1、章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列几何体是柱体的是()解析：选B.A中的侧棱不平行，所以A不是柱体，C是圆锥，D是球体，B是棱柱2已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A120B150C180 D240解析：选C.设圆锥底面半径为r，母线为l，则rlr23r2，得l2r，所以展开图扇形半径为2r，弧长为2r，所以展开图是半圆，所以扇形的圆心角为180，故选C.3.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为()A. BC.
2、D1解析：选C.由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积V1121.设半球的半径为R，则2R，即R，所以半球的体积V2R3.故该几何体的体积VV1V2.故选C.4若一个圆台的上、下底面半径和高的比为144，圆台的侧面积为400，则该圆台的母线长为()A10B20C12 D24解析：选B.设圆台上底面半径为r，则下底面半径、高分别为4r，4r，于是其母线l5r，又侧面积为400，所以(r4r)5r400，解得r4，于是圆台的母线长为20.5若l，m，n是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()A若，l，n，则lnB若，l，则lC若l，l，则D若ln，m
3、n，则lm解析：选C.对于选项C，若l，则在内必有直线n与l平行，从而n；于是.6正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为()A30 B45C60 D90解析：选C.由棱锥体积公式可得底面边长为2，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan ，所以二面角为60，选C.7已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则b和c的位置关系是()A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析：选D.由题意，若al，
4、则利用线面平行的判定，可知a，a，从而a在，内的射影直线b和c平行；若alA，则a在，内的射影直线b和c相交于点A；若aA，aB，且直线a和l垂直，则a在，内的射影直线b和c相交；否则直线b和c异面综上所述，b和c的位置关系是相交、平行或异面，故选D.8如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC解析：选D.易知在BCD中，DBC45，BDC90.又平面ABD平面BCD，而CD
5、BD，所以CD平面ABD，所以ABCD.而ABAD，CDADD，所以AB平面ACD，所以平面ABC平面ACD.9若正方体的外接球的体积为4，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A. BC. D解析：选C.设正方体的棱长为a，其外接球的半径为r，则由题意可得r34，解得r.又2ra，故a2.以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高是正方体高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，则凸多面体的体积V22，故选C.10.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h也相等，则等于()A. BC. D2解析：选
6、C.V圆锥液，V圆柱液h，由已知得h，所以.故选C.11如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为()解析：选C.如图补全过A，E，C1的平面，将上半部分切去，所以左视图如C选项，故选C.12.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，BB12，ABC90，E，F分别为AA1，C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度是()A. BC. D2解析：选C.将直三棱柱侧面、底面展开有三种情形，如图在(1)中，EF；在(2)中，EF；在(3)中，EF.比较知(3)最小二、填空题：本题共4小题，
7、每小题5分13.有一木块如图所示，点P在平面AC内，棱BC平行于平面AC，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，则有_种锯法解析：因为BC平面AC，BCBC，所以平面AC上过P作EFBC，则EFBC，所以过EF，BC所确定的平面锯开即可又由于此平面唯一确定，所以只有一种锯法答案：114在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为_解析：取AC的中点E，取CD的中点F(图略)，则EF，BE，BF，结合图形知二面角ACDB的余弦值cos .答案：15半径为R的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，其余四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为_解析
8、：如图，作出半球沿正方体对角面的轴截面，设正方体的棱长为a，则a2R2，所以a2R2，所以S6a24R2.答案：4R216.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为_，_解析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，所以V圆柱R22R2R3，V球R3，所以，S圆柱2R2R2R26R2，S球4R2，所以.答案：3232三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)某几何体的三视图如图，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何
9、体的高为3，求此几何体的表面积和体积解：依题意得侧面的高h，SS上底S下底S侧面22424(24)2012，所以几何体的表面积为2012.体积V(422224)328.18(本小题满分12分)如图所示，四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积(单位：cm)解：由题意知该几何体的表面积等于圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和又S半球面4228(cm2)，S圆台侧(25)35(cm2)，S圆台下底5225(cm2)，所以所成几何体的表面积为8352568(cm2)由题意知该几何体的体积等于圆台的体积减去半球的体积又V圆台(222552)452(cm3)，
10、V半球23(cm3)，所以该几何体的体积为V圆台V半球52(cm3)19(本小题满分12分)如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，ABCDO，且ABCD，SOOB2，P为SB的中点(1)求证：SA平面PCD；(2)求异面直线SA与PD所成角的正切值解：(1)证明：连接PO，因为P，O分别为SB，AB的中点，所以POSA.因为PO平面PCD，SA平面PCD，所以SA平面PCD.(2)因为POSA，所以DPO为异面直线SA与PD所成的角因为ABCD，SOCD，ABSOO，所以CD平面SOB.因为PO平面SOB，所以ODPO.在RtDOP中，OD2，OPSASB，所以tanDPO，所以异面
11、直线SA与PD所成角的正切值为.20(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱A1B1C1ABC中，点D是BC的中点，BCBB1，设B1DBC1F.求证：(1)A1C平面AB1D；(2)BC1平面AB1D.证明：(1)连接A1B，设A1B与AB1交于E，连接DE.因为点D是BC的中点，点E是A1B的中点所以DEA1C.因为A1C平面AB1D，DE平面AB1D，所以A1C平面AB1D.(2)因为ABC是正三角形，点D是BC的中点，所以ADBC.因为平面ABC平面B1BCC1，平面ABC平面B1BCC1BC，AD平面ABC，所以AD平面B1BCC1.因为BC1平面B1BCC1，所以ADBC1.因为点D
12、是BC的中点，BCBB1，所以BDBB1.因为，所以RtB1BDRtBCC1.所以BB1DCBC1，BDB1CC1B，且CBC1CC1B90，所以CBC1BDB190.所以BC1B1D，又ADB1DD，所以BC1平面AB1D.21.(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点(1)证明：平面AEF平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AEBB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AEBC.因此AE平面B1
13、BCC1.而AE平面AEF，所以平面AEF平面B1BCC1.(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD.因为ABC是正三角形，所以CDAB.又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CDAA1.因此CD平面A1ABB1，于是CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角由题设，CA1D45，所以A1DCDAB.在RtAA1D中，AA1，所以FCAA1.故三棱锥FAEC的体积VSAECFC.22(本小题满分12分)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB2，BCa，又侧棱PA底面ABCD.(1)当a为何值时，BD平面PAC？试证明你的结论；(2)当a4时，求证：BC边上存在一点M，使得PMD
14、M；(3)若在BC边上至少存在一点M，使PMDM，求a的取值范围解：(1)当a2时，ABCD为正方形，则BDAC，又因为PA底面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又因为PAACA，所以BD平面PAC.故当a2时，BD平面PAC.(2)证明：当a4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连接AM，DM，MN，因为四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形，所以AMDAMNDMN454590，即DMAM，又因为PA底面ABCD，所以PADM，又AMPAA，所以DM平面PAM，得PMDM，故当a4时，BC边的中点M使PMDM.(3)假设BC边上存在点M，使得PMDM，因为PA底面ABCD，所以，M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点，则AD2AB，即a4为所求
