1、1直线与直线的方程11直线的倾斜角和斜率1直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向2倾斜角与斜率的概念倾斜角斜 率定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角把一条直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率补充规定当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0倾斜角为90的直线没有斜率表示或记法ktan 3.倾斜角与斜率的对应关系图 示倾斜角(范围)009090900斜率不存在k0k的增减性逐渐增大逐渐增大由表可知直线l的倾斜角的取值范围是0180，斜率k的取值范
2、围是(，)4直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2)的直线的斜率公式为k注意(1)斜率公式表明直线相对于x轴的倾斜程度，它与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可同时调换，就是说，如果分子是y2y1，分母必须是x2x1；反过来，如果分子是y1y2，分母必须是x1x2；(2)如果y2y1，x2x1，则直线与x轴平行或重合，k0；如果y2y1，x2x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90，k不存在1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一条直线都有斜率()(2)斜率相等的两直线倾斜角相等()(3)直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大()(4
3、)与y轴垂直的直线的斜率为0.()答案：(1)(2)(3)(4)2下图中，所标直线的倾斜角正确的是()答案：C3过点P(2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为()A1B4C1或3D1或4解析：选A.由题意知1，得m1.故选A.4经过两点A(1，)，B(2，4)的直线的倾斜角为_解析：设此直线的倾斜角为，则tan k.因为0180，所以60.答案：601对斜率公式的四点说明(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90.(2)k与直线上两点的顺序无关，分子是纵坐标的差，分母是对应横坐标的差(3)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到(4)某一条直线的斜率是
4、一个定值2斜率与直线的倾斜程度的对应关系(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜(呈上升趋势)(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜(呈下降趋势)(3)当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合(呈水平状态)求直线的倾斜角(1)直线l1的倾斜角为，l1l2，则直线l2的倾斜角不可能为()A90B90C|90| D180(2)已知直线l1的倾斜角115，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120，如图，则直线l2的倾斜角为_.解析(1)当0时，l2的倾斜角为90.(如图1)当090时，l2的倾斜角为90.(如图2)当90时，l2的倾斜角为0.(如图3)
5、当90180时，l2的倾斜角为90.(如图4)(2)设直线l2的倾斜角为2，由l1和l2向上的方向所成的角为120，所以BAC120，所以21201135.答案(1)D(2)135根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图；然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正向的夹角，即为直线的倾斜角画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论时的分类主要有0、锐角、直角和钝角四类 1.(1)设直线l1与x轴的交点为P，且倾斜角为，若将其绕点P按逆时针方向旋转45，得到直线l2的倾斜角为45，则()A090B0135C0135 D0135(2)已知直线l的倾斜角为20，则的取值范围是_解析：(1)
6、由于直线l1与x轴相交，可知0，又与45都是直线的倾斜角，所以解得0135.(2)因为直线l的倾斜角为20，所以020180，即20200.答案：(1)D(2)20200直线的斜率(1)已知两条直线的倾斜角分别为60，135，求这两条直线的斜率；(2)已知A(3，2)，B(4，1)，C(0，1)，求直线AB，BC，AC的斜率；(3)求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率解(1)直线的斜率分别为k1tan 60，k2tan 1351；(2)直线AB的斜率kAB；直线BC的斜率kBC；直线AC的斜率kAC1.(3)当m2时，直线AB的斜率不存在；当m2时，直线AB的斜率kAB.(1)求直
7、线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角(90)时，可利用斜率的定义，即ktan 求得；二是已知直线所经过的两点的坐标时，可利用过两点的直线的斜率公式计算求得(2)使用斜率公式k求斜率时，要注意其前提条件是x1x2，若x1x2，即两点的横坐标相等时，直线斜率不存在(3)利用斜率公式k时，如果两点的横坐标中含有参数，则应讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率 2.(1)下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是()A(4，2)与(4，1)B(0，3)与(3，0)C(3，1)与(2，1) D(2，2)与(2，5)(2)直线l经过原点和点(1，2)，则直线l的斜率等于_解析：(1)两点横坐标相同时，
8、直线与x轴垂直，此时斜率不存在(2)直线l的斜率k2.答案：(1)D(2)2直线的倾斜角、斜率的综合应用若经过点P(1a，1a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_解析因为直线的倾斜角为钝角，所以1a3，即a2.且0，整理得0，当a20时，a10.解得2a1.当a20时，a10，此时无解综上可得2a1.答案(2，1)若把本例中的钝角改为锐角，试求a的取值范围解：因为直线的倾斜角是锐角，所以解得a2或a1.已知直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，要注意对倾斜角按锐角和钝角两种情况分别进行分析求解；已知斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时，应对斜率分正值和负值两种情况分
9、别进行分析求解 3.(1)已知点A(2，3)，B(3，2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是()Ak或k4Bk或kC4k Dk4(2)经过两点A(m，2)，B(m，2m1)的直线的倾斜角为45.若点C(m1，n)在直线AB上，求m、n的值解：(1)选A.如图所示，过P作直线PCx轴交线段AB于点C.作出直线PA，PB.直线l与线段AB的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l的倾斜角为钝角，斜率的范围是kkPA.直线l与线段AB的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l的倾斜角为锐角，斜率的范围是kkPB.因为kPA4，kPB，所以直线l的斜率k的取值范围是k
10、或k4.(2)ktan 45，解得m.所以A，C.又A、B、C三点共线，所以kACtan 45n21.所以n3.即m与n的值分别为和3.思想方法数形结合思想在求直线的斜率和倾斜角中的应用已知A(3，4)，B(3，2)，P(1，0)，过点P的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解如图所示，由题意可知，kPA1，kPB1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(，11，)(2)由题意知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以的取值范围是45，135(1)已知一条线段
11、AB的端点及线段外一点P，过点P的直线l与线段有交点的情况下，求直线l斜率的范围的方法：连接PA、PB；由k(x1x2)，求出kPA，kPB；结合图形，写出满足条件的直线l斜率的范围(2)数形结合思想是一种重要的数学思想，在解析几何中经常用到，借助图形的直观性很容易阐明数与数之间的关系，而且也会使复杂的问题直观化、简单化、具体化，从而使问题快速得到解决1给出以下说法：任何直线都有唯一的斜率；倾斜角是0的直线只有一条；直线的倾斜角可以是60.其中正确的个数是()A0B1C2 D3解析：选A.由斜率的定义知错误；倾斜角是0的直线有无数条，它们与x轴平行或重合，错误；直线的倾斜角的取值范围是0，18
12、0)，故错误2过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角是45，则y等于()A1 B5C1 D5解析：选A.设过A，B两点的直线的斜率为k，则ktan 451，解得y1.3若过两点P(1a，1a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为0，则a_解析：若直线的倾斜角为0，则直线平行于x轴或与x轴重合，则1a2a，且1a3，即a1.答案：14已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值解：由题意可知kAB2，kAC，kAD.因为A、B、C、D四点在同一条直线上，所以k2，解得a4，b3，所以直线的斜率k2，a4，b3.,学生用书P115(单
13、独成册)A基础达标1下列说法中正确的是()A每一条直线都唯一对应一个倾斜角B与坐标轴垂直的直线的倾斜角为90C若直线的倾斜角存在，则有斜率与之对应D若直线的倾斜角为，则sin 0解析：选A.对于B，与y轴垂直的直线的倾斜角为0，所以B错；对于C，当倾斜角为90时，直线的斜率不存在，所以C错；对于D，当0时，sin 0，所以D错2直线l过(m，n)，(n，m)两点，其中mn，mn0，则()Al与x轴垂直Bl与y轴垂直Cl的倾斜角为45 Dl的倾斜角为135解析：选D.由斜率公式可得k11，即tan 1，所以135.故选D.3如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2
14、，k3的大小关系为()Ak1k2k3 Bk3k1k2Ck3k2k1 Dk1k3k2解析：选D.设直线l1，l2，l3的倾斜角分别是1，2，3，由图可知，190230，所以k10k3k2.4经过两点A(2，1)，B(1，m)的直线的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()Am1C1m1或m0，即1m0，所以m1时，直线的斜率为k，因为m1，所以k0，故直线的倾斜角的取值范围为090.综上可知，直线的倾斜角的取值范围是090.答案：(0，9013已知A(2，4)，B(3，3)，点P(a，b)是线段AB(包括端点)上的动点，试结合斜率公式k(x2x1)，求的取值范围解：设k，则k可以看成点P(a，b)与定
15、点Q(1，1)连线的斜率如图，当P在线段AB上由B点运动到A点时，PQ的斜率由kBQ增大到kAQ，因为kBQ1，kAQ3，所以1k3，即的取值范围是1，314(选做题)已知坐标平面内三点A(1，1)，B(1，1)，C(2，1)(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围解：(1)由斜率公式得kAB0，kBC，kAC.因为tan 00，所以直线AB的倾斜角为0.因为tan 60，所以直线BC的倾斜角为60.因为tan 30，所以直线AC的倾斜角为30.(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.