1、课时跟踪检测（三） 反证法一、基本能力达标1三人同行，一人道：“三人行，必有我师”，另一人想表示反对，他该怎么说？()A三人行，必无我师 B三人行，均为我师C三人行，未尝有我师D三人行，至多一人为我师解析：选C“必有”意思为“一定有”，其否定应该是“不一定有”，故选C.2用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A假设a，b，c都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个是偶数D假设a，b，c至少有两个是偶数解析：选B“a，b，c中至少有一个是偶数”的反面是“a，b，c都不是偶数”，故应假设a
2、，b，c都不是偶数故选B.3若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与a0，y0，z0，ax，by，cz，则a，b，c三个数()A至少有一个不大于2 B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2解析：选C假设a，b，c都小于2，则abc0)的图像与x轴有两个不同的交点，f(c)0，且当0x0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明：c.证明：(1)f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，f(x)ax2bxc0有两个不等实根，设为x1，x2.f(c)0，c是f(x)0的一个根，不妨令x1c.又x1x2，x2(c)，是f(x)0的一个根，即是
3、函数f(x)的一个零点(2)由(1)知c，故假设0，又当0x0，f0，与f0矛盾，假设不成立，c.二、综合能力提升1下列四个命题中错误的是()A在ABC中，若A90，则B一定是锐角B.，不可能成等差数列C在ABC中，若abc，则C60D若n为整数且n2为偶数，则n是偶数解析：选C显然A、B、D命题均真，C项中若abc，则ABC，若C60，则A60，B60，ABC180与ABC180矛盾，故选C.2若ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定解析：选B分ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，
4、则ADBADC，若ADB为钝角，则ADC为锐角而ADCBAD，ADCABD，ABD与ACD不可能相似，与已知不符，只有当ADBADCBAC时，才符合题意3对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)x0，那么x0叫做函数f(x)的一个好点已知函数f(x)x22ax1不存在好点，那么a的取值范围是()A. B.C(1,1)D(，1)(1，)解析：选A假设f(x)x22ax1存在好点，亦即方程f(x)x有实数根，所以x2(2a1)x10有实数根，则(2a1)244a24a30，解得a或a.故当f(x)不存在好点时，a的取值范围是a.故选A.4完成反证法证题的全过程设a1，a2
5、，a7是1,2，7的一个排列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则a11，a22，a77均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.但0奇数，这一矛盾说明p为偶数解析：据题目要求及解题步骤，a11，a22，a77均为奇数，(a11)(a22)(a77)也为奇数即(a1a2a7)(127)为奇数又a1，a2，a7是1,2，7的一个排列，a1a2a7127，故上式为0，所以奇数(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.答案：(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)5已知函数f(x)在R上是增函数，a，bR.(1)求证：如果ab0
6、，那么f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论解：(1)证明：当ab0时，ab且ba.f(x)在R上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)f(b)f(a)f(b)，那么ab0”，此命题成立用反证法证明如下：假设ab0，则ab，f(a)f(b)同理可得f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，这与f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假设不成立，ab0成立，即(1)中命题的逆命题成立6对于直线l：ykx1，是否存在实数k，使直线l与双曲线C：3x2y21的交点A，B关于直线yax(a为常数)对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解：不存在理由如下：假设存在实数k，使得点A，B关于直线yax对称，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由得(3k2)x22kx20.由得a(x1x2)k(x1x2)2.由得x1x2.代入整理得ak3，与矛盾故不存在实数k，使直线l与双曲线C：3x2y21的交点A，B关于直线yax(a为常数)对称