2|G|时,角的取值范围.解:(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得-G=F1
6、+F2,|F1|=|G|cos,|F2|=|G|tan ,当从0趋向于90时,|F1|,|F2|都逐渐增大.(2)令|F1|=|G|cos,由|F1|2|G|得cos 12.又因为090,所以060.能力提升1.速度|v1|=10 m/s,|v2|=12 m/s,且v1与v2的夹角为60,则v1与v2的合速度的大小是()A.2 m/sB.10 m/sC.12 m/sD.291 m/s解析:|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1v2+|v2|2=100+21012cos 60+144=364.|v|=291(m/s).答案:D2.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:N)的作用
7、而处于平衡状态.已知F1,F2成60角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为()A.27B.25C.2D.6解析:F1+F2+F3=0,F3=-F1-F2,|F3|=|-F1-F2|=(F1+F2)2=|F1|2+2F1F2+|F2|2=4+224cos60+16=27.答案:A3.一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45方向移动了8 m.已知|F1|=2 N,方向为北偏东30,|F2|=4 N,方向为北偏东60,|F3|=6 N,方向为北偏西30,则这三个力的合力所做的功为()A.24 JB.242 JC.243 JD.246 J解析:如图,建立直角坐标系,
8、则F1=(1,3),F2=(23,2),F3=(-3,33),则F=F1+F2+F3=(23-2,2+43).又位移s=(42,42),故合力F所做的功为W=Fs=(23-2)42+(2+43)42=4263=246(J),故选D.答案:D4.河水的流速为2 m/s,一艘小船以10 m/s的速度沿垂直于对岸的方向行驶,则小船在静水中的速度大小为m/s.解析:设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则v=v1+v2,|v1|=2 m/s,|v|=10 m/s.所以|v2|=|v-v1|=v2-2vv1+v12=100-0+4=104=226(m/s).答案:2265.已知
9、向量e1=(1,0),e2=(0,1).今有动点P,从P0(1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度大小为|e1+e2|;另一动点Q,从Q0(-2,-1)开始沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度大小为|3e1+2e2|.设P,Q在时刻t=0时分别在P0,Q0处,则当PQP0Q0时,t=.解析:P0Q0=(-3,-3),设经过t后PQP0Q0,此时点P的坐标为(1+t,2+t),点Q的坐标为(3t-2,2t-1),所以PQ=(2t-3,t-3).因为PQP0Q0,所以-3(2t-3)+(-3)(t-3)=0,所以t=2.答案:26.已知两恒力F1=(3,4
10、),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:(1)F1,F2分别对质点所做的功;(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.解:AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)F1对质点所做的功F1AB=(3,4)(-13,-15)=3(-13)+4(-15)=-99,F2对质点所做的功F2AB=(6,-5)(-13,-15)=6(-13)+(-5)(-15)=-3.(2)合力F对质点所做的功FAB=(F1+F2)AB=(3,4)+(6,-5)(-13,-15)=(9,-1)(-13,-15)=9(-13)+(-1)(-15)=-117+1
11、5=-102.7.在风速为75(6-2)km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.解:设向量a表示风速,b表示无风时飞机的航行速度,c表示有风时飞机的航行速度,则c=a+b.如图,作向量OA=a,OB=b,OC=c,则四边形OACB为平行四边形.过C,B分别作OA的垂线,交AO的延长线于D,E点.由已知得,|OA|=75(6-2),|OC|=150,COD=45.在RtCOD中,OD=OCcos 45=752,CD=752.又ED=BC=OA=75(6-2),OE=OD+ED=756.又BE=CD=752,在RtOEB中,OB=OE2+BE2=1502,sinBOE=BEOB=12,|OB|=1502,BOE=30.故没有风时飞机的航速为1502 km/h,航向为西偏北30.5