1、课时跟踪检测（十五） 抛物线及其标准方程一、基本能力达标1抛物线yx2的焦点坐标是()A(0，4)B(0，2)C(，0) D(，0)解析：选B抛物线方程可化成x28y，所以焦点坐标为(0，2)，故选B.2若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A4 B2C6 D8解析：选Aa26，b22，c2a2b24，c2.椭圆的右焦点为(2,0)，2，p4.3抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为()A. BC8 D8解析：选B由yax2，得x2y，2，a.4若动圆与圆(x2)2y21外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x解
2、析：选A设动圆的半径为r，圆心O(x，y)，且O到点(2,0)的距离为r1，O到直线x1的距离为r，所以O到(2,0)的距离与到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知y28x.5抛物线y22px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为_解析：因为y22px过点M(2,2)，于是p1，所以点M到抛物线准线的距离为2.答案：6已知F1，F2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若|PF1|PF2|12，则抛物线的准线方程为_解析：将双曲线方程化为标准方程，得1，其焦点坐标为(2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程x3
3、a，而由|PF2|6a，|PF2|3a2a6a，得a1，抛物线的方程为y28x，其准线方程为x2.答案：x27由条件解下列各题的标准方程及准线方程(1)求焦点在直线2xy50上的抛物线的标准方程及其准线方程(2)已知抛物线方程为2x25y0，求其焦点和准线方程(3)已知抛物线方程为ymx2(m0)，求其焦点坐标及准线方程解：(1)直线2xy50与坐标轴的交点为，(0,5)，以此两点为焦点的抛物线方程分别为y210x，x220y.其对应准线方程分别是x，y5.(2)抛物线方程即为x2y，焦点为，准线方程：y.(3)抛物线方程即为x2y(m0)，焦点为，准线方程y.8.如图，已知抛物线y22px(
4、p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是，45，p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，所以kAF.因为MNFA，所以kMN.则FA的方程为y(x1)，MN的方程为yx2.解方程组得所以N.二、综合能力提升1设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4B6C8 D12解析：选B由抛物线
5、的方程得2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为426.2经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么A1FB1为()A. B.C. D.解析：选C由抛物线的定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，故BFB1BB1F，AFA1AA1F.又OFB1BB1F，OFA1AA1F，故BFB1OFB1，AFA1OFA1，所以OFA1OFB1，即A1FB1.3对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为y210
6、x的是_(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y210x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210x上一点，则|MF|116，所以不满足；由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k2，此时存在，所以满足答案：4设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点(1)若点P到直线x1的距离为d，A(1,1)，求|PA|d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义，知|PF|d，于是问题转化为求|PA|PF|的最小值如图，连接AF，交
7、抛物线于点P，则最小值为.(2)把点B的横坐标代入y24x中，得y，因为2，所以点B在抛物线内部自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)由抛物线的定义，知|P1Q|P1F|，则|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314.即|PB|PF|的最小值为4.5如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解：如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x25y.(2)设车辆高为h，则|DB|h0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米
