1、2016-2017学年内蒙古赤峰市宁城县高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合A=x|0x6，集合B=x|x2+2x80，则AB=（）A0，4B2，6C0，2D4，62i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则复数z的共轭复数是（）A1iB1+iC1+iD1i3下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）Ay=2xBy=x3+xCDy=log2x4命题“xR，都有|sinx|1”的否定是（）AxR，都有|sinx|1BxR，都有|sinx|1CxR，使|sinx|1DxR，使|si
2、nx|15某年级有900名学生，随机编号为001，002，900，现用系统抽样方法，从中抽出150人，若015号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A036B081C136D7386双曲线=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）ABC2D7设向量，满足=（1，2），=5，在方向上的投影是（）ABCD8如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（实线），由于目前本线路亏损，公司有关人员提出两种扭亏为盈的方案（虚线），这两种方案分别是（）A方案降低成本，票价不变，方案提高票价而成本不变；B方案提高票价而成本不变，方案降低成本，票价不变；C方案降低成本，票价提高，方案提高票价而成本
3、不变；D方案提高成本，票价不变，方案降低票价且成本降低9给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A1B2C3D410已知函数f（x）=cosxsinx（0）在（，）上单调递减，则的取值不可能为（）ABCD11在某次物理实验中，得到一组不全相等的数据x1，x2，x3，xn，若a是这组数据的算术平均数，则a满足（）A（xia）最小B |xia|最小C（xia）2最小D |xia|最小12设定义在R上的函数f（x）满足对任意xR都有f（x）+f（2x）=2，若函数g（x）=与f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），则（xi+yi
4、）=（）AnB2nC3nD4n二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13二项式展开式中的常数项为（用数字作答）14某几何体的三视图如图所示，则其表面积 为15已知点P在圆x2+y22x+4y+1=0上，点Q在不等式组，表示的平面区域内，则线段PQ长的最小值是16在四边形ABCD中，A+C=180，AB=CD=2，BC=3，AD=1，则四边形ABCD的面积为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和Sn=，nN*（）求数列an的通项公式；（）设bn=4，求证： +.+18如图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，点D是SC的中
5、点，且平面ABD平面SAC（）求证：AB平面SAC（）若SA=2AB=3AC，求二面角SBDA的余弦值19已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，30个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件（1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；（2）求该生两次投篮后得分的分布列及数学期望20如图，过椭圆E： +=1（ab0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A，B分别为E的右顶点，上顶点，且ABOP，|AF|=+1（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O做
6、斜率为k（k0）的直线，交E于C，D两点，求四边形ACBD面积S的最大值21已知函数f（x）=exax（a为常数），f（x）是f（x）的导函数（）讨论f（x）的单调性；（）当x0时，求证：f（lna+x）f（lnax）；（）已知f（x）有两个零点x1，x2（x1x2），求证：选修4-4：坐系与参数方程22直线l：（t为参数），圆C：=2（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）（1）求圆心C到直线l的距离；（2）若直线l被圆C解得的弦长为，求实数a的值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x+1|x2|（I）若不等式f（x）a的解集为（，求a的值；（II）若xR使f（x）m24m，求m
7、的取值范围2016-2017学年内蒙古赤峰市宁城县高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合A=x|0x6，集合B=x|x2+2x80，则AB=（）A0，4B2，6C0，2D4，6【考点】交集及其运算【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中不等式变形得：（x2）（x+4）0，解得：4x2，即B=4，2，A=0，6，AB=0，2，故选：C2i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则复数z的共轭复数是（）A1iB1+iC1+iD1i【考点】
8、复数代数形式的乘除运算【分析】由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得【解答】解：由zi=1+i，得，故选：A3下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）Ay=2xBy=x3+xCDy=log2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】根据奇函数的定义，奇函数定义域和图象的特点，反比例函数在定义域上的单调性，以及一次函数和y=x3的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项【解答】解：Ay=2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误；By=x3+x的定义域为R，且（x）3+（x）=（x3+x）；该函数为奇函数；y=x3和y=x在R上都是增函数；y=x3+x在R上
9、是增函数，该选项正确；C反比例函数在定义域上没有单调性，该选项错误；Dy=log2x的定义域为（0，+），不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误故选：B4命题“xR，都有|sinx|1”的否定是（）AxR，都有|sinx|1BxR，都有|sinx|1CxR，使|sinx|1DxR，使|sinx|1【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：xR，|sinx|1的否定是：xR，|sinx|1故选：D5某年级有900名学生，随机编号为001，002，900，现用系统抽样方法，从中抽出150人，若015号被抽到了，则下列编
10、号也被抽到的是（）A036B081C136D738【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可【解答】解：样本间隔为900150=6，因为015号被抽到了，081=015+611，所以081也被抽到故选：B6双曲线=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质【分析】两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线，由a=b，c=a，可求出该双曲线的离心率【解答】解：双曲线的两条渐近线互相垂直，双曲线是等轴双曲线，a=b，c=a，e=故选D7设向量，满足=（1，2），=5，在方向上的投影是（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知直接
11、结合投影的概念得答案【解答】解：=（1，2），=5，在方向上的投影=故选：C8如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（实线），由于目前本线路亏损，公司有关人员提出两种扭亏为盈的方案（虚线），这两种方案分别是（）A方案降低成本，票价不变，方案提高票价而成本不变；B方案提高票价而成本不变，方案降低成本，票价不变；C方案降低成本，票价提高，方案提高票价而成本不变；D方案提高成本，票价不变，方案降低票价且成本降低【考点】函数的图象【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明【解答】解：根据题意和图知，
12、方案：两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图看出，方案：当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故选：B9给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A1B2C3D4【考点】选择结构【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x2，2x5，x5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案【解答】解：当x2时，由x2=
13、x得：x=0，1满足条件；当2x5时，由2x3=x得：x=3，满足条件；当x5时，由=x得：x=1，不满足条件，故这样的x值有3个故选C10已知函数f（x）=cosxsinx（0）在（，）上单调递减，则的取值不可能为（）ABCD【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用【分析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得f（x）的减区间，结合条件可得，且，由此求得的范围，从而得出结论【解答】解：函数f（x）=cosxsinx=cos（x+）（0）在（，）上单调递减，2kx+2k+，求得+x+ （kZ）f（x）在（，）上单调递减，且，求得 0，故选：D11在某次物理实
14、验中，得到一组不全相等的数据x1，x2，x3，xn，若a是这组数据的算术平均数，则a满足（）A（xia）最小B |xia|最小C（xia）2最小D |xia|最小【考点】基本不等式【分析】由加权平均数性质可知（x1+x2+x3+xn）=，即可判断【解答】解：根据题意，由加权平均数性质可知：加权平均数表示“平均水平”，即（x1+x2+x3+xn）=要使（xia）2最小，即a=xi，当xi等于加权平均数，即xi=xi时（xia）2的值最小故选：C12设定义在R上的函数f（x）满足对任意xR都有f（x）+f（2x）=2，若函数g（x）=与f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xn，y
15、n），则（xi+yi）=（）AnB2nC3nD4n【考点】抽象函数及其应用【分析】判断两个函数的对称中心，画出函数的草图，利用函数的对称性求解即可【解答】解：xR，有f（2x）+f（x）=2，令x1+x2=2，可得x2=2x1，可得f（x1）+f（x2）=2，函数的对称中心（1，1）函数g（x）=1+，函数的对称中心（1，1），函数g（x）=与f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），交点的坐标关于（1，1）对称，则（xi+yi）=2n故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13二项式展开式中的常数项为540（用数字作答）【考
16、点】二项式定理的应用【分析】由Tr+1=（3x）6r（x1）r可得x的系数为0时，r=3，从而可得二项式展开式中的常数项【解答】解：由Tr+1=（3x）6r（x1）r=36r（1）rx62r，当62r=0时得r=3，二项式展开式中的常数项为33（1）=540故答案为：54014某几何体的三视图如图所示，则其表面积 为8+2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的表面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆
17、柱，球的半径是1，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3，几何体的表面积S=+13+12+12+21=8+2，故答案为8+215已知点P在圆x2+y22x+4y+1=0上，点Q在不等式组，表示的平面区域内，则线段PQ长的最小值是2【考点】简单线性规划【分析】化简x2+y22x+4y+1=0为（x1）2+（y+2）2=4，从而作图，利用数形结合的思想方法求解【解答】解：x2+y22x+4y+1=0，（x1）2+（y+2）2=4，由题意作图如下，结合图象可得，Q（2，0）当CPQ共线，如上图时，有最小值；|PQ|=|CQ|CP|=2=2，故答案为：216在四边形ABCD中，A+C=180，AB=CD=2
18、，BC=3，AD=1，则四边形ABCD的面积为2【考点】余弦定理的应用；三角形的面积公式【分析】连结BD，根据余弦定理列出方程解出cosA（或cosC），进而给出sinA，sinC，代入面积公式即可【解答】解：连结BD，在ABD中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=54cosA，在BCD中，BD2=BC2+CD22BCCDcosC=1312cosC54cosA=1312cosC，A+C=180，cosA=cosCcosA=sinA=sinC=四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD=ABADsinA+BCCDsinC=2故答案为：2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1
19、7已知数列an的前n项和Sn=，nN*（）求数列an的通项公式；（）设bn=4，求证： +.+【考点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合【分析】（）当n=1时，a1=S1当n2时，an=SnSn1，即可得出数列an的通项公式，（）bn=4=2n+1，根据等比数列的求和公式和放缩法即可证明【解答】解：（）当n=1时，a1=S1=1，当n2时，an=SnSn1=，当n=1时，上式也成立，an，（）证明：bn=4=2n+1，=，+.+=+=（1）18如图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，点D是SC的中点，且平面ABD平面SAC（）求证：AB平面SAC（）若SA=2AB=3AC，求二面角S
20、BDA的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）在平面SAC中，过点S作SHAD，垂足为H，由面面垂直的性质可得ABSH，再由SA平面ABC，得ABSA，结合线面垂直的判定可得AB平面SAC；（）不妨设AC=2，AB=3，AS=6，由（）知，AB平面SAC，得ABAC，分别以AB、AC、AS所在直线为z、y、z轴建立空间直角坐标系求出两个平面平面ABD与平面SBD的一个法向量，由法向量所成角的余弦值可得二面角SBDA的余弦值【解答】（）证明：如图，在平面SAC中，过点S作SHAD，垂足为H，平面ABD平面SAC，平面ABD平面SAC=AD，SH平面ABD，ABSH又
21、SA平面ABC，ABSASASH=S，AB平面SAC；（）解：不妨设AC=2，AB=3，AS=6，由（）知，AB平面SAC，ABAC，分别以AB、AC、AS所在直线为z、y、z轴建立空间直角坐标系则有A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，2，0），S（0，0，6），D（0，1，3）设平面ABD的一个法向量，则，取z1=1，得同理可得平面SBD的一个法向量cos=二面角SBDA的余弦值为19已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，30个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每
22、次投篮为相互独立事件（1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；（2）求该生两次投篮后得分的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率P（A）=0.2，踩线及3分线内侧投入的概率P（B）=0.3，不能入篮的概率P（C）=0.5，由此能求出该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率（2）由已知得的可能取值为0，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望【解答】解：（1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率P（A）=0.2，踩线及3
23、分线内侧投入的概率P（B）=0.3，不能入篮的概率P（C）=0.5，该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率：p=0.32（2）由已知得的可能取值为0，2，3，4，5，6，P（=0）=0.50.5=0.25，P（=2）=0.3，P（=3）=，P（=4）=0.09，P（=5）=0.12，P（=6）=0.20.2=0.04，的分布列为： 0 234 5 6 P 0.25 0.3 0.2 0.09 0.12 0.04E=00.25+20.3+30.2+40.09+50.12+60.04=2.420如图，过椭圆E： +=1（ab0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A，B分别为E的右顶点，上
24、顶点，且ABOP，|AF|=+1（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O做斜率为k（k0）的直线，交E于C，D两点，求四边形ACBD面积S的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可得P（c，），求出kOP，kAB，又ABOP，即可得到b=c，a=c，由已知|AF|=a+c=+1，求得a，b，则椭圆E的方程可求；（2）由题意可设CD：y=kx，设C（x1，y1），D（x2，y2），到AB的距离分别为d1，d2，将y=kx代入椭圆方程可得x1，x2，进一步求出d1，d2，则四边形ACBD的面积S取得最大值可求【解答】解：（1）由题意可得P（c，），kOP=，kAB=由ABOP，=，解得b=c
25、，a=c，由|AF|=a+c=+1得b=c=1，a=，故椭圆E的方程为+y2=1（2）由题意可设CD：y=kx，设C（x1，y1），D（x2，y2），到AB的距离分别为d1，d2，将y=kx代入+y2=1，得x2=，则x1=，x2=由A（，0），B（0，1）得|AB|=，且AB：x+y=0，d1=，d2=，S=|AB|（d1+d2）= （x1x2）+（y1y2）=（1+k）（x1x2）=，S2=2（1+），1+2k22k，当且仅当2k2=1时取等号，当k=时，四边形ACBD的面积S取得最大值221已知函数f（x）=exax（a为常数），f（x）是f（x）的导函数（）讨论f（x）的单调性；（）当
26、x0时，求证：f（lna+x）f（lnax）；（）已知f（x）有两个零点x1，x2（x1x2），求证：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】（）先求导，再分类讨论，即可求出函数的单调性，（）（x）=f（lna+x）f（lnax），求导，根据函数的单调性即可证明，（）由（I）知，当a0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，设A（x1，0），B（x2，0），0x1x2，则0x1lnax2由（II）得f（2lnax1）=f（lna+lnax1）f（x1）=0，再利用函数的单调性即可证明【解答】证明：（）f（x）=exa当a0时，则f（x）=exa0，即f（x）在R上是增函数，
27、当a0时，由f（x）=exa=0，得x0=lna当x（，x0）时，f（x）0；当x（x0，+）时，f（x）0即f（x）在（，lna）上是减函数，在（lna，+）上是增函数，（）证明：设g（x）=f（lna+x）f（lnax）（x0）=elna+xa（lna+x）elnaxa（lnax）=a（exex2x），g（x）=a（ex+ex2）2a2a=0，当且仅当x=0时等号成立，但x0，g（x）0，即g（x）在（0，+）上是增函数，所以g（x）g（0）=0不等式f（x0+x）f（x0x）恒成立（）由（I）知，当a0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，故a0，从而f（x）的最小为f（lna
28、），且f（lna）0设A（x1，0），B（x2，0），0x1x2，则0x1lnax2由（II）得f（2lnax1）=f（lna+lnax1）f（x1）=02lnax1=lna+（lnax1）lna，x2lna，且f（x）在（lna，+）上是增函数又f（2lnax1）0=f（x2），2lnax1x2于是lna，f（x）在（，lna）上减函数，选修4-4：坐系与参数方程22直线l：（t为参数），圆C：=2（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）（1）求圆心C到直线l的距离；（2）若直线l被圆C解得的弦长为，求实数a的值【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）直线l：（t为参数
29、）化为普通方程，圆C：=2化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，即可求圆心C到直线l的距离；（2）根据直线l被圆C解得的弦长为，利用勾股定理，即可求实数a的值【解答】解：（1）把化为普通方程为x+2y+2a=0，把=2cos（+）化为直角坐标方程为x2+y22x+2y=0，其的圆心C的坐标为（1，1），半径为，圆心C到直线l的距离d=（2）由已知（）2+（）2=（）2，a22a=0，即a=0或a=2选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x+1|x2|（I）若不等式f（x）a的解集为（，求a的值；（II）若xR使f（x）m24m，求m的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（I）f（x）=，作出函数的图象，利用不等式f（x）a的解集为（，求a的值；（II）若xR使f（x）m24m，问题等价于3m24m，即可求m的取值范围【解答】解：（）f（x）=，其图象如下：当x=时，f（x）=0当x时，f（x）0；当x时，f（x）0所以a=0（）f（x）m24m因为f（x）的最小值为3，所以问题等价于3m24m解得m1，或m32017年1月20日