1、北京市西城区2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合A=0，1，集合B=x|xa，若AB=，则实数a的范围是( )Aa1Ba1Ca0Da02复数z满足zi=3i，则在复平面内，复数z对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3在极坐标系中，曲线=2cos是( )A过极点的直线B半径为2 的圆C关于极点对称的图形D关于极轴对称的图形4执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为( )A4B5C6D75设函数f（x）的定义域为R，则“xR，f（x+1）f（x）”是“函数
2、f（x）为增函数”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是( )ABCD77已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( )A2枝玫瑰的价格高B3枝康乃馨的价格高C价格相同D不确定8已知抛物线y=和y=x2+5所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A（0，a），若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a的取值范围是( )A（1，3）B（2，4）C（，3）D（，4）二、填空题：本大题共6小题，每
3、小题5分，共30分.9已知平面向量，满足=（1，1），（+）（），那么|=_10已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为_11在ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，cosB=，b=2，则a=_12若数列an满足a1=2，且对于任意的m，nN*，都有am+n=am+an，则a3=_；数列an前10项的和S10=_13某种产品的加工需要 A，B，C，D，E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺
4、序有_种（用数字作答）14如图，四面体 ABCD的一条棱长为 x，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是_；最大值为_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15设函数f（x）=4cosxsin（x）+，xR（）当x0，时，求函数 f （x）的值域；（）已知函数 y=f （x）的图象与直线 y=1有交点，求相邻两个交点间的最短距离162014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价具体如下表（不考虑公交卡折扣情况）乘公共汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公
5、里（含）乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元6公里至12公里（含）4元12公里至22公里（含）5元22公里至32公里（含）6元32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示（）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学
6、期望；（）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围（只需写出结论）17如图，在五面体ABCDEF中，四边形 ABCD是边长为4的正方形，EFAD，平面ADEF平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点（1）证明：AG平面ABCD（2）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG 的长（3）判断线段AC上是否存在一点M，使MG平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由18设nN*，函数f（x）=，函数g（x）=，x（0，+），（1）当n=1
7、时，写出函数y=f（x）1零点个数，并说明理由；（2）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）分别位于直线l：y=1的两侧，求n的所有可能取值19设F1，F2分别为椭圆=1（ab0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆E上，且点P和F1关于点C（0，）对称（1）求椭圆E的方程；（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由20已知点列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），Pk（xk，yk） （kN*，k2）满足P1（1，1），与（i=2，3，4k）中有
8、且只有一个成立（1）写出满足k=4且P4（1，1）的所有点列；（2）证明：对于任意给定的k（kN*，k2），不存在点列T，使得+=2k；（3）当k=2n1且P2n1（n，n）（nN*，n2）时，求 的最大值北京市西城区2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合A=0，1，集合B=x|xa，若AB=，则实数a的范围是( )Aa1Ba1Ca0Da0考点：交集及其运算 专题：集合分析：由AB=，可知集合B中最小元素要大于等于集合A中最大元素，即得答案解答：解：集合A=0，1，集合B=x|xa，且AB=，集
9、合B中最小元素要大于等于集合A中最大元素，从而a1，故选：B点评：本题考查集合的运算，弄清交集的定义是解决本题的关键，属基础题2复数z满足zi=3i，则在复平面内，复数z对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案解答：解：由zi=3i，得，复数z对应的点的坐标为（1，3），位于第三象限故选：C点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3在极坐标系中，曲线=2cos是( )A过极点的直线B半径为2 的圆C关于极点对称的图形D关于极轴对称的图形
10、考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：曲线=2cos化为2=2cos，可得（x1）2+y2=1，即可得出解答：解：曲线=2cos化为2=2cos，x2+y2=2x，配方为（x1）2+y2=1，因此表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆，关于极轴对称故选：D点评：本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为( )A4B5C6D7考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，n的值，当x=243时，满足条件x100，退出循环，输出n
11、的值为5解答：解：模拟执行程序框图，可得x=3，n=1不满足条件x100，x=9，n=2不满足条件x100，x=27，n=3不满足条件x100，x=81，n=4不满足条件x100，x=243，n=5满足条件x100，退出循环，输出n的值为5故选：B点评：本题主要考察了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的x，n的值是解题的关键，属于基本知识的考查5设函数f（x）的定义域为R，则“xR，f（x+1）f（x）”是“函数f（x）为增函数”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据函数单调性
12、的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：若函数f（x）为增函数，则f（x+1）f（x）成立，若f（x）=x，满足xR，f（x+1）f（x）”，则函数f（x）为增函数不成立，即“xR，f（x+1）f（x）”是“函数f（x）为增函数”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的定义是解决本题的关键6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是( )ABCD7考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该
13、几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，正方体的棱长为2，故体积为：222=8，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：111=，故几何体的体积V=8=，故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状7已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( )A2枝玫瑰的价格高B3枝康乃馨的价格高C价格相同D不确定考点：不等式比较大小 专题：不等式的解法及应用分析：设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x，y元，由题意可得：，化为，设2x3y=m
14、（2x+y）+n（xy）=（2mn）x+（mn）y，令，解得m，n，即可得出解答：解：设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x，y元，由题意可得：，化为，设2x3y=m（2x+y）+n（xy）=（2mn）x+（mn）y，令，解得m=5，n=8，2x3y=5（2x+y）+8（xy）5858=0，因此2x3y，2枝玫瑰的价格高故选：A点评：本题考查了不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8已知抛物线y=和y=x2+5所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A（0，a），若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a的取值范围是( )A（1，3）B（2，4）C（，3）D（，4
15、）考点：定积分在求面积中的应用 专题：函数的性质及应用分析：由图可知过两曲线的交点的直线与x轴的交点为（0，4），所以a4当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为（x1，），则其对称点为（x1，2a），将其代入曲线y=x2+5，得到的关于x1的方程的解有且只有两个，由根的判别式大于0得，从而可得结果解答：解：显然，过点A与x轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点A对称，且这两个点在同一曲线上当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为（x1，y1），其中，且4x14，则其关于点A的对称点为（x1，2ay1），所以这个点在曲线y=x2+5上，所以2ay1=x12+5，即2a=x12+5，所以
16、2a=x12+5，即x12+52a=0，此方程的x1的解有且只有两个，从而，解得当=x2+5，即点A（0，4）时，此时只有一对满足题意的关于A点的对称点，故a4，所以，故选：D点评：本题考查点的对称性、一元二次方程根的判别式，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9已知平面向量，满足=（1，1），（+）（），那么|=考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：利用向量垂直，数量积为0，得到两个向量的模相等；向量的模等于坐标平方和的算术平方根解答：解：因为（+）（），所以（+）（）=0，所以=0，所以|=|=；故答案为：点评：本题考查了向量垂直的性质以及向量模的求
17、法，属于基础题10已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线的标准方程y2=8x，可得焦点为（2，0）进而得到c=2再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2得到a=1，再利用b2=c2a2可得b2进而得到双曲线的方程解答：解：由抛物线y2=8x，可得其焦点为（2，0）由题意双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，c=2又双曲线的离心率为2，=2，得到a=1，b2=c2a2=3双曲线的方程为故答案为：点评：本题考查双曲线的性质与方程，考查抛物线的性质，熟练掌握双
18、曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键11在ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，cosB=，b=2，则a=考点：正弦定理 专题：解三角形分析：cosB=，B（0，），可得sinB=再利用正弦定理可得：，即可得出解答：解：cosB=，B（0，），sinB=由正弦定理可得：，=故答案为：点评：本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12若数列an满足a1=2，且对于任意的m，nN*，都有am+n=am+an，则a3=6；数列an前10项的和S10=110考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：对于任意的m，nN*
19、，都有am+n=am+an，取m=1，则an+1an=a1=2，可得数列an是等差数列，首项为2，公差为2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出解答：解：对于任意的m，nN*，都有am+n=am+an，取m=1，则an+1an=a1=2，数列an是等差数列，首项为2，公差为2，an=22（n1）=2na3=6，数列an前10项的和S10=110故答案分别为：6；110点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13某种产品的加工需要 A，B，C，D，E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，
20、但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有24种（用数字作答）考点：计数原理的应用 专题：应用题；排列组合分析：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，结合A必须在D的前面完成，可得结论解答：解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有482=24种，故答案为：24点评：本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础14如图，四面体 ABCD的一条棱长为 x，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是，；最大值为考点：棱柱
21、、棱锥、棱台的体积 专题：导数的综合应用；空间位置关系与距离分析：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1取AD的中点O，连接OB，OC，则OBAD，OCAD，OB=OC=又OBOC=O，则AD平面OBC取BC的中点E，连接OE，则OEBC，可得OE，可得F（x）=（0x）利用导数研究其单调性即可得出解答：解：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1取AD的中点O，连接OB，OC，则OBAD，OCAD，OB=OC=又OBOC=O，则AD平面OBC，取BC的中点E，连接OE，则OEBC，OE=SOBC=F（x）=1=（0x）F（x）=，令F（x）0，解得，此时函数F（
22、x）单调递增；令F（x）0，解得，此时函数F（x）单调递减法因此当x=时，F（x）取得最大值，=故答案分别为：，点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三棱锥的体积计算公式、线面垂直的判定定理、勾股定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15设函数f（x）=4cosxsin（x）+，xR（）当x0，时，求函数 f （x）的值域；（）已知函数 y=f （x）的图象与直线 y=1有交点，求相邻两个交点间的最短距离考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分
23、析：（）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x），由x0，和三角函数的性质可得值域；（）由题意可得sin（2x）=，可得2x=2k+或2x=2k+，解方程可得x的值，可得答案解答：解：（）化简可得f（x）=4cosxsin（x）+=4cosx（sinxcosx）+=2sinxcosx2cos2x+=sin2xcos2x=2sin（2x），x0，2x，sin（2x），1，f（x）=2sin（2x），2，函数 f （x）的值域为，2；（）由题意可得2sin（2x）=1，sin（2x）=，2x=2k+或2x=2k+，解得x=k+或x=k+，kZ相邻两个交点间的最短距离为点评：本题考查三角函数
24、恒等变换，涉及三角函数的值域，属中档题162014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价具体如下表（不考虑公交卡折扣情况）乘公共汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元6公里至12公里（含）4元12公里至22公里（含）5元22公里至32公里（含）6元32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示（）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在
25、陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围（只需写出结论）考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（）根据统计图求出对应的人数和频率即可得到结论（）求出随机变量以及对应的概率，即
26、可得到结论（）根据条件直接写出结论解答：解：（）设事件A：“此人乘坐地铁的票价小于5 元”，由统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的人数分别为60，40，20人，所以票价小于5的有60+40=100人，故此人乘坐地铁的票价小于5 元的频率为=则乘坐地铁的票价小于5 元的概率P（A）=；（）X的可能值为6，7，8，9，10统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的频率分别为=，=，=，以频率当概率，则P（X=6）=，P（X=7）=，P（X=8）=，P（X=9）=，P（X=10）=，则X的分布列为： X6 7 8 9 10 P则EX=6+7=（）s（20，22点评：本题主要考查概率
27、和统计的综合应用，以及离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的运算能力17如图，在五面体ABCDEF中，四边形 ABCD是边长为4的正方形，EFAD，平面ADEF平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点（1）证明：AG平面ABCD（2）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG 的长（3）判断线段AC上是否存在一点M，使MG平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）直接利用面面垂直的性质定理得到线面垂直（2）利用题中的已知条件建立空间直角坐标系，求出平面
28、的法向量，进一步以相面的夹角为突破口求出AG的长（3）首先假设存在点，进一步利用线面平行建立等量关系，利用法向量求出点的存在解答：证明：（1）因为：AE=AF，点G是EF的中点，所以：AGEF，又因为：EFAD，所以：AGAD，由平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，AG平面ADEF，所以：AG平面ABCD（2）解：由（1）得：AG平面ABCD所以：AG、AD、AB两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz，四边形ABCD是边长为4的正方形，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点所以：A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），设AG=t（t0），则：
29、E（0，1，t），F（0，1，t），所以：，设平面ACE的法向量为：，由，解得：，所以：，直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，所以：=解得：t2=1或，所以：AG=1，或AG=，（3）解：假设线段AC上存在一点M，使MG平面ABF，设，则：，由，得：，设AG=t（t0），则：，所以：=（4，4，t），设平面ABF的法向量为：，解得：，由于：MG平面ABF，所以：，即：4t+t=0，解得：，所以：，此时，即当时，MG平面ABF点评：本题考查的知识要点：面面垂直的性质定理空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，利用向量的共线证明线面平行，存在性问题的应用主要考查学生的空间想象能力及问题的
30、应用能力18设nN*，函数f（x）=，函数g（x）=，x（0，+），（1）当n=1时，写出函数y=f（x）1零点个数，并说明理由；（2）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）分别位于直线l：y=1的两侧，求n的所有可能取值考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，且求出f（x）的定义域，分别令导函数大（小）于0列出关于x的不等式，求解即得函数的递增（减）区间，由最大值小于零及函数的图象可知函数不存在零点；（2）同（1）分别求出函数f（x）的最大值与g（x）的最小值，根据题意，只需曲线在直线l：y=1的下方，而曲线在直线l：y=1的
31、上方即可解答：（1）证明：结论：函数y=f（x）1不存在零点当n=1时， f（x）=，求导得，令f（x）=0，解得x=e当x变化时，f（x）与f（x）的变化如下表所示： x （0，e）e （e，+） f（x）+0 f（x） 所以函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减则当x=e时，函数f（x）有最大值f（e）=，所以函数y=f（e）1的最大值为f（e）1=，所以函数y=f（x）1不存在零点；（2）解：由函数求导，得，令f（x）=0，解得当x变化时，f（x）与f（x）的变化如下表所示：x（0，）（，+）f（x）+0 f（x） 所以函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单
32、调递减，则当x=时，函数f（x）有最大值；由函数g（x）=，x（0，+）求导，得，令g（x）=0，解得x=n，当x变化时，g（x）与g（x）的变化如下表所示：x（0，n）n（n，+）g（x）0 +g（x） 所以函数g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+）上单调递增，则当x=n时，函数g（x）有最小值g（n）=，因为对任意的nN*，函数f（x）有最大值，所以曲线在直线l：y=1的下方，而曲线在直线l：y=1的上方，所以，解得ne，又nN*，所以n的取值集合为：1，2点评：此题考查学生会根据导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的最值，掌握函数零点的判断方法，是一道综合题1
33、9设F1，F2分别为椭圆=1（ab0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆E上，且点P和F1关于点C（0，）对称（1）求椭圆E的方程；（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）先求F1（1，0），再根据椭圆定义求得a、b即可；（2）设直线l的方程为y=k（x1）、直线PQ的方程为y=k（x1），分别与椭圆方程联立，消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），由韦达定理及
34、PB与AQ的中点重合，可解得，从而直线l方程为3x4y3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分解答：解：（1）点P（1，）和F1关于点C（0，）对称，F1（1，0），椭圆E的焦点为F1（1，0），F2（1，0），由椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=4，从而a=2，b=，故椭圆E的方程为；（2）结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分理由如下：由题可知直线l、直线PQ的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x1）、直线PQ的方程为y=k（x1），由 消去y，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，根据题意可知0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可知x1+x2
35、=，x1x2=，由 消去y，得（3+4k2）x2（8k212k）x+4k212k3=0，由0，可知，设Q（x3，y3），又P（1，），则1+x3=，1x3=，若四边形PABQ的对角线互相平分，则有PB与AQ的中点重合，所以，即x1x2=1x3，故，所以（）24=（1）2，解得，从而直线l方程为3x4y3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法，联立方程组后利用韦达定理是解题的关键20已知点列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），Pk（xk，yk） （kN*，k2）满足P1（1，1），与（i=2，3，4k）中有且
36、只有一个成立（1）写出满足k=4且P4（1，1）的所有点列；（2）证明：对于任意给定的k（kN*，k2），不存在点列T，使得+=2k；（3）当k=2n1且P2n1（n，n）（nN*，n2）时，求 的最大值考点：数列的函数特性 专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）由新数列的定义，列举即可得到；（2）首先判断数列xi+yi是公差为1的等差数列，再假设存在点列T，使得+=2k，即k（k+3）=2k，推出矛盾即可得证；（3）化简整理，可令t=x1+x2+x2n1，则=t（n+1）（2n1）t，考虑f（t）=t（n+1）（2n1）t，当n为奇数时，可得（n+1）（2n1）为正
37、整数，当n为偶数时，可得（n+1）（2n1）不为正整数，（n+1）（2n1）是离其最近的正整数，构造数列，即可得到结论解答：解：（1）符合条件的点列T为：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，2），P4（3，2），或P1（1，1），P2（2，1），P3（2，2），P4（3，2），或P1（1，1），P2（2，1），P3（3，1），P4（3，2）；（2）证明：由已知xi+yi=xi1+yi1+1，则数列xi+yi是公差为1的等差数列，由x1+y1=2，可得xi+yi=i+1（i=1，2，k），+=（xi+yi）=2+3+（k+1）=k（k+3），若存在点列T，使得+=2k，即k（k+3）=2k
38、，即k（k+3）=2k+1，由k和k+3一个为奇数，一个为偶数，且k2，而整数2k+1不含大于1的奇因子，故对于任意给定的k（kN*， k2），不存在点列T，使得+=2k；（3）由已知yi=i+1xi（i=1，2，2n1），=（x1+x2+x2n1）（2x1+3x2+2nx2n1）=（x1+x2+x2n1）（2+3+2n）（x1+x2+x2n1），令t=x1+x2+x2n1，则=t（n+1）（2n1）t，考虑f（t）=t（n+1）（2n1）t，当n为奇数时，可得（n+1）（2n1）为正整数，构造数列xi：1，2，（n+1），（n1），（n1）+1，n，对应数列yi：1，1，1，2，n，n而此时
39、x1+x2+x2n1，=1+2+n+（n+1）+（n+1）+（n+1）=1+2+n+（n+1）（n1）=n（n+1）（2n1），所以t=（n+1）（2n1）， 的最大值为（n+1）2（2n1）2；当n为偶数时，可得（n+1）（2n1）不为正整数，（n+1）（2n1）是离其最近的正整数，构造数列xi：1，2，n，n，n+1，n+2，n，对应数列yi：1，1，1，2，n+1，n+1，n+2，n+n，n而此时x1+x2+x2n1，=1+2+n+n+n+n+1+n+1=（n+1）（2n1），所以t=（n+1）（2n1）， 的最大值为（n+1）2（2n1）2点评：本题考查递推数列的求和，同时考查考查等差数列的求和公式，理解新数列和分类讨论的思想方法是解题的关键，属于难题