1、期末复习讲义（二）三角与向量一、填空题1化简_.12已知锐角满足cos 2cos，则sin 2等于_3在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2 Asin2 Csin2 Bsin Asin C，则角B的大小为_4已知函数f(x)Acos(x)(A0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的_条件必要不充分5已知sin，且x，则cos 2x的值为_ 6.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin Asin B2sin C，b3，则cos C的最小值等于_.由sin Asin B2sin C可得ab2c，b3，a32c.cos C.由c，得cos C，当且仅当a，
2、即a时，等号成立，cos C.cos C的最小值为.7 f(x)2sin2cos 2x1，x，则f(x)的最小值为_ .18在ABC中，G是ABC的重心，AB，AC的边长分别为2,1，BAC60.则_. 9如图，AB是圆O的直径，P是圆弧AB上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB6，MN4，则_.5解析连接AP，BP.则，所以()()1615.10一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是_10(海里)二、例题选讲。11
3、设xR，函数f(x)cos(x)的最小正周期为，且f.(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象；(3)若f(x)，求x的取值范围解：(1)因为函数f(x)的最小正周期T，所以2，因为fcoscossin ，且0，所以.(2)由(1)知f(x)cos，列表如下：2x0x0f(x)1010图象如图： (3)因为f(x)，即cos，所以2k2x2k，kZ，则2k2x2k，kZ，即kxk，kZ.所以x的取值范围是.12已知向量a(cosxsinx，sinx)，b(cosxsinx，2cosx)，设函数f(x)ab(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(
4、x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围解：(1)f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin.由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，所以2k(kZ)，即(kZ)又，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin，即.13. 在中，角所对的边分别为，满足，是边上的一点 () 求角的大小；() 若，求的长.【答案】() ；() 所以，又， () 在中，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理，得，所以.14.如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形
5、状是以O1为圆心，半径为1 km的半圆面.公路l经过点O，且与直径OA垂直.现计划修建一条与半圆相切的公路PQ(点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上)，T为切点.(1)按下列要求建立函数关系：设OPQ=(单位：rad)，将OPQ的面积S表示为的函数；设OQ=t(单位：km)，将OPQ的面积S表示为t的函数.(2)请你选用(1)中的一个函数关系，求OPQ的面积S的最小值.【解答】(1)由题设知，在RtO1PT中，O1PT=，O1T=1，所以O1P=，又OO1=1，所以OP=+1.在RtOPQ中，OQ=OPtan =tan =.所以RtOPQ的面积为S=OPOQ=.由题设知，OQ=QT=t，O
6、1T=1，且RtPOQPTO1，所以=，即=，化简得OP=(t1).所以RtOPQ的面积为S=OQOP=t=(t1).(2)方法一：选用(1)中的函数关系S=.S=.由S=0，得=.当变化时，S，S的变化情况如下表：S-0+S极小值所以当=时，OPQ的面积S取得最小值为=(km2).方法二：选用(1)中的函数关系S=(t1).S=(t1).由S=0(t1)，得t=.当t变化时，S，S的变化情况如下表：t(1，)(，+)S-0+S极小值所以当t=时，OPQ的面积S的最小值为=(km2).三、课后作业。1在ABC中，A，AB2，且ABC的面积为，则边AC的长为_12已知角A为ABC的内角，且sin
7、 2A，则sin Acos A_.3已知sin，则sinsin2_. 4已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b_.55.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是 ABCDM6将函数f(x)3sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，则yg(x)图象的对称轴方程是_xk，kZ7.如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，AD3，CD2，若43，则 8函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示， 如果x1、x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)_9.在
8、中，分别为内角所对的边，若，则的最大值为 10已知向量，满足，若，则的最大值是 11已知a0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解：(1)因为x，所以2x.所以sin，所以2asin2a，a所以f(x)b，3ab，又因为5f(x)1，所以b5，3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，所以4sin11，所以sin，所以2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，所以g(
9、x)的单调增区间为，kZ.又因为当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ.所以g(x)的单调减区间为，kZ.12已知函数，且函数的最大值为2，最小正周期为，并且函数的图像过点（1）求函数的解析式；（2）设中，角的对边分别为，且，求的取值范围。（1）由题意可得：A=2 代入，则 （2） 即 13如图，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2，点M在线段PQ上(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值解(1)在OMP中，OPM45，OM，OP2，由余弦定理得OM2OP2MP22OPMPcos 45，即MP24MP30，解得MP1或MP3.(2)设POM，060，在OMP中，由正弦定理得，所以OM，同理，ON.故SOMNOMONsinMON.因为060，30230150，所以当30时，sin(230)的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值14.江苏省丹阳高级中学航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得ABC105和BAC30，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得BAD90和ABD45.请你根据以上条件求出航模的速度（单位：米/秒）(答案保留根号)试题分析：由