1、等差、等比数列的判定【例1】已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解(1)由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0且1得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.判定一个数列是等差或等比数列的方法定义法an1and(常数)an是等差数列q(非零常数)an是等比数列中项公式法2an1anan2(nN)an是等差数列aanan2(an1anan20)an是等比数列通项公式法an
2、pnq(p，q为常数)an是等差数列ancqn(c，q均为非零常数)an是等比数列前n项和公式SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列Snkqnk(k为常数，且q0，k0，q1)an是等比数列提醒在解答题中证明一个数列是等比(或等差)数列通常用定义法和中项公式法，通项公式法和前n项和公式法常在小题或分析题意时应用1设Sn为数列an的前n项和，对任意的nN*，都有Sn2an，数列bn满足b12a1，bn(n2，nN*)(1)求证：数列an是等比数列，并求an的通项公式；(2)判断数列是等差数列还是等比数列，并求数列bn的通项公式解(1)当n1时，a1S12a1，解得a11；当n2时，anSn
3、Sn1an1an，即(n2，nN*)所以数列an是首项为1，公比为的等比数列，故数列an的通项公式为ann1.(2)因为a11，所以b12a12.因为bn，所以1，即1(n2)所以数列是首项为，公差为1的等差数列所以(n1)1，故数列bn的通项公式为bn.数列通项公式的求法【例2】(1)若数列an是正项数列，且n23n(nN*)，则an_.(2)已知在数列an中，an1an(nN)，且a14，则数列an的通项公式an_.(1)4(n1)2(2)(1)因为n23n(nN*)，所以(n1)23(n1)(n2)，得n23n(n1)23(n1)2(n1)，所以an4(n1)2(n2)又12314，故a
4、116，也满足式子an4(n1)2，故an4(n1)2.(2)由an1an，得，故，(n2)，以上式子累乘得，因为a14，所以an(n2)，因为a14满足上式，所以an.数列通项公式的求法(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式an求解(3)由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列(4)待定系数法(构造法)求数列通项公式方法灵活多样，特别是对
5、于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法2(1)已知数列an满足a12，anan1n(n2，nN)，则an_.(2)已知数列an满足a12，an1a(an0，nN)，则an_.(1)(n2n2)(2) 22n1(1)由题意可知，a2a12，a3a23，anan1n(n2)，以上式子累加得，ana123n.因为a12，所以an2(23n)2(n2)因为a12满足上式，所以an.(2)因为数列an满足a12，an1a(an0
6、，nN)，所以log2an12log2an，即2，又a12，所以log2a11，故数列log2an是首项为1，公比为2的等比数列，所以log2an2n1，即an22n1.数列求和的常用方法【例3】Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列bn的前1 000项和解(1)设an的公差为d，据已知有721d28，解得d1.所以an的通项公式为ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因为bn所以数列bn的前1 000项和为1902900311
7、893.数列求和的常用方法(1)公式法(2)分组求和法(3)倒序求和法(4)错位相减法(5)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解3设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3a7，a82a33.(1)求an；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d，由题意得解得a13，d2，ana1(n1)d2n1.(2)由(1)得Snna1dn(n2)，bn.Tnb1b2bn1bn.用函数思想解决数列问题探究问题1若函数f
8、(x)x2x在1，)上单调递增，则的取值范围是什么？解由于f(x)x2x是图像开口向上的二次函数，要使其在1，)上单调递增，则需1.即2，故的取值范围是2，)2当x为何值时，函数f(x)2有最小值？解 当x时，f(x)的最小值为f.3数列与其对应的函数有什么区别？解与数列对应的函数是一种定义域为正整数集(或它的前几个组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数【例4】(1)若数列an的通项公式为ann2n，且an是递增数列，则实数的取值范围是_(2)设数列an，bn满足a1b16，a2b24，a3b33，若an1an是等差数列，bn1bn是等比数列分别求出数列an，bn的通
9、项公式；求数列an中最小项及最小项的值思路探究：(1)利用an1an求解，或利用函数yx2x的图像求解；(2)根据等差、等比数列的通项公式求an，bn的通项公式，然后利用函数的思想求an的最小项及最小项的值(1)(3，)法一：an1an(n1)2(n1)(n2n)2n1，由于an是递增数列，故2n10恒成立，即2n1，又nN，2n13，故3.法二：由于函数yx2x在上单调递增，结合其图像可知，若数列an是递增数列，则a2a1，即2221，即3.(2)解a2a12，a3a21，由an1an成等差数列知其公差为1，故an1an2(n1)1n3；b2b12，b3b21，由bn1bn成等比数列知，其公
10、比为，故bn1bn2n1，an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1(n1)(2)162n8，bn(bnbn1)(bn1bn2)(bn2bn3)(b2b1)b16223n.因为an2，所以n3或n4时，an取到最小值，a3a43.1(变条件)把例4(2)中的数列an换为an，求其最小项和最大项解an1，当n9时，an1递减且小于1；当n9时，an1递减且大于1，所以a8最小，a9最大，且a8，a9.2(变结论)例4(2)的条件不变，求数列bn中最大项及最大项的值解由例4(2)的解析可知bn223n，易知数列bn是递减数列，所以当n1时，an取到最大值，a122316.函数思想在数列问题中的应用数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集1,2,3，n)的特殊函数运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决与数列相关的问题等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列有n项和公式与二次函数有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题
