1、第八章第七节一、选择题1(文)已知F1、F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|F2A|F2B|30，则|AB|()A16 B18 C22 D20答案C解析由题意知，a13，(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)|AB|AF2|BF2|4a52，|BF2|AF2|30，|AB|22.(理)(2014云南部分名校联考)P是双曲线1(a0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，且0，若F1PF2的面积是9，ab7，则双曲线的离心率为()A BCD答案D解析由0得F1PF290，在F1PF2中有|PF1|2|PF2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2.由
2、双曲线定义知|PF1|PF2|2a，且|PF1|PF2|18，代入得b3，a4，c5，则离心率为.2(文)(2014广东十二校联考)已知双曲线1(a0，b0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点，若OMON，则双曲线的离心率为()ABCD答案D解析设右焦点为F，由条件可得|MF|OF|，所以c，所以cac2a2，整理得e2e10，解得e.由双曲线中e1，可得e，故选D(理)(2014湖北荆门调研)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心
3、率的取值范围是()A(1，)B(，)C(，2)D(2，)答案D解析过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线y(xc)，与yx联立，解得M(，)由点M在以线段F1F2为直径的圆外，得()2()2c2，14，e2.3(文)(2014北京石景山统一测试)已知动点P(x，y)在椭圆C：1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|1且0，则|的最小值为()AB3CD1答案A解析在椭圆C：1中，a5，b4，c3，M在以F为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，所以PF最小时，切线长最小设P(x0，y0)，则|PM|2|PF|21(x03)2y1(x03)2161x6x024(x0)21，5x05，当x05时，|P
4、M|2取到最小值3，|PM|min.(理)已知以F1(2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为()A3B2C2D4答案C解析根据题意设椭圆方程为1(b0)，则将xy4代入椭圆方程得，4(b21)y28b2yb412b20，椭圆与直线xy40有且仅有一个公共点，(8b2)244(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，长轴长为22，故选C4(文)(2013大纲理，11)已知抛物线C：y28x与点M(2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若0，则k()ABCD2答案D解析y28x，焦点坐标为(2,0)，设直线方程
5、为yk(x2)，与抛物线方程联立消去y得k2x2(4k28)x4k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x24，y1y2k(x12)k(x22)k(x1x2)4k，y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22k2(x1x2)4k216.(x12，y12)(x22，y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，k24k40，k2.(理)(2014辽宁省协作校三模)抛物线y24x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且AFB，弦AB中点M在准线l上的射影为M，则的最大值为()ABCD答案B解析如图，由抛物线定义及条件知，|MM|(AABB)(|AF|BF|)()2(1)
6、(1)，等号成立时，|AF|BF|.5(2013辽宁五校联考)已知点M(3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，分别过点M、N且与圆C相切的两条直线相交于点P，则点P的轨迹方程为()Ax21(x1)Bx21(x0)Cx21(x0)Dx21(x1)答案A解析如图，设两切线分别与圆相切于点S、T，则|PM|PN|(|PS|SM|)(|PT|TN|)|SM|TN|BM|BN|22a，所以所求曲线为双曲线的右支，a1，c3，b28，故点P的轨迹方程为x21(x0)，由题意知，P点不可能与B点重合，x1.6(2014广东汕头一模)已知椭圆1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦
7、点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点P有()A3个B4个C6个D8个答案C解析当PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理，当PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个故符合要求的点P有6个二、填空题7(文)已知F是椭圆1(a0，b0)的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x2y2b2相切，当直线PF的倾斜角为时，此椭圆的离心率是_答案解析解法1：设直线PF与圆x2y2b2的切点为M，则依题意得OMMF，直线PF的倾斜角为，OFP，sin，椭圆的离心率e.解法2：依题意可知PF：y(xc)(c)，
8、又O到PF的距离为b，即b，b2a2c2，4a27c2，e.(理)设直线l：y2x2，若l与椭圆x21的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为1的点P的个数为_答案3解析设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y2xb，代入x21中消去y得，8x24bxb240，由16b232(b24)0得，b2，显见y2x2与两轴交点为椭圆的两顶点A(1,0)，B(0,2)，直线y2x2与l距离d，欲使SABP|AB|hh1，须使h，dh，直线y2x2与椭圆切点，及y2x42与椭圆交点均满足，这样的点P有3个8(2014山东文)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22py(p
9、0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析抛物线x22py的准线方程为y，与双曲线的方程联立得x2a2(1)，根据已知得a2(1)c2.由|AF|c，得a2c2.由可得a2b2，即ab，所以所求双曲线的渐近线方程是yx.9直线l：xy0与椭圆y21相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则ABC面积的最大值为_答案解析设与l平行的直线方程为xya0，当此直线与椭圆的切点为C时，ABC的面积最大，将yxa代入y21中整理得，3x24ax2(a21)0，由16a224(a21)0得，a，两平行直线xy0与xy0的距离d，将yx代入y21中
10、得，x1，x2，|AB|()|，SABC|AB|d.三、解答题10(文)(2014唐山一模)P为圆A：(x1)2y28上的动点，点B(1,0)线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)当点P在第一象限，且cosBAP时，求点M的坐标解析(1)圆A的圆心为A(1,0)，半径等于2.由已知|MB|MP|，于是|MA|MB|MA|MP|2，故曲线是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a，c1，b1，曲线的方程为y21.(2)由cosBAP，|AP|2，得P(，)于是直线AP方程为y(x1)由，解得5x22x70，x11，x2.由于点M在线段AP上，所以点M坐
11、标为(1，)(理)过抛物线C：x22py(p0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MAMB，并说明理由解析(1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y的距离，12，p2，抛物线C的方程为x24y.(2)抛物线C的焦点为F(0,1)，直线l的方程y2x1，设点A、B、M的坐标分别为(x1，)、(x2，)、(x0，)，由方程组消去y得，x24(2x1)，即x28x40，由韦达定理得x1x28，x1x24.MAMB，0，(x1x0)(x2x0)()()0，(x1x0)(x2x
12、0)(x1x0)(x2x0)(x1x0)(x2x0)0.M不与A，B重合，(x1x0)(x2x0)0，1(x1x0)(x2x0)0，x1x2(x1x2)x0x160，x8x0120，64480.方程x8x0120有解，即抛物线C上存在一点M，使得MAMB一、解答题11(文)(2013山西大学附中月考)已知抛物线y24x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C(1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；(2)设，试问是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由解析(1)证明：设直线l的方程为ykx2(k0)，联立方程得k2x2(4k4)x40.设A(x
13、1，y1)，B(x2，y2)，C(，0)，则x1x2，x1x2.|MA|MB|x10|x20|，而|MC|2(|0|)2，|MC|2|MA|MB|0，即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列(2)由，得(x1，y12)(x1，y1)，(x2，y22)(x2，y2)，即得，则.将代入得1，故为定值，且定值为1.(理)(2014中原名校联考)已知A(1,0)，P为圆F：(x1)2y216上任意一点，线段AP的垂直平分线交半径FP于点Q，当点P在圆上运动时(1)求点Q的轨迹方程；(2)设点D(0,1)，是否存在不平行于x轴的直线l与点Q的轨迹交于不同的两点M，N，使()0，若存在，求出直线l斜率的取
14、值范围，若不存在，请说明理由解析(1)依题意知：|QF|QA|PF|4|FA|2，所以点Q的轨迹是以F，A为焦点的椭圆，所求椭圆方程为1.(2)条件()0等价于|，若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则点D(0,1)在x轴上，矛盾可设直线l：ykxm(k0)，由得(34k2)x28kmx4m2120，由64k2m24(34k2)(4m212)0得4k23m2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为Q(x0，y0)，则x0，y0kx0m.又|，即，解得：m34k2.由4k23m2得4k23(34k2)2，即4k22，这是不可能的故满足条件的直线不存在12(文)(2014湖南
15、岳阳一模)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P(，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足0.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x14y1的取值范围解析(1)点P(，1)在椭圆上，1.又0，M在y轴上，M为PF2的中点，c0，c.a2b22，联立，解得b22(b21舍去)，a24.故所求椭圆C的方程是1.(2)点N(x0，y0)关于直线y2x的对称点为N1(x1，y1)，解得3x14y15x0.点N(x0，y0)在椭圆C：1上，2x02，105x010，即3x14y1的取值范围为10,10(理)(20
16、13浙江嵊州一中月考)设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使得t，求t的值及点D的坐标解析(1)由题意知a2，一条渐近线方程为yx，即bx2y0，b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x00)，t，x1x2tx0，y1y2ty0，将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y2(x12)(x22)(x1x2)412，t4，点D的坐标为(4，3)13(文)如图所示，在DEM
17、中，(0，8)，N在y轴上，且()，点E在x轴上移动(1)求点M的轨迹方程；(2)过点F(0,1)作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与点M的轨迹交于点A、B，l2与点M的轨迹交于点C、Q，求的最小值解析(1)设M(x，y)，E(a,0)，由条件知D(0，8)，N在y轴上且N为EM的中点，xa，(a，8)(xa，y)a(xa)8y2x28y0，x24y(x0)，点M的轨迹方程为x24y(x0)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Q(x4，y4)，直线l1：ykx1(k0)，则直线l2：yx1，由消去y得，x24kx40，x1x24k，x1x24，由消去y得，x2x40
18、，x3x4，x3x44.A、B在直线l1上，y1kx11，y2kx21，C、Q在直线l2上，y3x31，y4x41.(x3x1，y3y1)(x2x4，y2y4)(x3x1)(x2x4)(y3y1)(y2y4)(x3x1)(x2x4)(x3kx1)(kx2x4)x3x2x1x2x3x4x1x4x2x3k2x1x2x3x4x1x4(1k2)x1x2(1)x3x44(1k2)4(1)84(k2)16等号在k2时取得，即k1时成立的最小值为16.(理)(2013陕西理，20)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦长MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于
19、x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点解析(1)如图，设动圆的圆心O1(x，y)，由题意知|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H为MN的中点，|O1M|2|O1H|2|MH|2x216，又|O1A|2(x4)2y2，(x4)2y2x216，整理得y28x(x0)，当O1在y轴上时，|OA|4|MM|，O1与O重合，此时点O1(0,0)也满足y28x，动圆圆心O1的轨迹C方程为y28x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2
20、bk8)xb20，其中32kb640.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将，代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)14(文)(2013北京东城联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构在的三角形的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动直线yk(x1)与椭圆C相交于A、B两点若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；若点M(，0)，
21、求证：为定值解析(1)椭圆1(ab0)满足a2b2c2，b2c，解得a25，b2，则椭圆方程为1.(2)将yk(x1)代入1中得，(13k2)x26k2x3k250，36k44(3k21)(3k25)48k2200，x1x2.因为AB中点的横坐标为，所以，解得k.证明：由知x1x2，x1x2，所以(x1，y1)(x2，y2)(x1)(x2)y1y2(x1)(x2)k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(k2)(x1x2)k2(1k2)(k2)()k2k2.为定值(理)(2014吉林市二模)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F(1,0)，离心率e，A，B是椭圆上的动点(1)求椭圆标准方程；(2)
22、若直线OA与OB的斜率乘积kOAkOB，动点P满足， (其中实数为常数)问是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，说明理由；(3)若点A在第一象限，且点A，B关于原点对称，点A在x轴上的射影为C，连接BC并延长交椭圆于点D证明：ABAD解析(1)由题设可知：a，又b2a2c2，b21，椭圆标准方程为y21.(2)设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由得，(x，y)(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)，即xx1x2，yy1y2.因为点A、B在椭圆x22y22上，所以x2y2，x2y2，故x22y2(x2x2x
23、1x2)2(y2y2y1y2)(x2y)2(x2y)2(x1x22y1y2)2222(x1x22y1y2)设kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率，由题设条件知kOAkOB，因此x1x22y1y20，所以x22y2222.即1，所以P点是椭圆1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|PF2|为定值又因c因此两焦点的坐标为F1(，0)，F2(，0)所以存在两个定点F1(，0)，F2(，0)使得|PF1|PF2|2(3)设A(x1，y1)，D(x2，y2)，由题设可知：x10，x20，y10，y20，x1x2，C(x1,0)，B(x1，y1)由题意可知：kCBkBD，kABkAD11将代入可得：kABkAD11点A，D在椭圆x22y22上，kABkAD10kABkAD1，ABAD
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