1、2016-2017学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A=x|x2x60，B=x|3x1，则AB等于（）A2，1）B（2，1C3，3）D（3，32一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是（）ABCD3如图的三视图所对应的立体图形可以是（）ABCD4若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A2B3C4D5“x1”是“ln（x+1）0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充
2、要条件D既不充分也不必要条件6已知f（x）和g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）g（x）=2x3+x2+3，则f（2）+g（2）等于（）A9B7C7D97如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，其中0，1，则的取值范围是（）A0，3B1，4C2，5D1，78设函数，则函数f（x）的最大值和最小值分别为（）A13和11B8和6C1和3D3和1二、填空题已知复数z=12i，那么复数的虚部是10已知函数，f（x）为f（x）的导函数，则f（2）的值为11阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出T的值为12直线y=kx+3（k0）与圆
3、（x3）2+（y2）2=4相交于A、B两点，若，则k的值为13已知ab0，那么a2+的最小值为14已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（13分）在ABC中，若a=2，b+c=7，（1）求b的值；（2）求ABC的面积16（13分）某单位生产A、B两种产品，需要资金和场地，生产每吨A种产品和生产每吨B种产品所需资金和场地的数据如表所示：资源产品资金（万元）场地（平方米）A2100B3550现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A种产品可获利润3万元；生产每吨B种产品可获利润2万元，分
4、别用x，y表示计划生产A、B两种产品的吨数（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问A、B两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润17（13分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，AB=3，AC=AA1=4，BC=5（1）求证：ABA1C；（2）求证：A1B平面ADC1；（3）求直三棱柱ABCA1B1C1的体积18（13分）设数列an满足条件a1=1，an+1=an+32n1（1）求数列an的通项公式；（2）若=n，求数列bn的前n项和Sn19（14分）已知椭圆E：（ab0）经过点A（2，3），离心率（1）求椭圆E的方程；（
5、2）若F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆E的另一个交点为B，C为椭圆E上的一点，当ABC的面积最大时，求C点的坐标20（14分）已知函数（aR且a0）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（2，f（2）处的切线方程；（2）当a0时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；（3）当x2a，2a+2时，不等式|f（x）|3a恒成立，求a的取值范围2016-2017学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A=x|x2x60，B=x|3x1，则AB等于（）A2，1）B
6、（2，1C3，3）D（3，3【考点】并集及其运算【分析】首先求出集合A，然后找出两集合的并集即可【解答】解：集合A=x|x2x60=x|2x3，B=x|3x1，因此AB=3，3）故选：C【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数n=，这2个球中至少有1个是红球的对立事件是这2个球都不是红球，由此能求出这2个球中至少有1个是红球的概率【解答】解：一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各
7、2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，基本事件总数n=，这2个球中至少有1个是红球的对立事件是这2个球都不是红球，这2个球中至少有1个是红球的概率是p=1=1=故选：D【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用3如图的三视图所对应的立体图形可以是（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】如图所示，由三视图可知：该几何题为四棱锥，其中侧面PBC底面ABCD，PB=PC，底面为正方形即可得出【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何题为四棱锥，其中侧面PBC底面ABCD，PB=PC，底面为正方形故选：A【点评】本题考查了四棱锥的三视
8、图与空间位置关系，考查了推理能力，属于基础题4若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A2B3C4D【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，即可求出p【解答】解：双曲线的左焦点（2，0）在抛物线y2=2px的准线x=上，可得2=，解得p=4故选：C【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基础题5“x1”是“ln（x+1）0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的
9、定义进行判断即可【解答】解：由ln（x+1）0得0x+11，得1x0，则“x1”是“ln（x+1）0”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键6已知f（x）和g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）g（x）=2x3+x2+3，则f（2）+g（2）等于（）A9B7C7D9【考点】抽象函数及其应用；函数的值【分析】根据已知，结合函数奇偶性的定义，可求出g（x）=x23，f（x）=2x3，将x=2代入可得答案【解答】解：f（x）和g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）g（x）=2x3+x2+3，f（x）g（x）
10、=f（x）g（x）=2x3+x2+3，故g（x）=x23，f（x）=2x3，故f（2）+g（2）=43+16=9，故选：D【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，函数的奇偶性，难度中档7如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，其中0，1，则的取值范围是（）A0，3B1，4C2，5D1，7【考点】平面向量数量积的运算【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，），0，1，=+=+=M（2+，），即M（2+
11、，）；=+（）=（，）+（1）（2，0）=（2，），即 N（2，）所以=（2+，）（2，）=22+5=（+1）2+6因为0，1，二次函数的对称轴为：=1，故当0，1时，22+52，5故选：C【点评】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题8设函数，则函数f（x）的最大值和最小值分别为（）A13和11B8和6C1和3D3和1【考点】三角函数的最值【分析】利用辅助角公式诱导公式和两角和余差的基本公式将函数化为y=Asin（x+）的形式，利用三角函数的有界限求最大值和最小值【解答】解：函数=4cossinxcox+4sinsin2x+2
12、cos2x=sin2x+1cos2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+11sin（2x+）11f（x）3故函数f（x）的最大值和最小值分别：3：和1故选：D【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键属于基础题二、填空题（2016秋和平区期末）已知复数z=12i，那么复数的虚部是【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】把复数z=12i代入，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简，则答案可求【解答】解：由z=12i，则，复数的虚部是故答案为：【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算
13、，考查了复数的基本概念，是基础题10已知函数，f（x）为f（x）的导函数，则f（2）的值为【考点】导数的运算【分析】求函数的导数，即可得到结论【解答】解： =1+lnx函数的导数f（x）=+，则f（2）=+=故答案为：【点评】本题主要考查导数的计算，比较基础11阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出T的值为120【考点】程序框图【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量T的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：第1次执行循环体后，T=1，不满足退出循环的条件，故k=3； 第2次执行循环体后，T=4，不满足退出循环的条件，故k=7； 第3次执行循环体后，T=11，不
14、满足退出循环的条件，故k=15； 第4次执行循环体后，T=26，不满足退出循环的条件，故k=31； 第5次执行循环体后，T=57，不满足退出循环的条件，故k=63； 第6次执行循环体后，T=120，满足退出循环的条件，故输出的T值为：120，故答案为：120【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答12直线y=kx+3（k0）与圆（x3）2+（y2）2=4相交于A、B两点，若，则k的值为0或【考点】圆方程的综合应用；与直线关于点、直线对称的直线方程；直线与圆的位置关系【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长，解此方程求出k的取值即
15、可【解答】解：圆（x3）2+（y2）2=4圆心坐标（3，2），半径为2，因为直线y=kx+3与圆（x3）2+（y2）2=4相交于A、B两点，由弦长公式得，圆心到直线的距离等于1，即=1，8k（k+）=0，解得k=0或k=，故答案为：0或【点评】本题考查圆心到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用考查计算能力13已知ab0，那么a2+的最小值为4【考点】基本不等式【分析】先利用基本不等式求得b（ab）范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案【解答】解：因为 ab0，所以，当且仅当，即时取等号那么 的最小值是4，故答案为：4【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用解题的时候
16、注意两次基本不等式等号成立的条件要同时成立14已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=有三个交点，数形结合可得答案【解答】解：函数的图象如下图所示：若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=有三个交点，当直线y=经过原点时，m=0，由y=x2+2x的导数y=2x+2=得：x=，当直线y=与y=x2+2x相切时，切点坐标为：（，），当直线y=经过（，）时，m=，故m，故答案为：【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，
17、难度中档三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（13分）（2016秋和平区期末）在ABC中，若a=2，b+c=7，（1）求b的值；（2）求ABC的面积【考点】余弦定理【分析】（1）由已知运用余弦定理整理可得15b=60，即可解得b的值（2）结合范围B（0，），由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1）由已知条件a=2，c=7b，运用余弦定理，可得：cosB=，整理可得：b7=5314b，即：15b=60，解得：b=4（2）B（0，），而a=2，c=7b=3，由ABC的面积公式，得【点评】本
18、题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16（13分）（2016秋和平区期末）某单位生产A、B两种产品，需要资金和场地，生产每吨A种产品和生产每吨B种产品所需资金和场地的数据如表所示：资源产品资金（万元）场地（平方米）A2100B3550现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A种产品可获利润3万元；生产每吨B种产品可获利润2万元，分别用x，y表示计划生产A、B两种产品的吨数（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问A、B两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利
19、润【考点】简单线性规划的应用【分析】（1）利用已知条件直接列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）写出目标函数，利用线性规划的知识，求解目标函数的最值即可【解答】解：（1）由已知，x，y满足的数学关系式为：即该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图的阴影部分：（2）设利润为z万元，则目标函数为z=3x+2y将其变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大因为x，y满足约束条件，所以当直线z=3x+2y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大，解方程组得点M的坐标（3，2），zmax=33+22=13答：生产A种产品3吨、B种产品2
20、吨时，利润最大为13万元【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力17（13分）（2016秋和平区期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，AB=3，AC=AA1=4，BC=5（1）求证：ABA1C；（2）求证：A1B平面ADC1；（3）求直三棱柱ABCA1B1C1的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【分析】（1）在ABC中，由已知结合勾股定理可得ABAC再由三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，可得ABAA1，然后由线面垂直的判定可得AB平面AA1C，进一步得到ABA1C；（2）设A1C与AC1
21、交于E点，连接ED由三角形中位线定理可得A1BED，由线面平行的判定可得A1B平面ADC1；（3）求出ABC的面积，直接由棱柱的体积公式求解【解答】（1）证明：在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AB2+AC2=BC2，ABAC三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，AA1平面ABC，AB平面ABC，ABAA1，ACAA1=A，AB平面AA1C，A1C平面AA1C，ABA1C；（2）证明：设A1C与AC1交于E点，连接ED在A1BC中，D为BC的中点，E为A1C的中点，A1BED，ED平面ADC1，A1B平面ADC1，A1B平面ADC1；（3）解：ABC的面积，直三棱柱ABCA1B1C1的高
22、h=4，直三棱柱ABCA1B1C1的体积V=Sh=64=24【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了柱、锥、台体体积的求法，是中档题18（13分）（2016秋和平区期末）设数列an满足条件a1=1，an+1=an+32n1（1）求数列an的通项公式；（2）若=n，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）利用数列的递推关系式，累加求和，求解通项公式即可（2）求出数列的通项公式，然后求解数列的和即可【解答】解：（1）a1=1，an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=1+320+321+32n2=（n2），当n=1时，321
23、12=1式子也成立，数列an的通项公式（2）解：，即：，Sn=b1+b2+b3+bn=3（120+221+322+n2n1）（2+4+6+2n）设，则，得，=3（n1）2nn（n+1）+3【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力19（14分）（2016秋和平区期末）已知椭圆E：（ab0）经过点A（2，3），离心率（1）求椭圆E的方程；（2）若F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆E的另一个交点为B，C为椭圆E上的一点，当ABC的面积最大时，求C点的坐标【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b即可得到椭
24、圆方程（2）求出焦点坐标，得到直线AF1的方程，直线AF2的方程，设P（x，y）为直线l上任意一点，利用，求出直线l的方程为2xy1=0设过C点且平行于l的直线为2xy+m=0，联立直线与椭圆方程的方程组，求出m然后求解C点的坐标【解答】解：（1）由椭圆E经过点A（2，3），离心率，可得解得椭圆E的方程为（2）由（1）可知F1（2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为，即3x4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆E上的位置易知直线l的斜率为正数设P（x，y）为直线l上任意一点，则，解得2xy1=0或x+2y8=0（斜率为负数，舍去）直线l的方程为2xy1=0设过C点且平行于
25、l的直线为2xy+m=0，由整理得19x2+16mx+4（m212）=0，由=（16m）24194（m212）=0，解得m2=76，因为m为直线2xy+m=0在y轴上的截距，依题意，m0，故解得x=，y=C点的坐标为【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力20（14分）（2016秋和平区期末）已知函数（aR且a0）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（2，f（2）处的切线方程；（2）当a0时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；（3）当x2a，2a+2时，不等式|f（x）|3a恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数
26、的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（2），f（2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（3）求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出f（x）的最小值和最大值，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x24x3，f（2）=4+83=1，即所求切线方程为3x3y+8=0（2）f（x）=x2+4ax3a2=（xa）（x3a）当a0时，由f（x）0，得ax3a；由f（x）0，得xa或x3a函数y=f（x）的单调递增区间为（a，3a），单调递减区间为（，a）和（3a，+），f（3a）=0，当a0时，函数y=f（x）的极大值为0，极小值为（3）f（x）=x2+4ax3a2=（x2a）2+a2，f（x）在区间2a，2a+2上单调递减，当x=2a时，当x=2a+2时，不等式|f（x）|3a恒成立，解得1a3，故a的取值范围是1，3【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题
