1、天津市和平区2016年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1已知集合A=x|xa|1，B=x|1x4，则AB=B，则实数a的取值范围是（）A2，3B（2，3）C0，5D（0，5）2设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）AB5CD123阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的S值是（）ABCD4已知a，b，cR，则“a0且b24ac0”是“xR，都有ax2+bx+c0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5如图，圆O的直径AB与弦CD交于点E，且E为OA
2、的中点，若OA=2，BCD=30，则线段CE的长为（）A1BCD6己知双曲线=1（a0，b0）离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则ab的值为（）ABCD7若方程x2+（1k）x2（k+1）=0的一个根在区间（2，3）内，则实数k的取值范围是（）AC8已知函数f（x）=，若函数g（x）=xa，其中aR，若函数y=f（x）g（x）恰有3个零点，则实数a的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（1，）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9复数z满足条件：z3i=，其中i是虚数单位，则z=10一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm311
3、曲线y=cosx（x）与x轴所围成的封闭图形的面积等于12已知（）8的展开式中x项的系数为14，则a的值为13在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，A=，B=，则c的值为14如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E在边BC上，点F在边CD上，若=， =2，则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知f（x）=sin（2x）（）求f（x）的单调递减区间；（）若（，），f（+）=cos（+）cos2，求sincos的值16盒子中共有8个球，其中4个红球，3个绿球，1个黄球，这些球除颜色外其他完全相同（）从盒子中
4、一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；（）从盒子中一次随机抽取3个球，每取得1个红球记1分，取得1个绿球记2分，取得1个黄球记3分，设X为取出3个球所得的分数之和，求X的分布列和数学期望17如图，在三棱锥SABC中，SC平面ABC，SC=3，ACBC，CE=2EB=2，AC=，CD=ED（）求证：DE平面SCD；（）求二面角ASDC的余弦值；（）求点A到平面SCD的距离18若数列an满足a1=1，an+1an=2n1（）求an的通项公式；（）若数列bn满足b1=3，bn+1bn=2n+3，且cn=，求数列cn的通项公及前n项和Tn19已知函数f（x）=（x2+mx）ex（其中e为自
5、然对数的底数）（）当m=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（）若函数f（x）在区间1，3上单调递减，求m的取值范围；（）是否存在实数m，使得f（x）为R上的单调函数？请说明理由20设椭圆C： +=1（ab0）的右焦点为F，过F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为，|AF|=2|FB|（）求椭圆C的离心率；（）若|AF|=，求椭圆C的方程；（）在（）的条件下，D为椭圆C上一点，当ABD面积取得最大值时，求D点的坐标2016年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1已知
6、集合A=x|xa|1，B=x|1x4，则AB=B，则实数a的取值范围是（）A2，3B（2，3）C0，5D（0，5）【分析】解不等式求出集合A，结合AB=B，可得AB，进而得到实数a的取值范围【解答】解：集合A=x|xa|1=（a1，a+1），B=x|1x4=（1，4），若AB=B，则AB，则a11，且a+14，解得：a2，3，故选：A【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，集合的并集运算，绝对值不等式的解法，难度中档2设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）AB5CD12【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合图象得到直线过A时z的值最大，代入求出即可【
7、解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（，），由z=2x+y得：y=2x+z，显然直线过A时z的值最大，z的最大值是z=2+=，故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题3阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的S值是（）ABCD【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后：S=1，不满足退出循环的条件，c=2，a=1，b=2，第二次执行循环体后：S=，不满足退出循环的条件，c=3，a=2，b=3，第三次执行循环体后：S
8、=，不满足退出循环的条件，c=5，a=3，b=5，第四次执行循环体后：S=，不满足退出循环的条件，c=8，a=5，b=8，第五次执行循环体后：S=，满足退出循环的条件，故输出的S值为：，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答4已知a，b，cR，则“a0且b24ac0”是“xR，都有ax2+bx+c0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据一元二次不等式解法及充要条件的定义【解答】解：“a0且b24ac0”能推出“xR，都有ax2+bx+c0”，但是“xR，都有ax2+bx+c0”，则a0，b
9、24ac0，故“a0且b24ac0”是“xR，都有ax2+bx+c0”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题通过与一元二次不等式ax2+bx+c0情况考查充分条件、必要条件的含义5如图，圆O的直径AB与弦CD交于点E，且E为OA的中点，若OA=2，BCD=30，则线段CE的长为（）A1BCD【分析】由正弦定理可得，CE=6sinB，AC=4sinB，ACE中，由余弦定理求出sinB，即可求出线段CE的长【解答】解：连接AC，AB是圆O的直径，ACB=90，BCD=30，ACE=60由正弦定理可得，CE=6sinB，AC=4sinB，ACE中，由余弦定理可得1=（4sinB）2+（6sinB）2
10、24sinB6sinB，sinB=，CE=6sinB=故选：D【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确求出sinB是解题的关键所在6己知双曲线=1（a0，b0）离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则ab的值为（）ABCD【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（1，0），从而得出双曲线的右焦点为F（1，0），利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值，即可得出结论【解答】解：抛物线方程为y2=4x，2p=4，得抛物线的焦点为（1，0）双曲线的一个焦点与抛物y2=4x的焦点重合，双曲线的右焦点为F（1，0）双曲线=1（a0，b0）离心率
11、为2，a=，b=，ab=故选：D【点评】本题给出抛物线的焦点为双曲线右焦点，求双曲线的方程着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题7若方程x2+（1k）x2（k+1）=0的一个根在区间（2，3）内，则实数k的取值范围是（）AC【分析】若方程x2+（1k）x2（k+1）=0有两相等的实根，则x=2，不在区间（2，3）内，令f（x）=x2+（1k）x2（k+1），若方程x2+（1k）x2（k+1）=0有两不相等的实根，且一个根在区间（2，3）内，则f（2）f（3）0，进而得到答案【解答】解：若方程x2+（1k）x2（k+1）=0有两相等的实根，则=（1k）2+8（k+1）
12、=0，解得：k=3，此时x=2，不在区间（2，3）内，令f（x）=x2+（1k）x2（k+1），若方程x2+（1k）x2（k+1）=0有两不相等的实根，且一个根在区间（2，3）内，则f（2）f（3）0，即（44k）（105k）0，解得：k（1，2），故选：D【点评】本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系，函数的零点与对应方程根的关系，难度中档8已知函数f（x）=，若函数g（x）=xa，其中aR，若函数y=f（x）g（x）恰有3个零点，则实数a的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（1，）【分析】由y=f（x）g（x）=0得f（x）=g（x），作出两个函数f（x）和g（x）
13、的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由y=f（x）g（x）=0得f（x）=g（x），作出两个函数f（x）和g（x）的图象，则A（1，），当g（x）经过点A时，f（x）与g（x）有2个交点，此时g（1）=a=，此时a=1，当g（x）与f（x）在x1相切时，此时f（x）与g（x）有2个交点由x2+4x=xa，即x2x+a=0，由判别式=0得（）24（a）=0，得a=，要使f（x）与g（x）有3个交点，则g（x）位于这两条线之间，则a满足a（，1），故选：B【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的交点问题，利用数形结合作出两个函数的图象是解决本题的关键综合性较强二、填空
14、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9复数z满足条件：z3i=，其中i是虚数单位，则z=2+2i【分析】根据复数的定义与运算法则，进行化简、计算即可【解答】解：复数z满足条件：z3i=，i是虚数单位，则z=3i+=3i+=3i+（2i）=2+2i故答案为：2+2i【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目10一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3【分析】该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆台，下面是一个圆柱利用体积计算公式即可得出【解答】解：该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆台，下面是一个圆柱该几何体的体积=222+（22+21+12）2=cm3
15、故答案为：【点评】本题考查了三视图的有关计算、圆柱与圆台的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11曲线y=cosx（x）与x轴所围成的封闭图形的面积等于2【分析】为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解积分的上下限分别为区间的两个端点，cosx即为被积函数【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为：S=cosxdx=sinx=1（1）=2，所以围成的封闭图形的面积是2故答案为：2【点评】本小题主要考查定积分的简单应用、导数的应用、定积等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题12已知（）8的展开式中x项的系数为14，则a的值为2
16、【分析】（）8的展开式的通项公式Tr+1=（a）rx4r，令4r=1，解得r=3可得T4=x，利用已知即可得出【解答】解：（）8的展开式的通项公式Tr+1=（a）rx4r，令4r=1，解得r=3T4=x（）8的展开式中x项的系数为14，=14，解得a=2故答案为：2【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，A=，B=，则c的值为【分析】根据正弦定理以及两角和差的正弦公式进行求解即可【解答】解：在ABC中，A=，B=，a=2由正弦定理得，即c=2cos+2=2+2=，故答案为：【点评】本题主要考查解
17、三角形的应用，根据正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键14如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E在边BC上，点F在边CD上，若=， =2，则的最大值为【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），设E（，n），F（m，2），运用向量共线的坐标表示，解得m，n，再由向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值的求法，即可得到最大值【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），设E（，n），F（m，2
18、），由=，可得m=，即F（，2），由=2，可得n=222，即E（，222），则=（，2）（，22）=2（1）42=62+2=6（）2+，当=时，则取得最大值故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的最值的求法，注意运用坐标法，考查二次函数的最值的求法，以及化简运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知f（x）=sin（2x）（）求f（x）的单调递减区间；（）若（，），f（+）=cos（+）cos2，求sincos的值【分析】（）由条件利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递减区间（）由题意可得sin+cos=0 或（cossin
19、）2=，再根据（，），可得=或cossin=，由此求得sincos的值【解答】解：（）对于f（x）=sin（2x），令2k+2x2k+，求得k+xk+，可得f（x）的单调递减区间为k+，k+，kZ（）若（，），f（+）=cos（+）cos2，则sin（+）=cos（+）cos2，即（sin+cos）=（cossin）（cos2sin2），sin+cos=0 或（cossin）2=（，），=或cossin=，sincos= 或sincos=【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，两角和差的三角公式，属于基础题16盒子中共有8个球，其中4个红球，3个绿球，1个黄球，这些球除颜色外其他完全相同（）从盒
20、子中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；（）从盒子中一次随机抽取3个球，每取得1个红球记1分，取得1个绿球记2分，取得1个黄球记3分，设X为取出3个球所得的分数之和，求X的分布列和数学期望【分析】（）设A表示事件事件“从盒子中一次随机取出2个球的颜色相同”，利用互斥事件加法公式能求出从盒子中一次随机取出2个球，取出的2个球颜色相同的概率（）依题意，X的所有可能取值为3，4，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望【解答】解：（）设A表示事件事件“从盒子中一次随机取出2个球的颜色相同”，则P（A）=，从盒子中一次随机取出2个球，取出的2个球颜色相同的概率为（）
21、依题意，X的所有可能取值为3，4，5，6，7，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，P（X=6）=，P（X=7）=，X的分布列为： X 3 4 5 6 7 PEX=+=【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用17如图，在三棱锥SABC中，SC平面ABC，SC=3，ACBC，CE=2EB=2，AC=，CD=ED（）求证：DE平面SCD；（）求二面角ASDC的余弦值；（）求点A到平面SCD的距离【分析】（）建立坐标系，求出向量的坐标，得到DECD，DECS，求出线面垂直即可；（）设平面SAD的法向量为=
22、（x，y，z），求出一个法向量，代入余弦公式即可求出余弦值；（）作AH平面SCD，垂足为H，求出的坐标，从而求出点A到平面SCD的距离【解答】解：如图示：，以C为原点建立空间直角坐标系，由题意得：A（，0，0），C（0，0，0），D（1，1，0），E（0，2，0），S（0，0，3），（）证明： =（1，1，0），=（1，1，0），=（0，0，3），=1+1+0=0， =0+0+0=0，即DECD，DECS，CDCS=C，DE平面SCD；（）解：由（）可得=（1，1，0）为平面SCD的一个法向量，设平面SAD的法向量为=（x，y，z），而=（，1，0），=（，0，3），则，即，不妨设x=2，可得
23、=（2，1，1），易知二面角ASDC为锐角，因此有|cos，|=，即二面角ASDC的余弦值是；（）解： =（，0，0），=（，1，0），=（，0，3），作AH平面SCD，垂足为H，设=x+y+z=（xyz，y，3z），且x+y+z=1，由，得：，解得，=（，0），|=，即点A到平面SCD的距离是【点评】本题考查了线面垂直，考查平面的法向量，点到平面的距离，是一道中档题18若数列an满足a1=1，an+1an=2n1（）求an的通项公式；（）若数列bn满足b1=3，bn+1bn=2n+3，且cn=，求数列cn的通项公及前n项和Tn【分析】（1）采用累加法求得，求得an的通项公式，（2）采用累加法
24、求得数列bn的通项公式，整理写出数列cn的通项公式，cn=（n+2）2n1，数列cn是由等差数列和等比数列乘积的形式，采用乘以公比错位相减法，求得Tn【解答】解：（），a2a1=1，a3a2=2，a4a3=4，以上各式相加，得：，a1=1，（）bn+1bn=2n+3，b2b1=5，b3b2=7，b4b3=9，bnbn1=2n+1，以上各式相加得：bnb1=5+7+9+2n+1，=n2+2n3，b1=3，cn=，cn=（n+2）2n1，Tn=320+421+522+（n+2）2n1，2Tn=321+422+523+（n+1）2n1+（n+2）2n，两式相减，得：Tn=320+（21+22+2n1
25、）（n+2）2n，=3+（2n2）（n+2）2n=（n+1）2n+1，Tn=（n+1）2n1【点评】本题考查采用累加法求数列的通项公式及采用错位相减法求数列的前n项和，过程复杂，属于中档题19已知函数f（x）=（x2+mx）ex（其中e为自然对数的底数）（）当m=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（）若函数f（x）在区间1，3上单调递减，求m的取值范围；（）是否存在实数m，使得f（x）为R上的单调函数？请说明理由【分析】（）将m=2代入f（x）的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）求出函数f（x）的导数，得到g（x）=（x+1）+，求出函数g（x）的导数，从而求出m的范
26、围即可；（）假设f（x）单调，求出f（x）的导数，结合二次函数的性质判断即可【解答】解：（）当m=2时，f（x）=（x22x）ex，f（x）=（x22）ex，令f（x）0，解得：x或x，f（x）在（，），（，+）递增；（）f（x）=x2+（m+2）x+mex，由题意得f（x）0对于x1，3恒成立，x2+（m+2）x+m0，即m=（x+1）+，令g（x）=（x+1）+，则g（x）=10恒成立，g（x）在区间1，3递减，g（x）max=g（1）=，m的范围是（，；（）假设f（x）为R上的单调函数，若f（x）在R递增，则f（x）0对xR恒成立，即x2+（m+2）x+mex0对xR恒成立，ex0，x2
27、+（m+2）x+m0对xR恒成立，而=（m+2）24m=m2+40，不满足x2+（m+2）x+m0对xR恒成立，f（x）不是R上的单调递增函数；若f（x）在R递减，则f（x）0对xR恒成立，即x2+（m+2）x+mex0对xR恒成立，ex0，x2+（m+2）x+m0对xR恒成立，而函数h（x）=x2+（m+2）x+m的图象是开口向上的抛物线，故x2+（m+2）x+m0不可能恒成立，f（x）不是R上的单调递减函数，综上，不存在实数m，使得f（x）为R上的单调函数【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题20设椭圆C： +=1（ab0）的右焦点为F，过
28、F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为，|AF|=2|FB|（）求椭圆C的离心率；（）若|AF|=，求椭圆C的方程；（）在（）的条件下，D为椭圆C上一点，当ABD面积取得最大值时，求D点的坐标【分析】（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），y10，y20，由|AF|=2|FB|，可得：y1=2y2设直线l的方程为：y=（xc），其中c=直线方程与椭圆方程联立化为：（3a2+b2）y2+2b2cy3b4=0，分别解得y1，y2，即可得出（II）由|AF|=，|AF|=2|FB|可得|AB|=|AF|+|FB|=，y2y1=|AB|=，又，b2=a2c2，解得a，b，c，即可得
29、出椭圆C的方程（III）当D点在平行于直线l的椭圆的切线上的切点处时，ABD的面积最大，设切线方程为y=x+t，可得32x2+18tx+9（t25）=0，令=0，解得t，即可得出x【解答】解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），y10，y20，|AF|=2|FB|y1=2y2设直线l的方程为：y=（xc），其中c=联立，化为：（3a2+b2）y2+2b2cy3b4=0，解得y=，y1=，y2=，=2，=（II）|AF|=，|AF|=2|FB|AB|=|AF|+|FB|=，y2y1=|AB|=，又，b2=a2c2，解得a=3，b=，c=2椭圆C的方程为=1（III）当D点在平行于直线l的椭圆的切线上的切点处时，ABD的面积最大，由，可得32x2+18tx+9（t25）=0，令=4329（t25）=0，解得t=4解得x=，y=，D【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、直线与椭圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题