1、三个二次间的关系【例1】设关于x的一元二次方程ax2x10(a0)有两个实根x1，x2，求证：x11且x20)，由14a0，得02a，20，交点中右侧的那个也在直线x1的左侧而函数f(x)与x轴交点的横坐标分别为方程ax2x10的两根x1，x2，x11且x21.对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：相应的二次函数图像及与x轴的交点，相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图像及与x轴的交点)1若关于x的不等式ax26xa20的解集是(1，m)，则m_.2因为ax26x2a
2、21不等式的恒成立问题【例2】已知不等式mx2mx10.(1)若xR时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x1,3时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)若满足|m|2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围解(1)若m0，原不等式可化为10，显然恒成立；若m0，则不等式mx2mx10 恒成立解得4m0.综上可知，实数m的取值范围是(4,0(2)令f(x)mx2mx1，当m0时，f(x)10时，若对于x1,3不等式恒成立，只需即可，解得m，0m.当m0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x，若x1,3时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f(1)0即可，解得mR，m0符
3、合题意综上所述，实数m的取值范围是.(3)令g(m)mx2mx1(x2x)m1，若对满足|m|2的一切m的值不等式恒成立，则只需 即解得x.实数x的取值范围是.对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元(2)分离参数法：若f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)max.(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化2(1)已知f(x)不等式f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2)B(，0)C(0,2)D(2,0)
4、A因为f(x)为R上的减函数，故f(xa)f(2ax)xa2ax，从而2xa，所以2(a1)a，解得a2.(2)若函数f(x)的定义域为R，则实数k的取值范围是_0,1由题意知，kx26kx(k8)0的解集为R.当k0时，80成立当k0时，上述不等式成立的充要条件是解得0k1.综上，k的取值范围是0,1简单线性规划问题【例3】两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？成分种类阿司匹林小苏打可待因每片价格(元)A(毫克/片)2510.1B(毫克/片)1760.2解设A，B两种药品分别为x片和y片(x，y
5、N)，则有两类药片的总数为zxy，两类药片的价格和为k0.1x0.2y.如图所示，作直线l：xy0，将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近解方程组得交点A坐标.由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是xy11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片同理可得，当x3，y8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低解线性规划问题的一般步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域(3)移：在
6、线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线(4)求：通过解方程组求出最优解(5)答：作出答案3已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示)3,8作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示在可行域内平移直线2x3y0，当直线经过xy2与xy4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值zmin23313；当直线经过xy1与xy3的交点B(1，2)时，目标函数有最大值zmax21328，所以z3,8利用基本不等式求最值探究问题1利用不等式的条件是什么？提示一正：即a0，b0；二定：ab为定值，ab有最大值；ab为定值，ab有最小
7、值；三相等当且仅当ab时等号成立，三者缺一不可2设x0，y0，xy1，求xy的最大值，你有几种思路解决这个问题？提示法一(直接应用不等式)：xy2，当xy时等号成立法二(消元法)：由xy1得y1x，则xyx(1x)2，当x时等号成立法三(函数法)：由xy1得y1x，则xyx(1x)x2x2，当x时等号成立【例4】已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3B4CD思路探究：法一：通过分解因式，配凑出含x1与2y1的积的定值，利用基本不等式求解法二：利用条件，用x表示y代入x2y，配凑出积的定值，利用基本不等式求解法三：在条件x2y2xy8中配凑出双变量x与2y，利用基本不等式消去
8、2xy，然后解二次不等式可解B法一：依题意得，x11,2y11，易知(x1)(2y1)9，则(x1)(2y1)226，当且仅当x12y13，即x2，y1时，等号成立，因此有x2y4，所以x2y的最小值为4.法二：由题意得，x1，x2y12y12y11224，当且仅当2y13，即y1时，等号成立法三：由x2y2xy8得x2y(x2y)2x2y2xy8，即(x2y)24(x2y)320，所以(x2y)8(x2y4)0，因为x0，y0，所以x2y40，即x2y4，当且仅当x2，y1时等号成立1(变结论)例4的条件不变，求xy的最大值解因为x2y2，且x2y2xy8，所以22xy8，即()240故(2
9、)()0，又0，故0.所以xy2，当且仅当x2y，即x2，y1时等号成立即xy的最大值为2.2(变条件)例4的条件变为：已知x0，y0，x2yxy0，求x2y的最小值解由x2yxy0得x2yxy，1，故x2y(x2y)4428，当且仅当，即x4，y2时等号成立利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解